资源简介

2026北京北师大实验中学初二（下）期中
数 学
A卷
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 3分，共 24分）
1. 下列长度的 3 条线段，不．能首尾相连构成直角三角形的是（ ）
4 5
A. 1， 2 ， 3 B. 9，16，25 C. 1， ， D. 7，24，25
3 3
2. 若一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
1
3. 点 ( 2, 1)， ( 1,0)， (0,1)， (1,2)中，在函数 y = 的图象上的点的个数是（ ）
x +1
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
4. 下列关于正比例函数 y = 2x 的说法中，正确的是（ ）
A. 自变量的取值范围是 x 0 B. 它的图象是一条经过原点的射线
C. 它的图象不经过第三象限 D. y 随 x的增大而增大
5. 在平面直角坐标系中，直线 y = 2x + 4可以看作由直线 y = 2x （ ）
A. 向上平移 4 个单位长度得到 B. 向上平移 2 个单位长度得到
C. 向下平移 4 个单位长度得到 D. 向下平移 2 个单位长度得到
6. 如图，平行四边形OABC 的顶点坐标分别是O (0,0)， A(a, 0)和C (b,c)，则顶点 B 的坐标是（ ）
A. (b, a + c) B. (a + b,c) C. (b, a c) D. (a b,c)
7. 下列关于图形判定的命题中，正确的是（ ）
A. 有一组对边平行，有一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有一个内角被对角线平分的平行四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形
D. 有三条边相等，对角线也相等的四边形是正方形
第1页/共20页
8. 如图，以长为 1 的线段 AB 为边分别作直角三角形 ABC 和等边三角形 ABD ，其中 ACB = 90 ．连接
CD，则CD的长的最大值是（ ）
1+ 3 3 3
A. B. C. 1+ D. 2
2 2 2
二、填空题（本题共 8小题，每小题 2分，共 16分）
9. 若二次根式 x 2 有意义，则 x 的取值范围是___．
10. 平行四边形 ABCD 中，∠A +∠C =200°，则∠B =_______ .
11. 如图，梯形 ABCD 中， AD∥BC ， C = 90 ， AD = 3， AB = 4 ， BC = 5 ， E 为边 BC 上一点，
AB∥DE ，则 AD ， BC 之间的距离为_____．
12. 若一次函数 y = kx + b 的图象如图所示，则关于 x的不等式 kx + b 0 的解集为_____．
13. 已知一个等腰三角形的周长为 20，写出底边长 y 关于腰长 x的函数解析式：______，该解析式中自变量
x的取值范围是_____．
14. 若直线 y = k1x 1和直线 y = k2x 2 相交，且交点在第一象限内，则 k1 和 k2 的大小关系为 k1 ______
k2 ．（填“ ”“=”或“ ”）
15. 如图，公路MN 和公路 PQ在点 P 处交汇，且 QPN = 30 ，某实验室位于公路 PQ上的点 A 处，到点 P
的距离是 240m．假设救护车行驶时，周围150m以内能听到鸣笛声，那么当救护车在公路MN 沿 PN 方向
第2页/共20页
以30m/s 的速度匀速行驶时，在该实验室能听到救护车鸣笛声的持续时间为____s．
16. 如图，正方形纸片 ABCD的边长为 1，M 、 N 分别是 AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点 B 的
直线折叠，使点 A 落在MN 上，落点记为 A ，折痕 BE 交 AD 于点 E ．若M 、N 分别是 AD 、BC 边的中
点，则 A N 的长为____；若M 、N 分别是 AD 、BC 边上距 DC 最近的 n 等分点（ n 2 ，且n 为整数），
则点C 到直线 BA 的距离为____（用含n 的式子表示）．
三、解答题（本题共 9小题，共 60 分，其中第 17-18 题每题 7 分，第 19 题 8 分，第 20题 5
分，第 21-23题每题 6分，第 24题 7分，第 25题 8分）
17. 计算：
1
（1）2 12 6 +3 48
3
（2） ( 2 +3)( 2 5)
18. 已知一次函数的图象经过点 (2, 4)与 ( 3,11)．
（1）求该函数的解析式；
（2）说明该函数的一条性质，并利用该性质直接写出当 x 2 时 y 的取值范围．
19. 尺规作图及证明．
已知：如图，直线 l 和直线外一点 A ．
求作：点 A 关于直线 l 的对称点 B ．
（1）根据以下作法，在答题卡上完成尺规作图．
第3页/共20页
作法：先以 A 为圆心，适当长为半径画弧，交直线 l 于点M ， N ；
分别以M ， N 为圆心， AM 为半径画弧，
两弧在直线 l 的另一侧交于点 B ，点 B 为所求．
（2）填空（其中______处填推理的依据）：
证明：（连接必要的线段）根据作图过程，有线段______=______=______，
四边形 AMBN 为______形.（______）
AB ⊥ MN ，（______）
且线段______被线段______平分．
点 A ， B 关于直线 l 对称．
20. 如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC ，AD = 2BC ， ABD = 90 ，E 为 AD 的中点，连接 BE ．判
断四边形 BCDE 的形状，并证明．
21. 求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（画出图形，写出已知、求证，并证
明）
1
22. 已知：直线 y = x + 2与 x轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ．
2
（1）求点 A ， B 的坐标；
（2）画出函数的图象；
（3）过 A 点作直线 AP 交 y 轴于点 P ，且使OP = 2OB ，直接写出 ABP的面积．
23. 如图， ABC 的中线 BD ，CE 相交于点O ，且 F ，G 分别是OB ，OC 的中点．
（1）求证：四边形 DEFG 是平行四边形；
（2）若 AB = BC =13， AC =10，求 EF 的长．
第4页/共20页
24. 王鹏和李明从学校同时出发沿同一条路到图书馆查阅资料，王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏查完资料，
从原路返回到达学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线O A B C 和线段OD 分别表示两人离学校的路
程 s (km)与所经过的时间 t （分钟）之间的函数关系．
根据图象回答问题：
（1）学校与图书馆的距离是_____ km ；王鹏在图书馆停留的时间为_____分钟；
（2）相遇前，二人之间的距离的最大值是_____ km ；
（3）当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的距离是多少千米？
25. 如图，在 ABC 中， AB = BC =1， BAC = （ 90 ），M 是 AC 的中点，延长 BM 至点 D 使
得MD = MB ，连接CD． P 是线段 BM 上的动点，点Q 在线段CD 上，满足 APQ = 2 ．
（1）如图 1，当 = 60 且点 P 与M 重合时，直接写出 PQ的长；
（2）如图 2，点 P 不与 B ，M 重合，判断 PQ与 PA 的数量关系，并证明；
（3）若当点 P 为 BM 的中点时，点Q 恰为CD 的中点，求 的值．
B卷
四、解答题（本题共 10分，其中第 26题 4分，第 27题 6分）
26. 如图，已知三条平行线 a∥b∥c ，a ，b 间的距离为 DE ，b ，c间的距离为 EF ，点 A 是直线a 上的
一个定点，求作：直线b 上一点 B 和直线 c上一点C ，使得 ABC 是等腰直角三角形．
（1）若要求 BAC = 90 ，小明经过探究给出了以下作法：
第5页/共20页
在直线 a上，在点 A 的左侧截取 AM = DE ，在点 A 的右侧截取 AN = DF ；过 N 作a 的垂线交b 于点 B ，
过M 作 a的垂线交 c于点C ，则点 B ，C 为所求．连接 AB ， AC ， BC 得到 ABC ．
判断按此法作出的 ABC 是否为等腰直角三角形（答“是”或“否”）；
当 DE =1， EF = 2时，直接写出 BC 的长；
（2）若要求 ABC = 90 ，在答题纸上完成作图，并说明作法．（若满足条件的 ABC 不唯一，作出一个
即可）
27. 已知变量 x是实数，取值范围是1 x 5， y 是 x的函数，部分函数值如下表：
x 1 2 3 4 5
y 0 y2 y3 y y4 5
对于给定的条件T ，在以 x为自变量、满足条件T 的所有函数中，能使得函数图象（视为一条曲线）的长度
最小的函数称为 x的“T -短函数”．
（1）当条件T 为“ y5 = 4 ”时，直接写出 x的“T -短函数”的表达式；
（2）当条件T 为“ y y y x4 = 2，且存在 x0 （1 x0 5）使得当 x = x0 时 的值为 1”时， 是 的“T -短
函数”，求此函数图象的长度；
（3）当条件T 为“ y3 y2 1且 y5 =10”时， y 是 x的“T -短函数”时，直接写出 y4 的值．
第6页/共20页
参考答案
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 3分，共 24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B D A B B A
二、填空题（本题共 8小题，每小题 2分，共 16分）
9. 【答案】 x 2
【详解】解：根据题意，使二次根式 x 2 有意义，即 x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
10. 【答案】80°
【详解】解： 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A=∠C， AB∥CD ，
A+ C = 200 ，
A =100 ，
∵ AB∥CD ，
∴ A+ B =180 ，
∴ B = 180 100 = 80 ．
故答案为：80 ．
11. 【答案】 2 3
解】解：∵ AD∥BC ， AB∥DE ，
∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴ BE = AD = 3， DE = AB = 4 ，
又 BC = 5 ，
∴CE = BC BE = 2，
∵ C = 90 ，
∴CD = DE2 CE2 = 42 22 = 2 3 ，
即 AD ， BC 之间的距离为 2 3 ．
12. 【答案】 x 2
第7页/共20页
【详解】解：由图象可知当 x 2 时， y 0，
∴不等式 kx + b 0 的解集是 x 2 ．
13. 【答案】 ①. y = 2x + 20 ②. 5 x 10
【详解】解：由等腰三角形周长等于两腰长与底边长的和，可得 2x + y = 20 ，
移项整理得 y = 2x + 20，
y 0
根据三角形三边关系，边长为正数，且两边之和大于第三边，可得不等式组{ ，
2x y
2x + 20 0
将 y = 2x + 20代入不等式组，得{ ，
2x 2x + 20
解不等式 2x + 20 0，得 x 10，
解不等式 2x 2x + 20 ，得 x 5，
因此自变量 x的取值范围是5 x 10 .
14. 【答案】
y = k1x 1
【详解】解：联立直线方程得{ ，则 k1x 1 = k2 x 2，
y = k2x 2
移项得 x (k1 k2 ) = 1，
∵两直线相交，
∴ k1 k2，
1
∴ x = ，
k2 k1
∵交点在第一象限，第一象限内点的横坐标大于 0 ，所以 x 0 ，
1
即 0 ，
k2 k1
∴ k2 k1 0 ，
∴ k1 k2 .
15. 【答案】6
【详解】解：作 AB ⊥ MN 于点 B ，
第8页/共20页
由题意， QPN = 30 , AP = 240 ，
1
∴ AB = AP =120 ，
2
∵救护车行驶时，周围150m以内能听到鸣笛声，
∴在点 B 两侧取C, D 两点，使 AC = AD =150 ，
则CD = 2BC = 2 AC2 AB2 =180，
180
∴ t = = 6（秒）.
30
3 2n 1
16. 【答案】 ①. ②.
2 n
【详解】解：由题意， AB = BC =1，
1 1
当M 、 N 分别是 AD 、 BC 边的中点时， BN = BC = ，
2 2
∵折叠，
∴ A B = AB =1，
3
由勾股定理，得 A N = A B2 BN 2 = ；
2
n 1
当M 、 N 分别是 AD 、 BC 边上距 DC 最近的n 等分点（ n 2 ，且n 为整数）时，则 BN = ，
n
∵折叠，
∴ A B = AB =1，
由勾股定理，得
2n 1
A N = A B2 BN 2 = .
n
三、解答题（本题共 9小题，共 60 分，其中第 17-18 题每题 7 分，第 19 题 8 分，第 20题 5
分，第 21-23题每题 6分，第 24题 7分，第 25题 8分）
17. 【答案】（1）14 3 （2） 13 2 2
【小问 1 详解】
第9页/共20页
1
2 12 6 +3 48
3
1 3
= 2 4 3 6 +3 16 3
3 3
3
= 2 2 3 6 +3 4 3
3
= 4 3 2 3 +12 3
=14 3 ．
【小问 2 详解】
( 2 +3)( 2 5) = 2 5 2 +3 2 15 = 13 2 2 ．
18. 【答案】（1） y = 3x + 2 （2） y 随 x的增大而减小； y 4
【小问 1 详解】
解：设一次函数的解析式为 y = kx + b ，
2k +b = 4
把点 (2, 4)与 ( 3,11)代入函数解析式，得 ，
3k +b =11
k = 3
解得 ，
b = 2
∴ y = 3x + 2 ；
【小问 2 详解】
解：∵ y = 3x + 2 ， 3 0 ，
∴ y 随 x的增大而减小，
∵图象过点 (2, 4)，
∴当 x 2 时， y 4．
19.【答案】（1）见解析 （2）见解析
【小问 1 详解】
解：如图所示即为所求；
第10页/共20页
【小问 2 详解】
证明：（连接必要的线段）根据作图过程，有线段 AM = AN = BM = BN ，
四边形 AMBN 为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）
AB ⊥ MN ，（菱形的对角线互相垂直）
且线段 AB 被线段MN 平分．
点 A ， B 关于直线 l 对称．
20. 【答案】解： E 为 AD 的中点，且 ABD = 90 ．
BE = DE = AE
AD = 2BC
BC = DE
又 AD∥BC
四边形 BCDE 为平行四边形．
BE = DE
四边形 BCDE 为菱形．
21. 【答案】已知：在 ABC 中，点 D ， E 分别是 AB ， AC 中点，连接 DE ．
1
求证： DE∥BC ， DE = BC ．
2
证明：延长 DE 至点 F ，使 EF = DE ，连接CF ，
点 D ， E 分别是 AB ， AC 中点，
AD = DB ， AE = EC ，
在△AED 和△CEF 中，
AE = EC

AED = CEF ，

DE = EF
△AED≌△CEF (SAS) ，
AD = CF ， A = ACF ，
第11页/共20页
BD = CF ， BD∥CF ，
四边形 BCFD 为平行四边形，
1 1
DE∥BC ， DE = DF = BC ．
2 2
22. 【答案】（1） A( 4,0)， B (0, 2) （2）见解析 （3） 4 或12
【小问 1 详解】
解：当 x = 0 时， y = 2 ；
1
当 y = 0 时， x + 2 = 0，解得 x = 4，
2
所以 A( 4,0)， B (0, 2)；
【小问 2 详解】
解：如图，直线 AB 即为所求，
【小问 3 详解】
解：∵ A( 4,0)， B (0, 2)，
∴ AO = 4， BO = 2，
∵OP = 2OB ，
∴OP = 4 ，
∵点 P 在 y 轴上，
∴ AO ⊥ PO ，
第12页/共20页
当点 P 在点 B 上方时， BP = OP BO = 2，
1
∴ ABP的面积为 2 4 = 4；
2
当点 P 在点 B 下方时，
∵OP OB ，
∴点 P 在 y 轴的负半轴上，
∴ BP = OP + BO = 6，
1
∴ ABP的面积为 6 4 =12；
2
∴ ABP的面积为 4 或12 .
41
23. 【答案】（1）见解析 （2） EF =
2
【小问 1 详解】
证明：∵ ABC 的中线 BD ，CE 交于点 O，
1
∴ DE = BC ， DE∥BC ，
2
∵点 F，G 分别是OB ，OC 的中点，
1
∴ FG = BC ，FG∥BC ，
2
∴ DE = FG ， DE∥FG ，
∴四边形 DEFG 是平行四边形；
【小问 2 详解】
解：如图，连接 AO ，
∵ AB = BC =13， BD 是 ABC 的中线，
1
∴ BD ⊥ AC ， AD = CD = AC = 5，
2
∴ BD = BC2 CD2 = 132 52 =12 ．
∵四边形 DEFG 是平行四边形，
第13页/共20页
1
∴ DO = FO = DF ，
2
∵ F 是OB 中点，
∴ BF = FO ，
1
∴ BF = FO = DO = BD = 4，
3
∴ AO = AD2 + DO2 = 52 + 42 = 41 ．
∵ F ，E 分别是OB ， AB 的中点，
1 41
∴ EF = AO = ．
2 2
8
24. 【答案】（1）4；15 （2） （3）3 千米
3
【小问 1 详解】
解：学校与图书馆的距离是 4 km ；王鹏在图书馆停留的时间为30 15 =15分钟；
【小问 2 详解】
由图象可知，线段OA所在直线， s是 t 的正比例函数，
设OA所在直线的函数解析式为 s = kt (k 0)，
代入 (15, 4)，得： 4 = 15k ，
4
解得： k = ，
15
4
OA所在直线的函数解析式为 s = t (0 t 15)，
15
AB 所在直线的函数解析式为 s = 4(15 t 30)，
4
同理： BC 所在直线的函数解析式为 s = t +12(30 t 45)，
15
4
同理：OD 所在直线的函数解析式为 s = t ，
45
4 4 8
当0 t 15时， t t = t ，
15 45 45
8 8
当 t =15时，取得最大值为： 15 = ；
45 3
4
当15 t 30时，二人之间的距离为： 4 t ，
45
4 8
当 t =15时，取得最大值为： 4 15 = ；
45 3
第14页/共20页
当30 t 45 时，王鹏查完资料，从原路往回返，与李明的距离一直缩小，
8
∴二人之间的距离的最大值是 km ；
3
【小问 3 详解】
4 4
由（2）得OD 所在直线的函数解析式为 s = t ，BC 所在直线的函数解析式为 s = t +12(30 t 45)，
45 15
4 4
∴ t +12 = t ，
15 45
135
解得： t = ，
4
4 135
∴ s = = 3．
45 4
1
25. 【答案】（1） （2） PQ = PA，证明见解析 （3） 45
2
【小问 1 详解】
解：∵ AB = BC =1， BAC = = 60 ，
∴ ABC 为等边三角形，
∴ AC =1，
∵M 是 AC 的中点，
1 1
∴ AM =CM = AC = ，
2 2
∵MD = MB ， AMB = CMD ，
∴ AMB≌ CMD (SAS)，
∴ ACD = A = 60 ，
∵ APQ = 2 =120 ，
∴ CMQ =180 120 = 60 ，
∴ CQM =180 60 60 = 60 ，
∴△CMQ为等边三角形，
1
∴ PQ =CM = ；
2
【小问 2 详解】
解： PA = PQ ，理由如下：
连接 PC ，
第15页/共20页
∵ AB = BC =1， BAC = （ 90 ），M 是 AC 的中点，
∴ BM 垂直平分 AC ，
∵ P 是线段 BM 上的动点，
∴ PA = PC ，
∴ PAC = PCA ，
设 PAC = PCA = ，则 APC =180 2 ，
∴ CPQ = APC APQ =180 2 2 ，
由（1）可知： AMB≌ CMD (SAS)，
∴ ACD = BAC = ，
∴ PCQ = PCA+ ACD = + ，
∴ PQC =180 PCQ CPQ =180 180 + 2 + 2 = + ，
∴ PCQ = PQC ，
∴ PC = PQ ，
∴ PA = PQ ；
【小问 3 详解】
解：延长 DP 至点 E ，使 DP = PE ，连接CE ，
由（1）可知 AMB≌ CMD (SAS)，
∴ BM = DM ，
∵ P 为 BM 的中点，
第16页/共20页
1 1
∴ PM = BM = DM ，
2 2
设 PM = x ，则 BM = DM = 2x ，
∴ PD = PE = 3x ，
∴ EM = PM + PE = 4x ，
∵Q 为CD的中点，
1
∴ PQ∥CE, PQ = CE ，
2
由（2）知： PC = PQ ，
∴设 PQ = PC = a，则CE = 2a ，
∵ AB = BC ，M 为 AC 的中点，
∴ BM ⊥ AC, BCA = BAC = ，
在Rt△CMP 中，由勾股定理，得CM 2 =CP2 PM 2 = a2 x2 ，
2 2
在Rt△CME 中，由勾股定理，得CM 2 =CE2 EM 2 = (2a) (4x) ，
2 2 2 2∴ a x = (2a) (4x) ，
∴ a2 = 5x2 ，
∴CM = a2 x2 = 4x2 = 2x ，
∴CM = BM ，
∴ BCA = CBM = 45 ，即 = 45 ．
B卷
四、解答题（本题共 10分，其中第 26题 4分，第 27题 6分）
26. 【答案】（1）是， 2 5 （2）见解析
【小问 1 详解】
解：如图，
ABC 是等腰直角三角形，
第17页/共20页
理由：由作图知： AM = DE ， AN = DF ，CM ⊥ a， BN ⊥ a，
又 DE ⊥ a，
∴CM ∥BN ∥DE ，
∵ a∥b，
∴四边形 BNDE 是平行四边形，
∴ BN = DE ，
∴ BN = AM ，
同理可证CM = DF = AN ，
又 AMC = BNA = 90 ，
∴ ACM≌ BAN (SAS)，
∴ AC = BA ， MAC = ABN ，
又 BAN + ABN = 90 ，
∴ BAN + MAC = 90 ，即 BAC = 90 ，
∴ ABC 是等腰直角三角形，
∵ DE =1， EF = 2，
∴ AM =1，CM = DF = DE + EF = 3，
∴ AB = AC = AM 2 +CM 2 = 10 ，
∴ BC = AC2 + AB2 = 2 5 ；
【小问 2 详解】
解：如图， ABC 即为所求，
27. 【答案】（1） y = x 1(1 x 5) （2）6 （3）7
【小问 1 详解】
解：要使函数图象长度最小，根据“两点之间线段最短”，直接连接点 (1,0)和 (5, 4)即可，
设 y = kx + b ，
第18页/共20页
∵图象经过点 (1,0) ,(5,4)，
k +b = 0
∴ ，
5k +b = 4
k =1
解得： ，
b = 1
即： y = x 1(1 x 5)；
【小问 2 详解】
解：要满足条件： y4 = 2，且存在 x0 （1 x0 5）使得当 x = x 时 y0 的值为 1， y 是 x的“T -短函
数” ，利用轴对称找最短路径： 把点 (1,0)关于直线 y = 1对称，得到 A (1, 2)，
如图所示，
∴连接 A (1, 2) , B (4,2) 2 2两点的线段长度为： (1 4) + ( 2 2) = 9+16 = 5，
∵要使总长度最小， x = 4 到 x = 5走水平线段，长度为1最短，
∴函数图象的总长度 AC +CB + BD = A C +CB + BD = A B + BD = 5+1= 6；
【小问 3 详解】
解：令 A(1,0) , B (2, y2 ) ,C (3, y3 ) , E (5,10)，
由题意得：当 y3 = y2 +1时，且线段 AB CE 时，总长度最短，
y 10 ( y2 +1)∴ 2 = ，
2 1 5 3
解得： y2 = 3, y3 = 4 ，
设直线CE 的解析式为： y = mx + n ，
3m+ n = 4 m = 3
∵ 解得： ，
5m+ n =10 n = 5
第19页/共20页
即： y = 3x 5，
当 x = 4 时， y4 = 7 .
第20页/共20页

展开更多......

收起↑