资源简介

2026 北京通州初二（下）期中
数 学
2026 年 5 月 6 日
说明：本试卷共三道大题 28 道小题，共 8 页，满分 100 分，考试时间 120 分钟
学校__________________ 班级__________________ 姓名_________________ 学号
一、选择题(本题共 10 个小题，每小题 2 分，共 20 分)每题均有四个选项，符合题意的选项只．有．一．个．．
1．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标是(2，－3)，那么点 P 在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列语句正确的是
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
3．下列说法正确的是
A．四边形最多有三个钝角
B．四边形的内角和是外角和的 2 倍
C．一个 n 边形有 n(n－3)条对角线(n≥3)
D．三角形的内角和与外角和都是 180°
4．在平面直角坐标系 xOy 中，下列图形中能表示 y 是 x 的函数的是
5．关于函数 y＝ 4－3x，下列说法中正确的是
A．自变量 x 的取值范围是全体实数 B．自变量 x 的取值范围是正实数
4 3
C．自变量 x 的取值范围是 x≤ D．自变量 x 的取值范围是 x>
3 4
6．如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC＋BD＝16，
CD＝6，则△ABO 的周长是
A．10 B．14
C．20 D．22
7．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 是菱形，顶点 A，C 的坐标分别是(0，2)，
(8，2)，点 D 在 x 轴上，则菱形的顶点 B 的坐标是
A．(4，2) B．(2，4)
C．(4，4) D．(2，2)
8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，有 A，B，C，D 四个点，一次函数 y＝kx＋b(k>0)的图象经过点
D 和另外三个点中的一个点，那么，下列哪一个点一定不在一次函数 y＝kx＋b(k>0)的图象上
A．点 A B．点 B
C．点 C D．点 D
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9．如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点 E，点 F，连
接 AP，EF.有如下四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝ 2EC；④△APD 一定是等腰三角
形．其中正确的结论的序号是
A．①②④ B．①②③
C．②③④ D．①②③④
10．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(0，1)，点 B 是 x 轴正半轴上的一动点，以 AB
为边作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°，设点 B 的横坐标为 x，点 C 的纵坐标为 y，能大致表示 y 与 x 的
函数关系的图象是
二、填空题(本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分)
11．函数 y＝2x－5 中常量是________．
12．一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，这个多边形是________边形．
13．菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 10 cm，则这个菱形的面积为________cm2.
14．已知一次函数 y＝ax＋b(a，b 是常数，a≠0)，x 与 y 的部分对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 3 …
y … 6 4 2 0 －2 －4 …
不等式 ax＋b＞0 的解集是________．
15．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AC＝4 cm，∠AOD＝120°，则 BC 的长是
________cm.
16．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，E，F 分别是 AB，BC 边上的点，且∠EDF＝45°，将
△DAE 绕点 D 逆时针旋转 90°，得到△DCM.若 AE＝1，则 FM 的长为________．
17．在四边形 ABCD 中，DE⊥AB 于点 E，点 E 为 AB 的中点，AB＝6，DE＝ 3，BC＝1，CD＝
13，则四边形 ABCD 的面积为________．
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18．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝x＋b 与直线 y＝kx＋4 交于
点 P(1，2)，则关于 x 的不等式 x＋b＞kx＋4 的解集是________．
19．为落实“健康第一”的理念，实施学生体质强健计划，学校体育课上
加强了学生的长跑训练．在一次女子 1000 米耐力测试中，小蕊和小敏在校园内
200 米的环形跑道上同时同向起跑，同时到达终点．所跑的路程 S(米)与所用的
时间 t(秒)之间的函数图象，如图所示，则她们第一次相遇的时间是在起跑后的
第________秒．
20．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－6，0)，B(0，8)，线段 AB 的中垂线与 AB 交于点 C，与 y 轴交
于点 D，若点 E 在线段 CD 的延长线上，且 CE＝5，点 M 是 y 轴上一点，点 N 是平面内一点，如果以点
C，E，M，N 为顶点的四边形是菱形，满足条件的点 N 有________个．
三、解答题(21——27 题，每小题 6 分，28 题 8 分，共 50 分)
21．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与
x 轴，y 轴交于 A(2，0)，B(0，3)两点，
(1)求一次函数的表达式．
(2)在平面直角坐标系中有一点 C(3，4)，求△ABC 的面积．
22.如图，在 ABCD 中，点 E，F 在对角线 AC 上，请你添加一．个．条件，使得四边形 DEBF 是平行
四边形，并证明．
23．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝－2x 的图象平移之后恰好经过点(1，0)，得到一次函数 y
＝ax＋b(a≠0)的图象．
(1)求一次函数 y＝ax＋b(a≠0)的表达式；
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(2)当 x>1 时，对于 x 的每一个值，函数 y＝2x＋m 的值大于一次函数 y＝ax＋b(a≠0)的值，直接写出
m 的取值范围．
24．如图，在 ABCD 中，AB求作：菱形 ABEF，使得点 E 在 BC 边上，点 F 在 AD 边上．
下面是某位同学的尺规作图步骤：
①以点 B 为圆心，以 BA 长为半径作弧，交 BC 于点 E；
1
②分别以点 A、点 E 为圆心，以大于 AE 的长为半径画弧，两弧在直
2
线 AB 的右侧相交于点 M；
③作射线 BM，交边 AD 于点 F；
④连接 EF.
所以，四边形 ABEF 是菱形．
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：由作图，可知 BF 是∠ABC 的角平分线，
∴∠ABF＝∠EBF.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，点 E，F 分别在 BC，AD 边上，
∴AF∥BE(______________________________).
∴∠AFB＝∠EBF.
∴∠ABF＝∠AFB.
∴AB＝AF.
∵AB＝BE.
∴BE＝AF.
∴BE ∥ AF.
∴四边形 ABEF 是________．(________________)
∵AB＝BE，
∴四边形 ABEF 是________．(________________)
25．某公园为了提升服务质量，预购进两类功能不同的机器人 A，B 共 40 台．两类机器人因为功能不
同，因此价格也不相同．其中 A 种机器人每台 6 万元，购买 B 种机器人所需费用 y(万元)与购买数量 x(台)
之间存在的函数关系如图所示．
(1)求 y 与 x 的函数关系式；
(2)在购买计划中，购买 B 种机器人的数量不超过 25 台，但不少于 A 种机器人的台数，请设计购买方
案，使总费用最低，并求出最低费用．
26.如图，在 ABCD 中，BD 是一条对角线，点 E，F 分别是边 AB，CD 的中点，连结 DE，BF，且
AE＝DE.
(1)求证：四边形 DEBF 是菱形；
(2)延长 CB 到点 M，使得 BM＝CB，连结 AM.
求证：四边形 ADBM 是矩形．
27．小明和同学们组建一个骑行队，周日小明率领骑行队的队员们一起从通州区的绿心公园出发，骑
行去怀柔区的雁栖湖的国际会议中心．从通州区的绿心公园到雁栖湖国际会议中心的骑行路线全长约 69
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千米，如果他们早上 7：00 从通州区绿心公园出发，骑行速度是 12 千米/小时，骑行队计划在骑行到全路
2
程 处，休息 20 分钟，然后按照原速度继续骑行，出发 x 小时后，距雁栖湖国际会议中心还有 y 千米．
3
y (千米）
O x（小时）
(1)求 y(千米)与 x(小时)的函数表达式；
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，画出函数图象．
28．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝4，∠ABC＝60°，当含 30°角的三角板，其中 60°角的顶点与点 A
重合时，三角板绕点 A 旋转过程中两边分别与射线 CB，DC 交于点 M，点 N，连结 MN.
(1)如图 1，当点 M 在线段 CB 上时(点 M 不与 C、B 重合)，求证：BM＝CN；
(2)如图 2，当∠MAB＝15°时，点 M 在线段 CB 的延长线上，点 N 在线段 DC 的延长线上，
求点 N 到直线 BC 的距离．
图 1 图 2
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参考答案
一、选择题(本题共 10 个小题，每小题 2 分，共 20 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B C B C C B D
二、填空题(本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分)
5
11．2，－5 12.六 13.30 14.x<1 15.2 3 16.
2
17．4 3 18.x>1 19.132 20.5
三、解答题(21－27 题，每小题 6 分，28 题 8 分，共 50 分)解答应写出文字说明、演算步骤或证
明过程，直接写结果不给分．
21．解：(1)设一次函数表达式为 y＝kx＋b(k≠0)
点 A(2，0)，B(0，3)在图象上，
2k＋b＝0，
∴ (2 分)
b＝3
3 k＝－ ，
∴ 2
b＝3. (3 分)
3
∴一次函数表达式为 y＝－ x＋3.(4 分)
2
(2)∵点 C(3，4)
∴CE＝3，CF＝4.
∴四边形 OFCE 的面积为 OE·OF＝3×4＝12，
∴S△ABC＝S 四边形 OFCE－S△BCF－S△BOA－S△AFC，(5 分)
1 1 1
∴S△ABC＝12－ ×1×3－ ×2×3－ ×1×4， 2 2 2
11
∴S△ABC＝ .(6 分) 2
22．添加的条件：如 AE＝CF (或 DE∥BF，BE∥DF，∠DEF＝∠BFE 等)(1 分)
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证明：连接 BD 与 EF 交于点 O.(2 分)
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.(4 分)
∵E、F 是 ABCD 的对角线 AC 上，AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF.
∴OE＝OF.(5 分)
∵OB＝OD，OE＝OF，
∴四边形 DEBF 是平行四边形．(对角线互相平分的四边形是平行四边形)(6 分)
23．解：(1)∵一次函数 y＝ax＋b(a≠0)的图象由 y＝－2x 图象平移得到，且过点(1，0).
a＝－2，
∴ (2 分)
a＋b＝0.
b＝2，
∴
a＝－2.
∴一次函数表达式是 y＝－2x＋2.(4 分)
(2)m≥－2.(6 分)
24．解：(1)
(2 分)
解：(2)平行四边形对边平行；(3 分)
平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4 分)
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菱形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．(6 分)
25．解：(1)①当 x<20 时，图象经过(0，0)，(20，160).
设正比例函数表达式为 y＝kx(k≠0)，
∴依据题意得 20k＝160，∴k＝8.
∴表达式为 y＝8x.(1 分)
②当 20≤x≤40 时，图象经过(20，160)，(40， 240)
设一次函数表达式为 y＝kx＋b(k≠0)，
20k＋b＝160，
依据题意得
40k＋b＝240.
k＝4，
解之得
b＝80.
∴表达式为 y＝4x＋80.(3 分)
8x （0≤x<20，且为整数）
综上，表达式为 y＝
4x＋80 （20≤x≤40，且为整数）
x≤25，
(2)由题意得
x≥40－x.
因此，20≤x≤25.(4 分)
总费用设为 W，W＝4x＋80＋6(40－x)，
W＝－2x＋320.(5 分)
∵k＝－2<0，
∴W 随着 x 的增大而减小，因此，x＝25.
W＝－2×25＋320＝270.
最低费用 270 万元．(6 分)
26．证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
点 E，F 分别是边 AB，DC 的中点，
1 1
∴AE＝BE＝ AB，DF＝ CD.
2 2
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∴DF＝BE，DF∥BE.(1 分)
∴四边形 EBFD 是平行四边形，(2 分)
∵AE＝DE，
∴BE＝DE.
∴四边形 EBFD 是菱形．(3 分)
(2)∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥CB.
∵点 M 在 CB 延长线上，且 BM＝CB，
∴AD＝BM，AD∥BM.
∴四边形 ADBM 是平行四边形．(4 分)
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2.
∴∠3＝2∠1.
∵AE＝DE，
180°－∠3 180°－2∠1
∴∠4＝ ＝ .(5 分)
2 2
∴∠4＝90°－∠1.
∴∠4＋∠1＝90°.
即∠ADB＝90°.(6 分)
∴四边形 ADBM 是矩形．
2 2
27．解：(1)路程的 ：69× ＝46 千米，
3 3
23
46÷12＝ ，
6
23
当 0≤x≤ 时，y＝－12x＋69.(1 分)
6
23 25
当 6 6
25 73
当 6 12
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23
y＝－12x＋69 (0≤x≤ )6
23 25
综上，y＝ y＝23 ( (2)
(6 分)
28．证明：(1)连接 AC，(1 分)
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴BC∥AD，AB＝BC，
∴∠BAD＋∠ABC＝180°.
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°.
∵四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝120°，
1 1
∴∠BAC＝ ∠BAD＝60°，∠ACN＝ ∠BCD＝60°.
2 2
∵∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC 为等边三角形．
∴AB＝AC.(2 分)
在△BAM 和△CAN 中，
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∠BAM＝∠CAN，
AB＝AC， ∠ABC＝∠ACN.
∴△BAM≌△CAN，
∴BM＝CN.(3 分)
(2)解：过点 A 作 AG⊥BC 于点 G.
∴∠AGM＝90°.
∵∠ABC＝60°，∠MAB＝15°，
∴∠AMB＝45°.
在 Rt△AGB 中，
∵∠ABC＝60°，AB＝4，
∴BG＝2，AG＝2 3.
在 Rt△AGM 中，
∵∠AMG＝45°，
∴MG＝AG＝2 3.
∴MB＝MG－BG＝2 3－2.(5 分)
连接 AC，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠ABM＝120°，△ABC 是等边三角形．
∴∠ACB＝60°.
由(1)可证，△AMB≌△ANC.
∴CN＝MB＝2 3－2，∠ACN＝∠ABM＝120°.
∴∠NCM＝60°.(6 分)
过点 N 作 NH⊥BC 于点 H.
∴∠NHC＝90°.
在 Rt△NHC 中，
∵∠NCH＝60°，CN＝2 3－2，
∴CH＝ 3－1.(7 分)
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由勾股定理可得，NH＝3－ 3.
∴点 C 到直线 BC 的距离为 3－ 3.(8 分)
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