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2026年全国各地中考数学模拟试卷·压轴题
反比例函数
一、选择题
（2026·黑龙江佳木斯）如图：点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
（2026·江苏无锡）在平面直角坐标系中，对于任意两点（且），若（是常数），则称线段是一条“倍率线段”．下列说法中正确的有（ ）
①若，则线段是一条3倍率线段；
②若，在函数的图像上，则有且只有一条2倍率线段；
③若，在函数图像上，且是1倍率线段，则长为或；
④二次函数的图像与轴正半轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在该二次函数位于第一象限内的图像上，且线段是倍率线段，当的长度最大时，点的坐标为．
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①③④
（2026·北京平谷）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过分别作轴的垂线，垂足分别为．若点为反比例函数图象在之间的动点，作射线交直线于点N．给出下面四个结论：
①；
②四边形的面积为；
③当点的坐标为时，线段的长度最大；
④当点的坐标为时，线段的长度最大．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
（2026·北京丰台）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点B，C，与交于点D．给出下面四个结论：
①与可能相等；
②与一定不相等；
③与的面积一定相等；
④与的面积可能相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
（2026·江苏）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，将线段绕点顺时针旋转交双曲线于点，连接，则的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
（2026·江苏扬州）点，，在某个函数图象上，若，则满足条件的函数关系式可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2026·浙江·模拟预测）已知点，，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题
（2026·江苏苏州）如图，的边经过原点，顶点、分别在反比例函数、的图象上，顶点在轴的正半轴上，且．已知的面积为，则_________．
（2026·山东青岛）如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点坐标为，若，则的值为______．
（2026·福建泉州）已知双曲线与函数的图象有两个交点，则b的值是________．
（2026·广东深圳）如图，点在双曲线上，连接，交双曲线于点，点为轴上一点，四边形为菱形，若四边形的面积是，则________．
（2026·江苏南通）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，过原点的直线交双曲线于，两点，交AB于点，顺次连接A，D，B，C，若的面积是的面积的3倍，则的值为_____，点的横坐标为_____．
（2026·四川成都）如图，点A在反比例函数的图象上，连接，过点O作的垂线，交反比例函数的图象于点B，连接，则的值为______．
（2026·江苏盐城）将直线沿轴平移个单位，与反比例函数的图象只有一个公共点，则实数的值是______．
（2026·上海）如图，点、点是双曲线图象上的两点(在的右侧) ．延长交轴正半轴于，的中点为．连接，，交点为．若的面积为，四边形的面积等于的面积，则的值为_______．
三、解答题
（2026·山东济南）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点C为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点C作x轴垂线，交一次函数图象于点D，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点C的坐标；
(3)点P为反比例函数图象上一点，点Q是坐标系内一点，当四边形为矩形时，求点Q的坐标．
（2026·江苏）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“均衡点”，例如点是函数的图象的“均衡点”．
(1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“均衡点”的函数是__________；（填序号）
(2)设函数与的图象的“均衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．若，求的值；
(3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，点在的上方，旋转后的图象上恰有点1个“均衡点”时，求点的坐标．
（2026·江西萍乡）定义：若一次函数与反比例函数同时经过点，则称二次函数为一次函数与反比例函数的“关联函数”，称点为关联点．例如：一次函数与反比例函数都经过点，则就是两个函数的“关联函数”．
(1)判断与是否存在“关联函数”？如果存在，请求出“关联点”和相应“关联函数”，如果不存在，请说明理由；
(2)已知：整数满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“关联函数”，求的值；
(3)若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的情况下，其“关联函数”的最小值为6，求其“关联函数”的解析式．
（2026·北京顺义）在平面直角坐标系中，函数的图像经过点，反比例函数的图像经过点．
(1)求m，n的值；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出k的取值范围．
（2026·江西抚州）我们约定：在平面直角坐标系中，已知点，若，则称该点为“完美点”．若某函数图象上至少存在一个“完美点”，就称该函数为“完美函数”．请你根据该约定，解答下列问题：
(1)下列函数中，是“完美函数”的有______；（填序号）
；；；．
(2)点是反比例函数图象上的点，求该函数图象上的“完美点”的坐标；
(3)设关于的函数的图象上有且只有一个“完美点”为点，关于的函数（为常数且）的图象上有两个“完美点”，分别为点，点，其中点在点的左侧，且．
点的坐标为______；
求的值．
（2026·四川成都）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于和B两点．
(1)分别求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)在反比例函数图象上取点，过点M作直线l（l不与x轴垂直），交x轴于点C，连接．
①如图，当直线l与反比例函数的图象有且只有交点M时，求的长；
②设直线l与反比例函数的图象在第一象限内相交于另一点D，连接．当时，求点D的坐标．
（2026·江苏泰州）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，）在第一象限的图像经过点、．
(1)求a、k的值；
(2)如图2，C为反比例函数在第二象限图像上的一点，连接、、，若，求的值；
(3)如图3，将反比例函数在第一象限的图像，绕坐标原点O逆时针旋转后得到的图形记作曲线l，过、的直线，与曲线l相交于点M、N，求的面积．
（2026·四川成都）在平面直角坐标系中，已知，，平面内一动点到定点的距离与到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)如图，过点的直线与曲线在第一象限的分支分别交于、，其中点始终在直线的上方，以为圆心，的长为半径的圆（图上仅画出一部分）与线段交于点，连接、．
①当取得最小值时，试求此时直线的方程；
②若，求的最大值．
（2026·广东惠州）如图，点为反比例函数图象上的一个动点，过点作射线，点在轴的正半轴上，以点为圆心、为半径作弧交反比例函数图象于点，连接，分别过点和点作轴和轴的平行线形成矩形，该矩形对角线交于点，连接．
(1)设，，求直线的函数解析式（用含，的代数式表示），并判断点是否在直线上；
(2)猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图，当点的坐标为时，求与矩形的面积比．
答案与详解
1．C
解：∵点A、B在反比例函数y的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵四边形的面积是3，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象在第二四象限，
∴
2．A
① 对于，
，，
，
故正确；
② 设，
由是2倍率线段得：，
化简得，
即或，
当时，
方程无解；
当时，
解得，
只有一个解，
只有一条，
③ 设，
由是1倍率线段得：，
即或，
当时，
解得：；
当时，
解得：或；
，
当时，，
当时，，
当时，，
则长度为或，
④ 令，
得，
即，
令，
得，
解得：或，
由于图像与轴正半轴交于点，
则，
设线段表达式为：，
将代入得：，
解得：，
故线段表达式为：，
设，则
∴，
由是倍率线段得：，
化简得：或，
当时，
，
令，
当对称轴时，取最小值，
故此时的最大值为，
此时；
当时，
∵
∴
，
∵在上的长度随着的增大而增大，
∴时，的最大值为，
此时，
而，故最大时，；
故④错误；
综上，①②正确．
3．A
解：一次函数，则，
，解得或，
，则，
，，故①正确；
由题可知四边形为直角梯形，且，
四边形的面积为，故②错误；
∵点A与点B关于直线对称，反比例函数关于对称，
∴当的解析式为时，的长度最大，
解方程组得或，
∴此时M点的坐标为，故③正确；
当的长度最大时，求对应的点的坐标，
得
此时N点的坐标为，故④错误．
4．A
解：根据题意，设，则点B的纵坐标为，点C的横坐标为，
∵点B、C在反比例函数上，
∴，，
∴，，
∴当时，即，解得，符合题意，
∴与可能相等，故①正确；
设直线的表达式为，直线的表达式为，
代入，，，得
；，
解得；，
∴直线的表达式为，直线的表达式为，
联立，
解得，即，
∴，
∴当时，即，整理得，符合题意，
∴与可能相等，故②错误；
如图，延长交y轴于点M，延长交x轴于点N，
则轴，轴，
∴，
∴，，
∴与的面积一定相等，故③正确；
根据题意可知，由①可知，，
∴，
∴，
∴与的面积一定不相等，故④错误；
综上，正确的说法是①③．
5．C
解：过点作轴于点，过点作轴于点，
是等腰直角三角形，，，
，，
，
，
双曲线经过点，
，即，
线段绕点顺时针旋转交双曲线于点，
，
，，
，
轴，
是等腰直角三角形，
，
设
点在双曲线上，
，即，
解得，
，
，
，
，
在中，，
．
6．C
解：选项A、，
∵，随增大而增大，且 ，
∴，不符合要求，A错误．
选项B、，
∵，反比例函数图象分布在一、三象限，A、B横坐标为负，在第三象限，C横坐标为正，在第一象限，
∴，，，又第三象限内随增大而减小，由得，
∴，不符合要求，B错误．
选项C、 ，
∵二次函数，开口向下，对称轴为，开口向下时，点到对称轴的距离越大，函数值越小，
计算各点到对称轴的距离：，， ，
∵ ，
∴，符合要求，C正确．
选项D、，
∵二次函数，开口向上，对称轴为，开口向上时，点到对称轴的距离越大，函数值越大，
计算各点到对称轴的距离：， ， ，
∵ ，
∴，不符合要求，D错误．
7．D
解：∵反比例函数，
∴函数图象在第一象限，第三象限，在每个象限中，随的增大而减小；
A、当，，
∴点，点在同一个象限，
若三个点都在第一象限时，则；若，则
∴A错误；
B、当，，
∴点，点在同一个象限，
若三点在第一象限，则；若点在第三象限，则；
B、错误；
C、当，
∴点，点在不同的象限，
∵，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴当点在第一象限时，；当点在第三象限时，；
∴C错误；
D、当，
∴点在第三象限，点在第一象限，点在第一象限，
∴；
D、正确．
8．
解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵点、分别在反比例函数、的图象上，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
同理可得，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵的面积为，
∴，
解得．
9．
解：如图，过点作于，
∵，
∴，
∵点坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点关于原点对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在双曲线上，
∴．
10．4
解：由函数得，且，
联立，则，
∴，
∵，
∴必有两个不相等的实数根，
∵时，，且双曲线的图象在第一、三象限，
∴与的图象在第一象限必有一个交点；
联立，则，
∴，
∵与的图象在第一象限有一个交点，
∴要使总交点数为2，
∴与的图象必有一个交点，
∴有两个相等的实数根，
∴，
解得，
当时，则，解得，
当时，，符合题意；
当时，则，解得，
∵，
∴不符合题意，舍去；
综上所述，．
11．
解：连接交轴于点，过点作轴于，
∵四边形为菱形，
∴轴，，
∴，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
∵双曲线于点，
∴，
∴，即：，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形的面积是，
∴，
∵，
∴即：.
12． 4
解：分别过、作、，垂足分别为、，则，
∴，
∵的面积是的面积的3倍，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵过原点的直线交双曲线于，两点，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵在直线上，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴点的横坐标为4.
13．/
解：如图所示，过点A，点B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．
14．1或7
解：分两种情况讨论：
①将直线沿轴向上平移个单位，
∴平移后解析式为：，
联立，
整理得：，
∴，即，
解得，或，
∵，
∴舍去，
∴；
②将直线沿轴向下平移个单位，
∴平移后解析式为：
联立，
整理得：，
，
解得，或，
∵，
∴舍去，
∴；
综上，实数的值为或．
15．
解：∵的中点为，
∴为中边的中线，
∴，即．
四边形的面积等于的面积，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵和高相等，
∴，
∴为中边的中线．
∴为的重心，
∴，
∵设和过点的高为，
，
∴，
∴，
∴．
∵设，，
∵，
∴，即，即
∴，即．
∵点、点在双曲线上，
∴，
将代入①中得：，即，
，
，
．
16．（1）解：将点代入一次函数表达式得：，
解得：，
即一次函数的表达式为：，
将代入，得，
点B的坐标为，
将点B的坐标代入反比例函数表达式得：，
即反比例函数表达式为：；
（2）解：设点D的坐标为，则点，
若是以为底边的等腰三角形，则点B在的中垂线上，
则，
解得：（舍去），，
点C的坐标为：；
（3）解：设，
四边形为矩形，
，
∴，
即
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
解得（舍去），，
∴，
∴，
四边形是矩形，
∴，，
即B到A的平移方式和P到Q的平移方式相同，
∵，，
∴B到A的平移方式为向左4个单位，再向下8个单位，
∵，
∴．
17．（1）解：当时，
①，方程无解，
∴的图象上，不存在“均衡点”；
②，则，无实数根，
∴的图象上，不存在“均衡点”；
③，解得，
∴的图象上，存在“均衡点”；
④，即，
∵，
∴方程没有实数根，
∴的图象上，不存在“均衡点”；
综上所述，存在“均衡点”的函数是③．
（2）解：在中，令，则，
解得（舍去），
∴，
在中，令，则，
解得，
∴，
∴在直线上，其中，
∵过点作轴，垂足为．
∴，
如图，作轴于点D，轴于点C，
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得或，
∵当时，点在上，此时，
∴不合题意，舍去，
∴
（3）解：的图象的顶点为，对称轴为直线，
设点，
∵绕轴上一点旋转，
∴旋转后抛物线开口向上，形状不变，顶点为，
∴旋转后的抛物线为
当时，即，
∵旋转后的图象上恰有点1个“均衡点”时，
∴，
解得，
∴点．
18．（1）解：存在关联点和关联函数，理由如下：
整理得：，
解得：，
所以，关联点为或，
关联函数为：；
（2）解：由题意知：，
得关联函数为：，
因此可得：
解得：，
，
，
解得：，
是整数，
；
（3）解：由一次函数和反比例函数得：“关联函数”的解析式为，
函数的对称轴为：；
当时，即，
，函数取得最小值，即，
解得：或（舍去）；
当，即，
函数在处取得最小值，即，无解；
当即时，
函数在处，取得最小值，即，
解得：（舍去），
综上，或，
故“关联函数”的解析式为或．
19．（1）解：∵函数的图像经过点，
∴ ；
∵反比例函数的图像经过点
∴，即；
（2）解：当时， ， 即
必过
由（1）可知：，即反比例函数为：，
当时，， 即，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，
∴，即．
当，函数与函数在上，有交点，不符合题意，
∴．
20．（1）解：若，代入得，方程无解，
函数的图象上不存在“完美点”，即不是“完美函数”；
若，代入得，解得，
函数的图象上存在“完美点”，即是“完美函数”；
若，代入得，解得，
函数的图象上存在“完美点”，即是“完美函数”；
若，代入得，解得，
函数的图象上存在“完美点”，即是“完美函数”．
（2）解：将点代入反比例函数中，得，
反比例函数的解析式为，
令，得，
解得，
该函数图象上的“完美点”的坐标为，；
（3）解：令，则，整理可得，
函数的图象上有且只有一个“完美点”为点，
，即，解得，
函数解析式为．
令，解得，
点的坐标为．
为常数且的图象上有两个“完美点”，
令，则，
整理可得，
由求根公式，得，
可得，．
，点在点的左侧，
，，且，
，
，
，
．
即，
解得或（不合题意，舍去），
综上所述，的值为．
21．（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：①∵点在反比例函数的图象上，
∴，
设直线l的表达式为，
∴，
∴，
∴直线l的表达式为，
联立得，整理得，
∵直线l与反比例函数的图象有且只有交点M，
∴，
解得，
∴直线l的表达式为
令，则，
解得，
∴，
∵点B的坐标为，
∴；
②∵，整理得，
解得，，
∴点D的坐标为，
设直线的表达式为，
∴，解得，
对于直线l的表达式为，
令，则，解得，
∴点C的坐标为，
∴直线的表达式为，
∴，
解得，
∵，
∴，即，
解得（舍去）或，
∴点D的坐标为．
22．（1）解：∵反比例函数（）的图象经过点和点，
∴．
∴．
∴点．
把点代入（）得，
∴．
（2）∵点C为反比例函数的图象上第二象限的点，
∴设．过C作轴于M，过A作轴于N．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴（正值舍去）．
∴，
∵
设，，则
．
∴．
（3）解：过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，
又，
是等腰直角三角形，
．
过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，
又，
是等腰直角三角形，
．
，
．
由勾股定理得
，
．
，以、为两个互相垂直方向，设平面内一点沿着方向对应的线段长为，沿着方向对应的线段长为，
则点可看作，点可看作．
设直线对应的关系式为，
把，代入得
，
解得，
直线对应的关系式为．
∵反比例函数的图象关于象限角平分线对称，绕原点逆时针旋转后，图象上点满足的乘积定值几何性质不变，因此曲线上任意一点在互相垂直的方向上对应的线段长度乘积仍为6．
可得关系式．
联立，
将代入中，
得，
整理得，
解得，．
当时，，当时，．
，
∴沿方向的线段长度就是点到直线的垂直距离，即点、到直线的距离分别为和，
．
23．（1）解：如图：
如图，过作垂直于直线，垂足为，
过作轴的垂线交直线于点，作于点，
与轴成角，
设的坐标为，则的坐标为
，，，
，，
，
，
，
，
，
曲线的方程为，
（2）解：①如图，分别过，作直线的垂线，垂足分别为，，
，，
在直线上，
设与直线交于点，则，
，
由（1）知，曲线方程为，
即，它是一个反比例函数，
它的图象关于对称，即关于对称，
不妨设，
当时，四边形与四边形均为矩形，
，
，，
，
当时，过作于点，交于点，则，，
，
，
，
，
得 ，
，
，
，
，
，
即 ，
，
当时，等号成立，此时最小，
综上所述：当时，等号成立，此时最小，
此时，，
设直线的解析式为,
把代入得,
，
的解析式为；
②如图：
设
，
，
由①问可知 ，
，，
，，
，，，
，
，
当 即 时，
取最大值，最大值为 .
24．（1）解：∵矩形，，，
∴，
∵设直线的函数解析式为，并将代入，
∴，
∴直线的函数解析式为，
∵将代入函数解析式，得，
∴点在直线上；
（2）猜想，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，延长交轴于点，过点作于点，
∵矩形，
∴，
∴
∵，
∴，
∵的坐标为，则，，，
由（2）中可知，，
∴，
∵由（2）可知
∴，则
∵在中，，
∴，
∵设，
∴，
∵在中，，，
∴根据勾股定理，，
∵由，，
∴，
∴，即，
解得，（舍），
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴点，
∵矩形，
∴，将代入，得，解得，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
∴ ，
∴与矩形的面积比为．
法二：如图，延长交轴于点，取中点，连接，
∵矩形，
∴，，
∴
∵，
∴，
∵的坐标为，则，，，
∴，
∵在中，设，则，
∴根据勾股定理，
∴，
∵，为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，（舍），（舍），
∴
∴，
∴与矩形的面积比为

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