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2026年全国各地中考数学模拟试卷·压轴题
二次函数
（2026·合肥）已知抛物线顶点纵坐标为．
(1)求c的值．
(2)约定：若函数图象上存在点，满足，且时，则称点与为一对“对偶点”，并称该函数为“对偶函数”．
（ⅰ）发现时，上述二次函数是“对偶函数”，求出该函数的“对偶点”．
（ⅱ）若二次函数是“对偶函数”，直接写出实数a的取值范围．
（2026`荆州）抛物线与轴交于原点和点，点为抛物线的顶点，点，为抛物线上不重合的两个点．
(1)求的值；
(2)试判断是否存在实数使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
(3)记点，两点之间的部分（包括，两点）为图象，点在图象上，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．
①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②图象上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点，再以最低点与点的连线为边向其上方作正方形，点到正方形边的最小距离记为．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且时，直接写出的值．
（2026·长沙）我们约定：如果一个函数的图象与轴交于点，我们就说该函数是“点函数”．
例如：函数与轴相交于点，我们就说函数是“点函数”．根据约定，解答下列问题：
(1)判断下列函数是否一定是“点函数”（填“√”或“×”）．
① ；② ；③ ．
(2)若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，求证：无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限．
(3)已知二次函数是“点函数”，该函数的图象与轴相交于点，两点，与轴相交于点，且，点是该函数图象在第一象限内的动点，线段与线段相交于点，当点运动时，若满足时，试求点的坐标．
（2026·淮安）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的对称轴与顶点纵坐标（用含的式子表示）；
(2)将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，轴左侧部分保持不变，组成新图形．
①若，过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点．若线段的长度随的长度增大而增大，求的取值范围；
②点在图形上，点在抛物线上．（点、不与原点重合）当，若为与无关的定值，求的值．
（2026·天津）在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点在轴的正半轴上，顶点在第一象限，顶点．点在边上（点不与点，重合），且．沿着折叠该矩形，得顶点的对应点为．
(1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________；
(2)经过点再次折叠该矩形，使点的对应点落在线段的延长线上，折痕与边相交于点．设．
①如图②，当点落在的上方时，试用含有的式子表示点的坐标，并直接写出的取值范围；
②设折叠后与矩形重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
（2026·湘潭）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值；
(3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，．
①求与的函数关系式，并写出的取值范围；
②当的值取最大时，求点的坐标．
（2026·哈尔滨）已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线交y轴于点A，交x轴于点B，C，．
(1)求a的值；
(2)如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接，，点P横坐标为m，请用含m的式子表示的面积S（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴，垂足为H，交直线于点D，点E为的中点，点G在第二象限，连接，，，，点Q为第四象限抛物线上一点，连接，交于点K，若，，平分，时，连接交y轴于点T，求点T的坐标．
（2026·无锡）二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，且对称轴为直线．该抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若与的面积相等时，求的值；
(3)当为何值时，在轴上存在唯一的点，使？（直接写出的值）
（2026·宜昌）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，．
(1)求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；
(2)在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的面积为10．若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图1，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标；
(4)如图2，过抛物线对称轴上点的直线交抛物线于，两点，线段的中点是，过点作轴的平行线交抛物线于点．若，直接写出点的坐标．
（2026·哈尔滨）已知：抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)如图1，求长度；
(2)如图2，点在第一象限抛物线上，过点作x轴的垂线，垂足为，交于点，设点的横坐标为，当最长时，求值；
(3)如图3，点在轴负半轴上，且，连接并延长，与延长线交于点，连接，点是上一点（不与、重合），过作的垂线，垂足为点，交轴于点，点在延长线上，满足，连接，当且时，求的面积．
（2026·哈尔滨）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线分别交轴、轴于点，点．
(1)如图1，求的值；
(2)如图2，连接，点是第一象限抛物线上的一点，过点作，垂足为点．设点的横坐标为，的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交轴于点，点是线段上一点，连接，延长交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作交轴于点，若，且，求的值．
（2026·南通）如图，在平面直角坐标系中，，以为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接并延长至C，使，过C作轴于点D，交线段于点E．已知，抛物线经过三点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求抛物线的函数表达式；
(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个．
（2026·长沙）在平面直角坐标系中，对于抛物线，，是常数，图象上两个不同的点，，我们不妨约定：
如果满足，且，则称点与点是一对“失衡点”；
如果满足，则称点与点是一对“平衡点”；
若某函数图象上同时存在至少一对“失衡点”和至少一对“平衡点”，则称该函数为“完备函数”．
(1)判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）：
①函数是“完备函数”；（ ）
②函数上存在无数对“失衡点”；（ ）
③若点与点是一对“平衡点”，则它们也是一对“失衡点”．（ ）
(2)已知抛物线与一次函数相交于两点、，且、恰好是该抛物线上的一对“失衡点”．若，直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；否则，请说明理由；
(3)若抛物线是“完备函数”，点、是一对“平衡点”．抛物线的顶点为，它与轴交于、两点．当是等边三角形时，记的面积为，试求的最小值．
（2026·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
(2026·十堰）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴正半轴于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点在点下方的轴上，点在第一象限的抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；
(3)如图2，已知动点在抛物线上，为的三等分点且靠近点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为．
①求出关于的函数解析式；
②当时，直接写出的取值范围．
（2026·吉林延边）抛物线（b、c为常数）顶点M的坐标为，P、Q为抛物线上的两点，点P的坐标为，点Q的坐标为，将此抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．
(1) ， ；
(2)当点P与点Q重合时，求点P的坐标；
(3)当顶点M在图象G上时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为d，求d与m之间的函数关系式；
(4)矩形的顶点分别为，
①当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
②当图象G在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
（2026·天津）已知抛物线(，，为常数，)的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），点，与轴交于负半轴的点．
(1)当，时，求该抛物线顶点的坐标；
(2)当时，
①若存在点，满足，求此时的值；
②若有点，满足，求此时的值．
（2026·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线交x轴于点，点P为线段下方抛物线上的一点，过点P作轴交直线于点H，在直线上取点Q，连接，使得，点M，N为x轴上的动点（点M在左，点N在右），且，连接，，当取最大值时，求P的坐标及的最小值；
(3)把原抛物线沿射线方向平移个单位长度，点F为新抛物线上一动点并在对称轴右侧，过点F作交新抛物线于点E，连接，，若．请直接写出所有符合条件的点F，并写出求解点F的其中一种情况的过程．
（2026·河北）如图，抛物线：过点，，过点作轴的平行线交于另一点，与轴交于点，抛物线：．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若抛物线也过点，对称轴在轴的左侧，且直线与的另一个交点为．
①嘉嘉说：无论为何值，总不小于1；
淇淇说：当时，，均随的增大而减小．
请选择其中一人的说法进行说理；
②求与的比；
③连接，若是直线下方抛物线上的动点，连接，交于点．若，求点的坐标；
(3)若抛物线与线段（含端点）有且只有一个交点，直接写出的取值范围．
（2026·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，为轴上一动点，且满足，点为轴上一动点，连接．当取最大值时，求点的坐标及的最小值；
(3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，新抛物线与直线分别交于、点，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
（2026·天津）在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，点A在第一象限，矩形CDEO的顶点，，顶点D在第二象限．
(1)填空：如图①，点A的坐标为_______，点D的坐标为________；
(2)将矩形CDEO沿水平方向向右平移，得到矩形，点C，D，E，O的对应点分别为．设．
①如图②，若边分别与边AO，AB相交于点M，N，边与边相交于点Q，当矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围；
②设平移后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
参考答案
1．（1）解：根据题意可得抛物线对称轴为直线，
即顶点横坐标为，
将代入抛物线得：，
∵抛物线顶点纵坐标为，
∴，
∴；
（2）解：（ⅰ）当时，，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵函数对偶点为，，
∴，
∵，，
∴②可化为③
得：，
∴，
∵，
∴，
即，
代入①得：，
解得或，
∴或，
经检验都满足，
此时或，
∴函数的对偶点为与；
（ⅱ）∵是“对偶函数”，
∴且，
∵，，
∴②可化为③，
得：，
∴，
∵，
∴，
即，
代入①得：，
化简得：，
∵方程有解，
∴，
∴，
当时，原方程可化为，
解得，
∴，
此时，不符合题意，
∴，
综上所述，且．
2．（1）解：∵ 抛物线过点，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由(1)得抛物线解析式为，
∴ ，，
∴ ，
令，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 方程无实数根，
∴ 不存在实数使得．
（3）① 解：∵ ，
∴ 顶点，对称轴为直线，
∵ 点在图象上，
∴ ，
∴ ，
∵ 抛物线开口向下，
∴ 图象的最高点为，，
当时，，最低点在点处，
，
∴ ，
当时，，最低点在点处，
，
∴ ，
∴ ．
② 解：当时，最低点为，对称点，
以为边向上作正方形，此时在正方形上方，
点到正方形各边距离中，到上边的距离最小，
，
令，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当时，最低点为，对称点，
以为边向上作正方形，此时在正方形上方，
点到正方形各边距离中，到上边的距离最小，
，
令，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
综上，或．
3．（1）解：①图象与轴交于点，
∴是“点函数”；
②图象与轴交于点，
∴不是“点函数”；
③图象与轴无交点，
∴不是“点函数”；
（2）证明：若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，则，
整理得，
令，即时，，
∴无论取何值，该函数一定经过点，
∵点在第三象限，
∴无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限；
（3）解：∵二次函数是“点函数”，
，
，
∵该函数的图象与轴相交于点，两点，
则，
∴，，
，
∴，
∴点，，，
，
∴函数解析式为，
连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，如图所示：
则，
，
又，
，
，
，
又，
，
又，
，
，
在中，由勾股定理可得，
在等腰中，，则，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，，
设，则，
在中，由勾股定理可得，则，
，
则
解得或，
又，即，
∴，
，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，代入解析式，
得，解得
∴直线的解析式为，
联立得，
消去得，则，
解得或，
则或，
点是该函数图象在第一象限内的动点，
∴点的坐标为．
4．（1）解：把代入可得：，
整理可得：，
∵抛物线的对称轴为：，
∴把代入可得：，
∴抛物线的对称轴为：；
把和代入可得：，
∴对称轴为直线，顶点纵坐标为；
（2）解：①当时，则，
∴，
由（1）可得：对称轴为直线，顶点纵坐标为，
∴顶点坐标为，
∴把抛物线沿轴翻折后的顶点坐标为，
又∵翻折后图象和抛物线的开口大小相等，方向相反，且，
∴翻折后图象为：，
∵过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点，
∴在翻折后图象上，即；点直线上，即；
∴线段的长度，
当时，得，
∵，
∴，即，
此时，开口向上，对称轴为，
∵在上随的增大而增大，
∴，
解得：，符合题意；
当时，得，
∵，
∴，解得，
此时，开口向下，对称轴为，
∵在上增大而增大，
∴，
解得：，
又∵，
∴，
综上，的取值范围为：或；
②由得 ，
设，则 ，
∵点在上，
∴，
分两种情况讨论：
当时，点在原抛物线上，代入得 ：
，
∵，两边同除以整理得 ：，
∵是与无关的定值，
∴等式对任意成立时，需满足，
化简得：，
解得，；
当时，点在翻折后的图形上， 代入得：
，
∵ ，两边同除以整理得 ：，
∵是与无关的定值，
∴等式对任意成立时，需满足，
化简得：，
解得：，，
综上，．
5．（1）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵在上，
∴，
∴
∵由题可知，沿着折叠得，
∴，，
∴，
如图，过点作，
∵在中，，，，
∴，，
∴；
（2）∵矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵由题可知，沿着折叠得，
∴，，
∴，，
∴，
∵由（1）可得，
∴，
∵由题可知，沿着折叠得，，，
∴，，
，
∵在中，，，，
∴，
①如图，过点分别作交于点，交于点，
∵，，
∴，
∵在中，，，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵点的对应点落在线段的延长线上，
∴，即，，解得：，
∵点落在的上方，
∴，解得：，
∴综上，，；
②分类讨论，
情况一：点落在的上方或上，，
如图，
折叠后与矩形重叠部分的面积为的面积，即为的面积，
∵，，
∴，
∵，在的右侧，随的增大而增大，
∴当时，，当时，，
∴；
情况二：点落在的下方，，
∵，
∴
∴点在上，
∴如图，、与轴交于点，
折叠后与矩形重叠部分的面积为四边形的面积，
∵，，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴
∵，在的左侧，随的增大而增大，
∴当时，，当时，，
∴；
∴综上，．
6．（1）解：依题意得
解得
这个二次函数的表达式为
（2）解：，
，
∴，
点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，
要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件．
过作于，
点、均为动点
此时线段的长就是的最小值．
∵，
，
∴
（3）解：①，
∴，
令，则，
点，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
过点作轴交直线于点，如图，
设，则，
，
又，
轴，，
，
，
，
②，
当取值最大时，，
，
∴.
7．（1）解：∵抛物线交y轴于点A，，，
，解得，
∴抛物线解析式；
（2）解：令，，
解得，，
，，
，
∵点P为第一象限抛物线上一点，点P横坐标为m，
，
；
（3）解：延长至点M，使，连接，，过B作于N，
为中点，
，，且，
，
设，则，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
过H作的垂线交的延长线于S，
则，
∴，，
∵，
，
，
，
，
解得或（舍），
，
过Q作y轴垂线，交y轴于L，交直线于R，
设，
，，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
设，则，由勾股定理得，
，
，解得或（舍），
，
，，
∴设所在直线解析式为，
即，
解得：，
所在直线解析式为，
令，则，
．
8．（1）解：二次函数的图象与轴交于点，
；
对称轴为直线，
，则；
将代入得，
二次函数的表达式为；
（2）解：由（1）知二次函数的表达式为，则点，
令，则，
解得或，
点，
设直线，
将、代入得，
解得，
直线，
直线，
与相交，
过点作、过点作，与相交于点，如图所示：
与的面积相等，
，
则，
在和中，
，
，
，即点是线段的中点，
、，
的坐标为，即，
将代入直线得，
解得；
（3）解：在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，或与重合，或与重合，分四种情况：
当交点、均在轴上方时，，如图所示：
设抛物线与直线交点坐标、（点在点的左侧），
联立，
消去得，
，，
，
则以为直径的圆的圆心，
，
当与轴相切时，，
即，
，
解得或（负值舍去）；
当交点、均在轴下方时，，如图所示：
同理可知，
，
解得或（正值舍去）；
当点与点重合时，
将代入，得，
解得；
或点与点重合时，
将代入，得，
解得；
综上所述，的值为或或或．
9．（1）解：将，两点坐标代入得：
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为，
对称轴为，
∴点的坐标；
（2）由得对称轴为直线；
假设在抛物线对称轴上存在点，使的面积为10．
设，
∴，
∴
解得或，
∴存在这样的点，坐标为，．
（3）如图1，过点作轴于，过点作轴于，则，
∵，，
∴，，
把代入得，，
∴，
∴，
设点，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，，
解得或（不合题意，舍去），
∴；
（4）点的坐标为．
理由如下：如图2，设，设直线的解析式为：，
∴，即，
∴直线的解析式为：，
设，，
由，
得，即：，
∴，，
∴
∵线段的中点是，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
∴点的坐标为．
10．（1）解：令
．
（2）解：设直线的解析式为
把,代入，得
,
解得,
直线的解析式为,
把代入，得,
,
把代入,
得,
,
在第一象限,
,
,
,
,
当时，最长,
即最长时，．
（3）解：如图，过作的垂线，交于点，作轴于点，作于点，作于点，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，，，
，
，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
为等腰直角三角形，，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在与中
，
，
，，
．
11．（1）解：∵抛物线经过点，
，
解得；
（2）解：如图1，过点C作轴交的延长线于点R．
∵，
∴，
∵当时，，
∴，
∵点C为抛物线上的一点，且点C的横坐标为t，
．
设直线的解析式为，
∴，
解得，
，
，
．
，，
，
．
在中，，
；
（3）解：如图2，连接，连接交于点，过点作，垂足为点，令与的交点为，连接．
由旋转的性质得，，
，，
．
，，，
，
，．
，
，，
又，
，
，
又，
，
∴，
，
∴，
，
在中，，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
，
．
，，
，
，
∴，
又，
，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
设直线的解析式为，
∴
解得，
．
在直线上，
．
解得，（舍），
．
12．（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵为半圆的直径，
∴，即，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴点B为的中点，
∴点B的坐标为，即，
设直线的解析式为，则，解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，则，
设抛物线的解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：设点，
①若点在的左侧，延长交于，如图所示，
同理可得所在直线函数关系式为，
在中，当时，，即点纵坐标为，
∴，
∴

，
；
②若点在的右侧，延长交于，如图所示，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，即点纵坐标为，
∴，
∴
；
∵以为顶点的四边形面积记作S，且S满足相应的点P有且只有3个，
∴关于p的方程有两个不相等的实数根，且关于p的方程有两个相等的实数根或关于p的方程有两个相等的实数根，且关于p的方程有两个不相等的实数根；
当关于p的方程有两个不相等的实数根时，则方程有两个不相等的实数根，则，
解得，
当关于p的方程有两个相等的实数根时，则方程有两个相等的实数根，则，
解得；
当关于p的方程有两个不相等的实数根时，则方程有两个不相等的实数根，则，
解得，
当关于p的方程有两个相等的实数根时，则方程有两个相等的实数根，则，
解得；
综上所述，或（此种情况不成立，舍去），
∴．
13．（1）解：①中，，无论取何值，都有，
，
不存在一对“失衡点”，
函数不是“完备函数”，
故①错误；
②函数中，
整理可得：，
，
，
，
整理得：，
当时，取任何值都有，
函数上存在无数对“失衡点”，
故②正确；
③若点与点是一对“平衡点”，
则有，
整理得：，
则有，
点与点一定不是一对“失衡点”，
故③错误；
（2）解：设，，
根据题意可得：，
消整理得：，
由韦达定理得：，
又，
，，
、是抛物线上的一对“失衡点”，
，
解得：、中一个点坐标为，
将代入，
可得：，
，
直线过定点；
（3）解：是等边三角形，
可得：，
，
函数是完备函数，
，
整理得：，
又，
解得：，
、是抛物线上的一对“平衡点”，
令，
整理得：，
，
又，
，
，
，
当时，取得最小值为．
14．（1）解：将，代入抛物线（）
得，
解得，
所以抛物线的表达式为．
（2）解：∵，，抛物线与轴交点为，
∴直线的解析式为，直线的解析式，
，
设，，
延长交于点，则
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
，
∴，即
当时，最大，最大值为4，此时，
将点向下平移1个单位长度得，
连接、，，
∴，四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴当点在线段与抛物线交点上时，最大值，最大值为，
则的最大值，
综上所述，，的最大值．
（3）解：，
①抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向右平移1个单位，向下平移3个单位得到新抛物线，
∵
∴平移后抛物线的表达式为：
∵，，
∴，
，
∴，
当在左侧时，如图：
∵轴，
∴，
∴
，
∵直线的解析式为，，
直线的解析式为
与抛物线联立得
方程组，
解得：（不合题意，舍去），，
∴．
如图2，当在右侧时，如图，
取点关于（即）的对称点，
则直线解析式为：，
直线与抛物线联立得
方程组，
解得：，（在第四象限，不合题意，舍去，），
∴．
15．（1）解：当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入，得，
解得，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
过E作于F，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵点在第一象限的抛物线上，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴；
（3）解：当时，解得，，
∴，
当P和B重合时，，
∴，
∵为的三等分点且靠近点，
∴，
∴，此时M、N重合，
当P和C重合时，、都在y轴上，则P和N重合，
设，
当时，如图，过P作轴于H，设与x轴相交于G，
则轴，
又轴，
∴，
∴，
∴，
∵为的三等分点且靠近点，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∵轴，
∴N的横坐标为，
∵N在抛物线上，
∴N的纵坐标为，
∴，
∴；
当时，即或时，；
当时，即时，；
当时，（、重合）；
综上，；
②当或时，，
时，，解得，
时，，解得，
函数图象草图如图，
由图象可知：当或时，，
当时，，
时，，解得，
时，，解得，
函数图象草图如图，
由图象可知：当或时，，
综上，当或或或时，．
16．（1）解：∵抛物线顶点的坐标为，
∴抛物线的解析式为，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵点与点重合，
∴，
解得：，
当时，，
∴点的坐标为；
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
∵顶点在图象上，
∴图象的最低点的纵坐标为，
当点在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，此时且，即，
∵，
∴，
∴图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
∴；
当点在对称轴上或右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即，
∵，
∴，
∴图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
∴；
综上所述，与之间的函数关系式为；
（4）解：①∵，四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的解析式为，
∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∵，
∴抛物线的顶点为，矩形在顶点上方，
当时，解得，
当时，解得，
∵抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
∴，
∴
解得：；
②当点P在点Q的左侧时，即，解得：，
此时，，
∴在y轴右侧，
设抛物线与y轴交于点E，E关于对称轴的对称点为F，
∵，
∴对称轴为直线，
当时，，
∴，
根据对称性可得，
可知矩形不经过抛物线对称轴右侧的部分，
∵图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小，
∴，
解得：．
当点P在点Q的右侧时，即，解得：，
此时，，
∵，
∴矩形不经过抛物线对称轴左侧的部分，且F在上，
∵在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∴不存在m，使图象G在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
综上所述，的取值范围为．
17．（1）解：当，时，抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的顶点的坐标为；
（2）解：①∵，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴该抛物线的对称轴为，
当时，得：，
∴抛物线的顶点的坐标为，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时；
②如图，连接，
∴，
∵，
∴，
由①知：抛物线的解析式为，
当时，得：，
解得：或，
当时，，
∴，，，
∴，，，
∴，
将点沿轴向左移动个单位长度得到点，
∴点的坐标为，，
∴，
∴，
∵，
∴，
作点关于轴的对称点，连接，
∴，，
∴，
∴，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
18．（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点，，
∴抛物线解析式为．
（2）解：由（1）知，，
令，则，
∴，即，
∵，
∴，
如图，过点Q作交于点E，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
设直线的解析式为，
将点C，D代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
∵点H在直线上，点P在抛物线上，
设点H坐标为，点P坐标为，
∴，
∴,
∵，
∴当时，有最大值，
将代入点P坐标，
∴，，
∴点P的坐标为，
如图，过点C向右平移的长度得到点，作点关于x轴的对称点，连接，与x轴交点为点，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵点与点关于x轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
（3）解：∵，，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，
∴抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴平移后的抛物线表达式为，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∵点F为新抛物线上一动点并在对称轴右侧，
∴点F的横坐标取值范围是，
此时分情况讨论：
①如图，当点A在直线的上方时，设与交点，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
将代入抛物线，
得，
∴；
②如图，当点A在直线的下方时，
延长，，交延长线于点，交延长线于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点B，C分别代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设直线的解析式为，点，
将点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵轴，交x轴于点A，
∴，
将代入直线的解析式，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去），，（舍去）
∴，
综上所述，点F的坐标为或．
19．（1）解：将，代入抛物线：，
得，
解得，
抛物线的函数解析式为：；
（2）解：①从嘉嘉、淇淇说法中任选其一，以嘉嘉为例，
选嘉嘉进行说理，
将代入抛物线：，
得，，
解得，，，
抛物线对称轴在轴的左侧，
对称轴直线，即，
，
抛物线：，
，
无论为何值，总不小于1；
（若选淇淇：淇淇的说法也正确，
理由：开口向上，对称轴，故时随增大而减小，满足；
开口向上，对称轴，故时随增大而减小，
因此时，均递减，淇淇说法正确；）
②直线过点，
直线：，
令得，，解得，，
，，
，
令得，，解得，，
，
，
，
，
；
③由②得，
设直线解析式为：，
将，代入，
得，解得，
直线解析式为：，
由题意得，
设，
设直线解析式为：，
将代入，
得，，
解得，，
直线解析式为：，
交于点，
，
解得，，
将其带入得，，
，
，，
，
点到直线垂直距离为：，
，
点到直线垂直距离为：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，，，
当时，，即，
当时，，即，
或；
（3）解：由（2）得，
，
线段：（），
抛物线：顶点坐标为，
故抛物线的顶点在直线上运动，
当抛物线：过点时，，解得：或，此时顶点横坐标为和，
当抛物线：过点时，，解得：或，此时顶点横坐标为和，

根据图象可得当或时，抛物线：与线段（含端点）有且只有一个交点，
即或时，抛物线：与线段（含端点）有且只有一个交点．
20．（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得，
即，
将点代入 ，
得到，
解得，
故抛物线的函数表达式为．
（2）解：对于抛物线，
当时，解得或，
即点，
当时，，
得点，
令直线的函数表达式为，
代入，，
得，解得，
∴直线的函数表达式为，
令点的坐标为，
则点坐标为，
∴，
过点作轴交于点，如下图所示：
∵，
∴，
∴，
∴当取最大值时，，
此时点，
过点作，过点作交于点，连接，如下图所示：
∵，
∴，
令直线的函数表达式为，
代入，
得，解得，
∴直线的函数表达式为，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为的最小值，
即、、三点共线时，最小，
过点作交于点，
故的最小值为的最小值，即的值，
令点的坐标为，
由点，，
∵，
∴，
即，
化简得，
解得（舍去）或，
点的坐标为，
∴，
即的最小值为；
（3）解：由（2）可知，沿射线方向平移个单位等同于向右移动个单位，再向上移动个单位，
∵，，
∴，，
且新抛物线表达式为，
过点作轴，当点在直线左上方时，，过点作交于点，如下图所示：
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
令点坐标为，则，
∴，，
即，
化简得，
解得或（舍去），
此时点坐标为；
作点关于直线的对称点，延长交抛物线于点，如下图所示：
令，
可得，中点在直线上，
故，解得（舍去），，
即，
令直线的表达式为，
代入，，
得，解得，
∴直线的函数表达式为，
联立和，
得，
化简得，
解得（舍去）或，
得，
∴点坐标为；
综上，点的坐标为或．
21．（1）解：如图①，过点A作于点H．
∵，
∴．
∵为等边三角形，，
∴，．
∴．
∴点A在第一象限，
∴．
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴轴，轴，
∵，，
∴，
∴．
∵顶点D在第二象限，
∴．
（2）解：①∵矩形是由矩形沿水平方向向右平移得到的，
∴矩形矩形，
∴，
∴．
∴，
∴．
在中，由，
∴，
∴．
如图②，过点N作于点T，在中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
②情形1：当时，如图③，设与OA交于点S，重叠部分为，
∵，
∴，
∴；
情形2：当时，如图④，设与交于点，重叠部分为梯形：，，，
∴，
∴；
情形3：当时，
如图②，重叠部分为五边形：
∵，
∴
，
∵二次项系数，，
∴当时面积最大，最大值为，
∴．
综上，S的取值范围为．

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