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八年级期中学业质量检测
数学试题（202504）
一．选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）
1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是 ( )
A． (x +1)(x 1) = x2 1 B． x2 + 2x +1= (x +1)2
C． x2 + 2x 1= x(x + 2) 1 D． (x 1) = x2x x
2．下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
3．若 a b，则 ( )
A． a +3 b+3 B． a 2 b 2 C． a b D．2a 2b
x +1
4．分式 有意义的条件是 ( )
x 2
A． x = 1 B． x 1 C． x = 2 D． x 2
5．由下列条件不．能．判定 ABC 为直角三角形的是 ( )
A． A+ B = C B． a :b :c =1:1: 2
C． (b + c)(b c) = a2 D．a =1,b = 2,c = 3
x + y
6．如果把分式 中的 x、 y 同时扩大 2 倍，那么该分式的值 ( )
xy
1
A．扩大到原来的 2 倍 B．缩小为原来的
2
1
C．不变 D．缩小为原来的
4
7．P 、Q、R 、S 四人的体重分别为 p 、q、 r 、 s，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人
体重的大小关系为 ( )
A． q p s r B． r s q p C． p q s r D． r s p q
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m 1 x
8．若分式方程 = 0有增根，则m 的值是 ( )
x 2 x 2
A．3 B．2 C．1 D． 1
9．如图，在Rt ABC中， C = 90 ，AC = 6，AB =10．以点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC ，
1
AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在 CAB 的内部相交于点 P ，
2
画射线 AP 与BC 交于点D，DE ⊥ AB，垂足为 E ．则下列结论错．误．的是 ( )
A． CAD = BAD B．CD = DE C． AD = 5 3 D．CD : BD = 3:5
10．如图，点 A的坐标为 (4,3) ，第一次：将点 A绕原点O逆时针旋转90 得到 A ；第二次：作点 A 关于 x1 1
轴的对称点 A ；第三次：将点 绕点O逆时针旋转90 得到 ；第四次：作点 关于 x轴的对称点 ，2 A2 A3 A3 A4
然后按这四次规律重复，则点 A 的坐标是 ( ) 2025
A． (4,3) B． (4, 3) C． ( 3, 4) D． ( 3,4)
二．填空题（共 5 小题，满分 20 分，每小题 4 分）
11．分解因式： x2 4 = ．
x + 2
12．当分式 的值为零时， x的值为 ．
x 1
13．如图，在△ ABC 中， AB = AC， A = 36 ，BD平分 ABC 交 AC 于点D ．若BC = 2，则 AD的长度
为 ．
x + 3
x 1
14．如果关于 x的不等式组 2 有且只有 5 个整数解，则符合条件的所有整数 a的和为 ．

3x + 6 a + 4
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15．在 ABC 中， ABC = 60 ，BC = 8，AC =10，点D 、E 在 AB 、AC 边上，且 AD =CE，则CD + BE
的最小值 ．
三．解答题（共 10 小题，满分 90 分）
5 + 3x 13

16．（7 分）解不等式组 x + 2 x 1 ，并写出它的正整数解．
2
3 2
17．（7 分）因式分解：（1） 2x2 4x； （2）3a2 6ab +3b2 ．
x 1 1 2a 1 a 1
18．（7 分）计算：（1） + ； （2） (a ) ．
x x a a
19．（8 分）如图，AB = AC，AC 的垂直平分线交 AB 于点D ，交 AC 于点 E ，
连接CD．
（1）若 A = 40 ，求 BCD的度数；
（2）若 ABC 与 BCD的周长之差为 10，求 AE 的长．
20．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点 A(0,1)， B(3,2) ，C(1,4) 均在正方形网格的格点
上．
（1）将△ ABC 沿 x轴方向向左平移3个单位后得到△ A ，1B1C1
画出△ A1B1C ； 1
（2）将△ A B C 绕 A 顺时针旋转90 后得到△ A ，画出1 1 1 1 1B2C2
△ A B C ； 1 2 2
（3）在 x轴上作一点 P ，使PA+ PB最小，画出点 P 的位置，
并直接写出点 P 的坐标_______．
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21．（9 分）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为 3000 米的污水排放管道，为了减少施工对城
市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 25%，结果提前 15 天完成铺设任务．
（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为 300 元，
所有工人的工资总金额不超过 18 万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
22．（10 分）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为mcm的大正方形，
两块是边长都为 ncm的小正方形，五块是长为mcm，宽为ncm的小长方形，且m n ．
（1）观察图形，可以发现代数式 2m2 +5mn + 2n2 可以因式分解为 ．
（2）若每块小长方形的面积为10cm2 ，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58cm2 ．
①试求m+ n的值．
②图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为 cm．（直接写出结果）
23．（10 分）【问题提出】如何解不等式 | x 1| + | x 3| x + 2？
预备知识 1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，
可以解决一系列问题．
图①中给出了函数 y = x +1和 y = 2x + 3的图象，观察图象，我们可以得到：
（1）当 x 2时，函数 y = 2x + 3的图象在 y = x +1图象上方，由此可知：不等式2x +3 x +1的解集为 ．
x(x 0)
预备知识 2：函数 y =| x |= ，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式
x(x 0)
的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对
值符号．比如化简 | x 1| + | x 3|时，可令 x 1= 0和 x 3= 0，分别求得 x =1，x = 3（称 1，3 分别是 | x 1|
和 | x 3|的零点值），这样可以就 x 1，1 x 3， x 3三种情况进行讨论：
（1）当 x 1时， | x 1| + | x 3|= (x 1) (x 3) = 4 2x；
（2）当1 x 3时， | x 1| + | x 3|= (x 1) (x 3) = 2 ；
（3）当 x 3时， | x 1| + | x 3|= (x 1) + (x 3) = 2x 4．
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4 2x(x 1)

| x 1| + | x 3|就可以化简为 2(1 x 3) ．

2x 4(x 3)
预备知识 3：函数 y = b(b为常数）称为常数函数，其图象如图③所示．
（2）【知识迁移】如图④，直线 y = x +1与直线 y = ax + b相交于点 A(m,3)，则关于 x的不等式 x +1 ax +b
的解集是 ．
【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式 | x 1| + | x 3| x + 2．
（3）先化简，再作图，在图⑤所示的平面直角坐标系中作出函数 y =| x 1| + | x 3|和 y = x + 2的图象．并
通过观察图象，求出不等式 | x 1| + | x 3| x + 2的解集
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24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l : y = kx +b与 x轴， y 轴分别交于点 A( 8,0) ，点B ，与1
直线 l : y = x +1交于点C(m,3) ，直线 l 交 y 轴于点D ． 2 2
（1）求m 的值及直线 l 的函数表达式； 1
（2）求四边形 AODC 的面积；
（3）我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，现将 l 沿 y 轴向下平移 n (n＞0)个单位长度，则其与2
直线 l 、 y 轴围成的三角形（不．含．边．界．）中恰好有 4 个整点，请直接写出 n的取值范围． 1
25．（12 分）如图，在 ABC 中， ACB = 90 ，AC = BC = 6．点D ，E 分别为 AC ，BC 的中点，点P 为
线段DE 上一动点（不与点 D重合），将线段CP绕点C 逆时针旋转90 得到CM ，连接 AP ，BM ，PM ，
PM 交 BC 于点 N ．
（1）求证： AP = BM ；
（2）求证；PD2 + PE2 = 2PC2 ；
（3）在点 P 运动过程中，能否使 CMN 为以 MN 为腰的等腰三角形？若能，求出PD的长；若不能，请
说明理由．
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八年级期中学业质量检测数学试题（202504）评分标准
一．选择题（共 10 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D D B B A A C D
二．填空题（共 5 小题，满分 20 分，每小题 4 分）
11． (x 2)(x 2) 12． 2 13．2 14．9 15． 2 61
三．解答题（共 10 小题，满分 90 分）
5 3x 13①
16 ．解： x 2 x 1 ，
2② 3 2
8
由①得 x ，……………………………………………………………………………………………………2分
3
由②得 x 5，…………………………………………………………………………………………………4分
8
不等式组的解集为 5 x ，(注：有无数轴均可)…………………………………………………………6分
3
则它的正整数解为 1，2．………………………………………………………………………………………7分
17．（1）原式 2x(x 2)；……………………………………………………………………………………3分
（2）原式 3(a2 2ab b2 )……………………………………………………………………………………5分
3(a b)2．……………………………………………………………………………………………………7分
18 x 1 1．解：（1）
x x
x 1 1

x
1；………………………………………………………………………………………………………………3分
2a 1 a 1
（2） (a )
a a
a2 2a 1 a
………………………………………………………………………………………………4分
a a 1
(a 1)2 a
…………………………………………………………………………………………………5分
a a 1
a 1．…………………………………………………………………………………………………………7分
19．解：（1） AB AC ， A 40 ，
ACB 1 B (180 40 ) 70 ，
2
第 1页（共 8页）
ED垂直平分 AC，
DA DC，……………………………………………………………………………………………………2分
A ACD 40 ，
BCD ACB ACD 30 ；……………………………………………………………………………4分
（2） AB AC ， DA DC ，
ABC的周长 2AB BC ， BCD的周长 BC CD BD AB BC ，
ABC与 BCD的周长之差为 10，
AB AC 10，………………………………………………………………………………………………6分
AC的垂直平分线交 AC 于点 E，
AE 1 AC 5．………………………………………………………………………………………………8分
2
20．解：（1）如图，△ A1B1C1即为所求．…………………………………………………………………… 2分
（2）如图，△ A1B2C2 即为所求．…………………………………………………………………………… 4分
（3）如图，点 P即为所求．………………………………………………………………………………… 6分
点 P的坐标为 (1,0)．………………………………………………………………………………………8分
21．解：（1）设原计划每天铺设管道 x米，则实际每天铺设管道 (1 25%)x 1.25x米，……………… 1分
根据题意得：
3000 3000
15 ，…………………………………………………………………………………………… 2分
1.25x x
解得：x 40，………………………………………………………………………………………………… 3分
经检验 x 40是分式方程的解，且符合题意，……………………………………………………………… 4分
第 2页（共 8页）
1.25x 50，
则原计划与实际每天铺设管道各为 40米，50米；………………………………………………………… 5分
（2）设该公司原计划应安排 y名工人施工， 3000 40 75（天 )，
根据题意得：300 75y 180000，…………………………………………………………………………… 7分
解得： y 8，
不等式的最大整数解为 8，………………………………………………………………………………… 9分
则该公司原计划最多应安排 8名工人施工．
22．解：（1） (2m n)(m 2n)；………………………………………………………………………………3分
（2）①依题意得， 2m2 2n2 58，
mn 10，…………………………………………………………………………………………………………4分
m2 n2 29，…………………………………………………………………………………………………5分
(m n)2 m2 n2 2mn 29 20 49，
m n 0，
m n 7；…………………………………………………………………………………………………… 7分
②42．……………………………………………………………………………………………………………10分
23．（10分）【问题提出】如何解不等式 | x 1| | x 3 | x 2 ？
预备知识 1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，
可以解决一系列问题．
图①中给出了函数 y x 1和 y 2x 3的图象，观察图象，我们可以得到：
当 x 2时，函数 y 2x 3的图象在 y x 1图象上方，由此可知：不等式 2x 3 x 1的解集为
x 2 ．
x(x 0)
预备知识 2：函数 y | x | ，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式
x(x 0)
的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对
值符号．比如化简 | x 1| | x 3 |时，可令 x 1 0和 x 3 0，分别求得 x 1，x 3（称 1，3分别是 | x 1|
和 | x 3 |的零点值），这样可以就 x 1，1 x 3， x 3三种情况进行讨论：
（1）当 x 1时， | x 1| | x 3 | (x 1) (x 3) 4 2x ；
（2）当1 x 3时， | x 1| | x 3 | (x 1) (x 3) 2 ；
（3）当 x 3时， | x 1| | x 3 | (x 1) (x 3) 2x 4 ．
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4 2x(x 1)
| x 1| | x 3 | 就可以化简为 2(1 x 3) ．

2x 4(x 3)
预备知识 3：函数 y b(b为常数）称为常数函数，其图象如图③所示．
【知识迁移】如图④，直线 y x 1与直线 y ax b相交于点 A(m,3)，则关于 x的不等式 x 1 ax b的解
集是 ．
【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式 | x 1| | x 3 | x 2 ．
（1）请在图⑤所示的平面直角坐标系中作出函数 y | x 1| | x 3 |的图象．
（2）通过观察图象，便可得到不等式 | x 1| | x 3 | x 2 的解集，这个不等式的解集为 ．
解：（1） x 2；………………………………………………………………………………………………2分
（2） x 2；…………………………………………………………………………………………………… 4分
（3）设 y | x 1| | x 3 |，根据题意可得：
4 2x(x 1)
y | x 1| | x 3 | 2(1 x 3) ，

2x 4(x 3)
第 4页（共 8页）
作图如下：
（可酌情细化给分）……………………………………… 8分
2
∴ | x 1| | x 3 | x 2 的解集为： x 或 x 6．………………………………………………………10分
3
24．解：（1）已知直线 l1 : y kx b与 x轴，y轴分别交于点 A( 8,0)，点 B，与直线 l2 : y x 1交于点C(m,3)，
m 1 3，
解得，m 2，………………………………………………………………………………………………2分
C( 2,3)，
把点 A( 8,0)，C( 2,3)代入直线 l1 : y kx b中，
8k b 0
，
2k b 3

k
1

解得， 2，
b 4
直线 l1的解析式为：
y 1 x 4；………………………………………………………………………………………………4分
2
（2）如图 1所示，过点C 作CE x轴于点 E，
第 5页（共 8页）
A( 8,0)，C( 2,3)，
OA 8，OE 2，CE 3，则 AE 8 2 6，
直线 l2 : y x 1交 y轴于点 D，
令 x 0，则 y 1，
D(0,1)，则OD 1，…………………………………………………………………………………………6分
S四边形AODC S ACE S梯形ODCE
1 AE CE (OD CE) OE
2 2
1 6 3 (1 3) 2
2 2
13，
四边形 AODC 的面积为 13；…………………………………………………………………………………8分
（3）1 n 2…………………………………………………………………………………………………12分
25．（1）证明： 线段CP绕点C 逆时针旋转 90 得到CM ，
PCM 90 ，CP CM ，…………………………………………………………………………………14分
ACB 90 ，
ACP BCM 90 BCP，…………………………………………………………………………2分
AC BC，
ACP BCM (SAS )，……………………………………………………………………………………3分
AP BM ．…………………………………………………………………………………………………4分
（2）证明：连接 EM ，
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AC BC， D和 E分别是 AC 和 BC的中点，
CD CE，
CP CM ， ACP BCM 90 BCP，
DCP ECM (SAS )，………………………………………………………………………………………5分
DP EM ， CDP CEM ，
CDP CED 90 ，
CEM CED 90 ，即 MEP 90 ，
在Rt PEM中，
EM 2 PE2 PM 2，……………………………………………………………………………………………6分
在Rt PCM 中， PC 2 MC 2 PM 2 ，
PC MC ，
2PC 2 PM 2 ，…………………………………………………………………………………………………7分
PD PE，
PD2 PE2 PM 2，
PD2 PE 2 2PC 2 ．…………………………………………………………………………………………8分
（3）解： AC BC 6， ACB 90 ，
AB 6 2，
DE 3 2 ，
①当 NC NM 时，
M 45 ，
MCN 45 ，
PCE 45 ，
此时CP DE，
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DP 1 DE 3 2 ．…………………………………………………………………………………………10分
2 2
②当CM MN 时，
M 45 ，
MCN 67.5 ，
PCN 22.5 ，
1 3 2
过C 作CG DE于点G ，过 P作 PH CE于点H，则 PCG 45 ，CG DE ，
2 2
PCG PCN 22.5 ，
PG PH ，
PH PH ，
Rt PCG Rt PCH(HL) ，
3 2
CG CH ．
2
3 2
EH CE CH 3 ，
2
E 45 ，
PE 2EH 3 2 3，
DP DE PE 3．…………………………………………………………………………………………12分
3 2
综上，在点 P运动过程中， CMN 可以为以 MN为腰的等腰三角形，此时 PD的长为： 或 3．
2
第 8页（共 8页）

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