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分式单元提升小练
一、单选题
1．若分式的值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则下列判断正确的是（ ）
A．的计算结果为 B．当时，
C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或
7．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
8．已知，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．能使分式的值为整数的整数的值有_____个（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
11．若式子有意义，则的取值范围是_____．
12．已知，那么__________．
13．计算的结果等于_____．
14．当时，代数式的值是______．
15．已知，则的值是_________．
16．对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______．
17．图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形后的图形，图2是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，，已知a为大于1的整数，则的最小值为______．
18．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________．
19．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是______．
20．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作，由图可知，则_____，_____．
三、解答题
21．计算：
(1)； (2)．
22．先化简，再求值：，其中．
23．解下列方程：
(1) (2)
24．智能机器人已广泛应用于各类工业生产领域，某化工厂要在规定时间内搬运2000千克化工原料，现有两种智能机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成的工作量的2.5倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少20小时，求型机器人每小时各搬运多少千克原料？
25．下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量
解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=2
(1)解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ．
A、甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元 C．甲种商品购进x件
(2)根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价．
(3)若商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？
26．【提出问题】
已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？
【观察发现】
观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即．
【探究验证】
（1）对于，我们可以用“作差法”进行证明：
．
，
，．
，即．
；
（2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论；
【拓展思考】
（3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子；
【方法应用】
（4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由．
试卷第6页，共6页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B A A A B C C B
1．D
【详解】解：∵分式的值为0，
∴需要同时满足分子等于0，分母不等于0，
可得，解得，
∴的值为2．
2．C
【详解】解：A、，可以约分，不是最简分式，不符合题意；
B、，可以约分，不是最简分式，不符合题意；
C、中，无法分解因式，分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式，符合题意；
D、，可以约分，不是最简分式，不符合题意．
3．B
【详解】解：
．
4．A
【详解】解：
．
5．A
【详解】解：和都扩大为原来的倍，
分母变为，即分母扩大为原来的倍，
分式的值不变，
新的分子应扩大为原来的倍，
A、若，新分子为，符合要求；
B、若，新分子为，不符合要求；
C、若，新分子为，不符合要求；
D、若，新分子为，不符合要求．
6．A
【详解】解：
，故A正确；
选项B：时原算式中两个分母均为0，无意义，故B错误；
选项C：当时，，，
∴ ，为负数，故C错误；
选项D：若为整数，只需为整数，例如时，也为整数，故D错误．
7．B
【详解】解：
方程两边同乘得：，
移项、合并同类项得：，
方程的解为正数，且分式分母不能为0，
，即，
，
解得：且．
8．C
【详解】解：
∵，
∴，且，故A，B错误；
，，故C正确，D错误.
9．C
【详解】解：∵，且，
等式两边同除以得，
两边平方得，展开得，整理得，
对等式，分子分母同除以得，
整理得，
将，代入得，
去分母得，解得，即．
10．B
【详解】解：整理得： （）.
设 （ 为整数），
则 ，
∵ 为整数，∴ 为整数，故 为整数，
∴ 为 2 的约数，即 .
当 时，，;
当 时，，;
当 时，，;
当 时，，.
所有 均满足 ，
∴ 整数 的值有 4 个.
11．且
【详解】解：根据题意得
解不等式，得
解不等式，得
因此的取值范围是且．
12．
【详解】解：∵，
∴，
即．
13．
【详解】解：原式
14．
【详解】解：
当时，原式
15．
【详解】解：由，通分可得，
，
．
16．
【详解】解：根据新运算定义可得：，
17．
【详解】解：由题意可得，，
∴，
即可化简为．
，
∵a为大于1的整数，
∴当时，取得最大值为，
此时取得最小值为，
即的最小值为．
18．或
【详解】解：
，
根据分式有意义的条件有：，，，即，
则当时，原分式方程无解，
令，解得：或，
当或时，原分式方程无解．
19．
【详解】解不等式组：
第一个不等式 ，两边乘 2 得 ，即 ，解得 ，
第二个不等式 ，解得 ，
∵ 不等式组的解集为 ，
∴ ，
解得 ；
解分式方程 ：
两边乘 （）得 ，即 ，整理得 ，故 ，
∵ 分式方程的解为负整数且 ，
∴ 且 为负整数，且 ，
结合 且 为整数，得 或 ，
所有满足条件的整数 的值之和为 ，
故答案为： ．
20． 10
【详解】解：∵
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：10，．
21．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式．
（2）原式．
22．；
【详解】解：
当时，原式．
23．(1)
(2)
【详解】（1）
解：方程两边同乘以，得
检验：时，
所以，原分式方程的解为
（2）
解：方程两边同乘以
检验：当时，
所以，原分式方程的解为
24．A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克．
【详解】解：设A型机器人每小时搬运x千克，则B型机器人每小时搬运千克，
根据题意得：，
解得：，
经检验：为分式方程的解，
则，
答：A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克．
25．(1)A，C
(2)甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件
(3)至多购进甲种商品12件
【详解】（1）解：设甲种商品每件进价x元，由甲商品数量等于乙商品数量，可得：，
设甲种商品购进x件，由甲商品进价减去乙商品进价等于2可得：；
故答案为：A，C；
（2）解：①，
，
，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意；
∴，
答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件．
②
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件
答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件．
（3）解：设甲商品购进件，则乙商品购进件，
∵商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品，
∴，
∴，
答：至多购进甲种商品12件．
26．（2），见解析；（3）不成立，正确的应该是；（4）当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回，见解析
【详解】解：（2），理由如下：
，
∵，，
∴，，
∴，即，
∴．
（3）不成立，正确的应该是．
理由如下：根据（2）可得，
∵，，
∴，，
∴，即，
∴．
（4）当返回为顺水时，，．
，
∵，
∴，即．
当返回为逆水时，，．
∵，
∴，即．
所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回．

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