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(共68张PPT)
第三章　一元函数的导数及其应用
3.1　导数的概念及其意义、导数的运算
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.了解导数的概念,理解导数的几何意义,掌握基本初等函数的导数. 2.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数的导数. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T13 全国一卷T12
新课标Ⅱ卷T16
必备知识　回顾
1.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作______或_________.
f'(x0)=
(2)函数y=f(x)的导函数
f'(x)=.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的____,相应的切线方程为_____________________.
知识梳理
f'(x0)
y'
斜率
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
.
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=__
f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=____
f(x)=sin x f'(x)=__________
f(x)=cos x f'(x)=____________
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=__________
f(x)=ex f'(x)=__
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
0
αxα-1
cos x
-sin x
axln a
ex
4.导数的运算法则
若f'(x),g'(x)存在,则有
(1)[f(x)±g(x)]'=__________________.
(2)[f(x)g(x)]'=______________________.
(3)(g(x)≠0).
(4)[cf(x)]'=______.
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
cf'(x)
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=__________,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
yu'·ux'
1.可导奇函数的导数是偶函数,可导偶函数的导数是奇函数,可导周期函数的导数还是周期函数.
2.曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.注意“在点P处的切线”,说明点P为切点,点P既在曲线上,又在切线上;“过点P的切线”,说明点P不一定是切点,点P一定在切线上,但不一定在曲线上.
3.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,|f'(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率. (　 　)
(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f'(x)=cos x.(　 　)
(3)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0). (　 　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是该曲线的切线.(　 　)
基础检测
√
×
×
×
2.(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T1,T2改编)函数y=的导数为______________________________;函数y=3xe-3x的导数为_____________________.
解析:对于函数y=,其导数y'==
.
对于函数y=3xe-3x,其导数y'=(3x)'e-3x+3x(e-3x)'=3xe-3xln 3-3x+1e-3x.
y'=
y'=3xe-3xln 3-3x+1e-3x
3.(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T6改编)已知函数f(x)满足f(x)=f'cos x-sin x,则f'.
解析:f'(x)=-f'sin x-cos x,令x=,得f',解得f'.
4.(人教A版选择性必修第二册P82习题5.2T11改编)已知曲线y=xex在点(1,e)处的切线与曲线y=aln x+2在点(1,2)处的切线平行,则a=____.
解析:由y=xex,得y'=ex(x+1),故该曲线在点(1,e)处的切线斜率为2e.由y=aln x+2,得y'=,故该曲线在点(1,2)处的切线斜率为a.因为两切线平行,所以a=2e.
2e
关键能力　提升
考点1 导数的概念
【例1】　(2025·江苏盐城三模)若f(x)= ln,则=(　 　)
A.0 B.2
C.-2 D.-4
【解析】　因为f(x)=ln,所以f'(x)=,所以f'(1)==-2,则=f'(1)=-2.故选C.
C
由导数的定义可知,若函数y=f(x)在x=x0处可导,则f'(x0)
=,它仅与x0有关,与Δx无关,因此使用导数的定义时要明确公式的形式,分子为函数值的改变量,分母是自变量的改变量,要注意公式的变形.
【对点训练1】　若f(t)=3t-sin t,则的值为 (　 　)
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:∵f(t)=3t-sin t,∴f'(t)=3-cos t,故=3-0=3.故选A.
A
考点2 导数的运算
【例2】　(1)(多选)下列求导运算正确的是(　 　)
A.[ln(-x)]'=
B.(2-x)'=-ln 2·2-x
C.()'=
D.
ABD
【解析】　对于A,[ln(-x)]'=×(-1)=,故A正确;对于B,(2-x)' ==-ln 2·2-x,故B正确;对于C,()'=[(x-1]'=(x-1,故C错误;对于D,,故D正确.故选ABD.
(2)已知函数f(x)=f'(1)x2+ln x+,则f'(2)=.
【解析】　f'(x)=f'(1)·2x+,令x=1,可得f'(1)=f'(1)+1-,解得f(1)=3,则f(1)=f'(1)+,即f'(1)=4.故f'(x)=,则f'(2)=8+.
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用导数的运算法则求导.
2.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时可进行换元.
4.对解析式形如f(x)=f'(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数的求值问题,解题思路:先求导数f'(x),然后令x=x0,解关于f'(x0)的方程,即可得到f'(x0)的值,进而得到f(x),f'(x),再进行求解.
规律总结
【对点训练2】　(1)(多选)(人教A版选择性必修第二册P81练习T1改编)下列求导运算正确的是 (　 　)
A.(2x3-3x2+5)'=6x2-6x
B.(ex+ln x)'=ex+
C.
D.
AB
解析:对于A,(2x3-3x2+5)'=(2x3)'-(3x2)'+(5)'=6x2-6x,故A正确;对于B,(ex+ln x)'=(ex)'+(ln x)'=ex+,故B正确;对于C,'=
-,故C错误;对于D,,故D错误.故选AB.
(2)已知函数f(x)=f'cos x+sin x,则f'.
解析:由f(x)=f'cos x+sin x,得f'(x)=-f'sin x+cos x,则f',f',解得f'.
考点3 导数的几何意义
命题角度1　求切线方程
【例3】　(1)(人教A版选择性必修第二册P82习题5.2T11改编)若函数f(x)=xln x+2xf'(1),则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为____________.
【解析】　因为f(x)=xln x+2xf'(1),所以f'(x)=ln x+1+2f'(1).令x=1,得f'(1)=1+2f'(1),解得f'(1)=-1,则f(x)=xln x-2x,f(1)=-2,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-2)=-1×(x-1),即y=-x-1.
y=-x-1
(2)已知函数f(x)=x-ln x,过原点作曲线y=f(x)的切线,则该切线的方程为____________.
【解析】　设切点为(x0,x0-ln x0),由题得f'(x)=1-,故所求切线斜率为k=f'(x0)=1-.又切线过原点,所以1-,解得x0=e,故切点为(e,e-1),切线斜率为1-,切线方程为y=x.
y=x
命题角度2　求切点坐标
【例4】　若曲线y=的一条切线与x轴平行,则切点的坐标为(　 　)
A.(1,0) B.(0,1)
C.(1,1) D.(1,e)
【解析】　设切点的坐标为(x0,y0),函数y=,所以y'=, 因为切线与x轴平行,所以=0,解得x0=0,则y0==1,故切点的坐标为(0,1).故选B.
B
命题角度3　求参数
【例5】　(1)(2025·河北沧州模拟)若曲线y=x3+2x在点(1,3)处的切线也与曲线y=x2+x+m相切,则m= (　 　)
A.4 B.-2
C.-4 D.2
【解析】　由y=x3+2x,得y'=3x2+2,则当x=1时,y'=3+2=5,曲线y=x3+2x在点(1,3)处的切线方程为y-3=5(x-1),即y=5x-2.因为切线与曲线y=x2+x+m相切,且y=x2+x+m为二次函数,联立整理得x2-4x+m+2=0,所以Δ=16-4(m+2)=0,解得m=2.故选D.
D
(2)(2025·湖南郴州三模)已知函数f(x)=x2+2aln x,若函数f(x)在区间(1,2)的图象上存在两条斜率之积为-4的切线,则实数a的取值范围为 (　 　)
A.(-2,1) B.(-2,-1)
C.(-2,0) D.(-3,-2)
D
【解析】　由f(x)=x2+2aln x,得f'(x)=2x+,x∈(1,2),不妨设这两条切线与曲线y=f(x)的切点分别为(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),且f'(x1)·f'(x2)=-4.若a≥0,则f'(x)>0恒成立,不符合题意,故a<0,此时y=f'(x)在x∈(1,2)上单调递增,依题意需使解得a∈(-3,-2).故选D.
命题角度4　公切线问题
【例6】　(1)若直线y=kx+1(k为常数)是曲线y=ln x+1和曲线y=aex+1的公切线,则实数a的值为 (　 　)
A.
C.1 D.e
B
【解析】　令f(x)=ln x+1,x∈(0,+∞),则f'(x)=.设直线y=kx+1与曲线y=ln x+1的切点为(x1,ln x1+1),则切线方程为y-ln x1-1=(x-x1),即y=x+ln x1.又y=kx+1,所以x+1.令g(x)=aex+1,则g'(x)=aex,设直线y=x+1与曲线y=aex+1的切点为(x0,a+1),则g'(x0)=a①.又切点(x0,a+1)在直线y=x+1上,所以ax0+1,即ax0②.由①和②可得x0=1,则ae=,解得a=.故选B.
(2)(一题多解)(2025·福建福州三模)曲线y=ex-1与y=ln x+1的一条公切线的方程为___________________________________.(只需写出其中一条公切线的方程)
【解析】　方法一　设f(x)=ex-1,g(x)=ln x+1,公切线与曲线y=f(x)相切于点(m,em-1),与曲线y=g(x)相切于点(n,ln n+1).因为f'(x)=ex,g'(x)=,所以公切线斜率k=em=,所以公切线方程为y-em+1=em(x-m)或y-ln n-1=(x-n),整理得y=emx-(m-1)em-1或y=x+ln n,所以即
所以(m-1)em+1-m=(m-1)(em-1)=0,解得m=1或m=0,所以公切线方程为ex-y-1=0或x-y=0.
ex-y-1=0或x-y=0(写出其中一条即可)
方法二　由曲线y=ex与直线y=x+1相切知,曲线y=ex-1与直线y=x相切.由曲线y=ln x与直线y=x-1相切知,曲线y=ln x+1与直线y=x相切,则直线y=x为曲线y=ex-1与y=ln x+1的一条公切线.
1.求曲线的切线方程要分清“在某点处”与“过某点”的不同.过某点的切点坐标未知,要设出切点坐标,根据:①斜率相等,②切点在切线上,③切点在曲线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键.
2.公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等,且切点既在切线上又在曲线上,列出有关切点横坐标的方程组,通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线,利用两切线重合列方程组求解.
规律总结
【对点训练3】　(1)(2025·河南许昌三模)若直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)相切,则b-a的值为(　 　)
A.1 B.
C.2 D.
A
解析:设直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)的切点为(x0,y0),对y=ln(x+b)求导,得y'=,直线y=x+a的斜率为1,由导数的几何意义知,=1,即x0=1-b.又切点(x0,y0)既在直线上又在曲线上,∴y0=x0+a且y0=ln(x0+b),即ln(x0+b)=x0+a.将x0=1-b代入ln(x0+b)=x0+a,得ln(1-b+b)=1-b+a,即b-a=1.故选A.
(2)(2025·黑龙江哈尔滨二模)已知曲线y=ln x在x=1处的切线与曲线y=ex+a相切,则a=____.
解析:由y=ln x,得y'=,则当x=1时,y'=1.又当x=1时,y=ln 1=0,所以曲线y=ln x在x=1处的切线方程为y=x-1.对于y=ex+a,可得y'=ex,设切点为(x0,y0),则
-2
【例】　已知0A.
C.x1+x3<2x2 D.x1+x3>2x2
C
【解析】　对于A,B,由题意知f'(x)=cos x,则曲线在点(xi,sin xi)处的切线斜率ki=cos xi=(注意切线过原点),即xi==tan xi,则=1,故A,B错误.对于C,D,同时xi可看作直线y=x与曲线y=tan x在(0,4π)内的3个交点的横坐标.作函数y=tan x与y=x的图象,如图,设A(x1,tan x1),B(x2, tan x2),C(x3,tan x3),易知D(x2-π,tan x2),E(x2+π,tan x2).由正切函数的图象和性质知kAD0,
x3-x2-π>0,所以(x2-x1)(x3-x2-π)<(x3-x2)(x2-π-x1),
即x1π+x3π<2πx2,即x1+x3<2x2,故C正确,D错误.
故选C.
本题通过切线斜率考查导数的几何意义,判断选项C,D是否正确的关键是根据tan xi=xi(i=1,2,3)构造tan x=x,通过转化思想和数形结合思想分析,将计算问题转化为图象问题,减少计算量,体现新高考的变化趋势.
创新解读
高考真题 教材典题
1.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　 　) A. 1.(人教A版选择性必修第二册P82习题5.2T11)设曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直,求a的值.
考教衔接
解析:因为f'(x)=,所以f'(0)=3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0.切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),,故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.故选A.
A
高考真题 教材典题
2.(一题多解)(2025·全国一卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=__. 2.(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T5)求曲线y=在点M(π,0)处的切线方程.
4
解析:方法一　对于y=ex+x+a,其导数为y'=ex+1.因为直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,直线的斜率为2,所以令y'=ex+1=2,即ex=1,解得x=0.将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5,则切点坐标为(0,5).因为切点(0,5)在曲线y=ex+x+a上,所以5=e0+0+a,即5=1+a,解得a=4.
方法二　对于y=ex+x+a,其导数为y'=ex+1.设直线y=2x+5与曲线y=ex+x+a的切点为(x0,y0),则解得a=4.
课时作业17
1.(5分)(2025·广东湛江二模)已知函数f(x)=ex+2x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 (　 　)
A.y=2x+1 B.y=3x+1
C.y=2x D.y=3x
解析:由f(x)=ex+2x,得f'(x)=ex+2,则f(0)=1,f'(0)=3,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=3x+1.故选B.
基础巩固
B
2.(5分)已知函数f(x)=f'(1)ex-ex,则f'(1)的值为 (　 　)
A.
C.1 D.-1
解析:f'(x)=f'(1)ex-e,则f'(1)=f'(1)e-e,解得f'(1)=.故选A.
A
3.(5分)已知函数f(x)=2ex,则= (　 　)
A.2e B.-3e
C.-6e D.3e
解析:由题意得f'(x)=2ex,则=
-=-f'(1)=-×2e=-3e.故选B.
B
4.(5分)(2025·福建莆田二模)若曲线y=xex-x在点P处切线的斜率为-1,则点P的坐标为 (　 　)
A.(-1,-1) B.
C.(1,e-1) D.(1,2e-1)
解析:y'=(x+1)ex-1,令(x+1)ex-1=-1,则(x+1)ex=0,故x=-1.当x=-1时,y= -e-1-(-1)=1-,即点P的坐标为.故选B.
B
5.(5分)过坐标原点作曲线y=(x-4)ex的切线,则切线有 (　 　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
解析:由y=(x-4)ex可得y'=(x-3)ex,过坐标原点作曲线y=(x-4)ex的切线,设切点为(x0,y0),则切线的斜率k=(x0-3),切线方程为y-y0=(x0-3)(x-x0).又y0=(x0-4),且切线过原点,所以-(x0-4)=(x0-3)(-x0),即-4x0+4=0,解得x0=2,即切线有1条.故选B.
B
6.(5分)(2026·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0平行,则实数a的值为 (　 　)
A.-　　 D.1
解析:由f(x)=可得f'(x)=,则f'(1)=.因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0平行,且直线2x-y=0的斜率为2,所以=2,解得a=-.故选A.
A
7.(5分)函数f(x)=2+ln x的图象与函数g(x)=ex的图象的公切线的斜率为 (　 　)
A.1 B.±e
C.1或e D.1或e2
C
解析:设切线与函数f(x)=2+ln x的图象和g(x)=ex的图象的切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),x1>0,因为f'(x)=,g'(x)=ex,所以切线方程为y-(2+ln x1)=(x-x1)或y-(x-x2),所以,即-ln x1=x2,则1+ln x1=(1+ln x1)×,即(1+ln x1)(x1-1)=0,解得x1=1或x1=,故公切线的斜率为1或e.故选C.
8.(5分)若曲线y=(x-a)ex有两条过坐标原点的切线,则实数a的取值范围为(　 　)
A.(-∞,0)∪(4,+∞)
B.(-∞,0]∪[4,+∞)
C.(-∞,0]∪(4,+∞)
D.(-∞,0)∪[4,+∞)
A
解析:设切点坐标为(x0,y0),y'=ex+(x-a)ex=(x+1-a)ex,则切线的斜率为k=(x0+1-a),故切线方程为y-(x0-a)=(x0+1-a)(x-x0).又切线过坐标原点,所以0-(x0-a)=(x0+1-a)(0-x0),整理得-ax0+a=0.又曲线有2条过原点的切线,所以该方程有2个不相等的实数解,所以Δ=a2-4a>0,解得a>4或a<0.故选A.
9.(8分,多选)下列求导运算中,不正确的是(　 　)
A.(sin 2x)'=cos 2x B.(2x)'=2x
C.(xex)'=(x+1)ex D.
解析:对于A,(sin 2x)'=2cos 2x,故A错误;对于B,(2x)'=2xln 2,故B错误;对于C,(xex)'=(x+1)ex,故C正确;对于D,,故D错误.故选ABD.
ABD
10.(8分,多选)已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行,则下面等式可能成立的是(　 　)
A.x1+x2=2 B.x1+x2=
C.x1x2=1 D.x1x2=
解析:对于C,D,因为f(x)=x2+2ln x,所以f'(x)=2x+,x>0,又f(x)的图象在A,B两点处的切线相互平行,所以f'(x1)=2x1+=f'(x2)=2x2+,整理得(x1-x2)=0,因为x1≠x2,所以x1x2=1,故C正确,D错误;对于A,B,又x1+x2≥2=2,且x1≠x2,所以x1+x2>2,故A错误,B正确.故选BC.
BC
11.(8分,多选)下列说法正确的是 (　 　)
A.曲线y=ex+1在x=0处的切线与直线y=0和y=2x围成的三角形的面积为2
B.函数f(x)=ln x与函数g(x)=ax2-a的图象在点(1,0)处的切线相同,则实数a=
C.曲线f(x)=3ln x+x+2在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则点P0的坐标为(1,3)
D.直线y=2x+1上的点到曲线y=x+ln x距离的最小值为
BC
解析:对于A,由y=ex+1可得y'=ex,当x=0时,y'=1,y=2,则曲线y=ex+1在点(0,2)处的切线方程为y-2=x-0,即x-y+2=0,令y=0,解得x=-2,联立
×2×4=4,故A错误;对于B,由f(x)=lnx,g(x)=ax2-a,可得f'(x)=,g'(x)=2ax,因为函数f(x)=ln x与函数g(x)=ax2-a的图象在点(1,0)处的切线相同,所以f'(1)=g'(1),可得1=2a,所以a=,故B正确;对于C,设切点P0(x0,y0),由f(x)=3ln x+x+2,可得f'(x)=+1,则切线的斜率为
f'(x0)=+1,因为切线方程为4x-y-1=0,即y=4x-1,即切线的斜率为4,所以+1=4,解得x0=1,所以4-y0-1=0,解得y0=3,所以点P0的坐标为(1,3),故C正确;对于D,令f(x)=x+ln x,则f'(x)=1+,令f'(x)=1+=2,解得x=1,又f(1)=1,f'(1)=2,所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,因为直线y=2x-1与y=2x+1之间的距离d=,所以直线y=2x+1上的点到曲线y=x+ln x距离的最小值为,故D错误.故选BC.
12.(5分)(2026·浙江宁波模拟)已知函数f(x)=x(ex+a)+2的图象在点(0,f(0))处的切线与直线x-3y=0垂直,则a=____.
解析:由题意有f'(x)=ex+a+xex=(x+1)ex+a,则f'(0)=1+a.因为函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线与直线x-3y=0垂直,所以f'(0)=1+a=-3,所以a=-4.
-4
13.(5分)与曲线y=和曲线y=-ln x-2均相切的直线的方程为__________.
解析:设曲线y=和曲线y=-ln x-2在点B(x1,-ln x1-2)处的切线重合.对于y=,y'=-,对于y=-ln x-2,y'=-,故-,即=x1,x0=ln x1.曲线y=(x-x0),将B(x1,-ln x1-2)代入得-ln x1-2-(x1-x0),即-ln x1-2-(x1-ln x1),即-(x1+1)ln x1=x1+1.又x1>0,所以x1=,则x0=ln=-1,故切线方程为y-e=-e(x+1),即y=-ex.
y=-ex
14.(5分)(2025·河南南阳三模)已知函数f(x)=2aex的图象与g(x)=ln x+1的图象存在公切线,则实数a的最小值为 (　 　)
A.
C.
素养提升
B
解析:设公切线与函数f(x)=2aex的图象及函数g(x)=ln x+1的图象的切点分别为(m,2aem),(n,ln n+1),且f'(m)=2aem,g'(n)=,故两切线方程为y-2aem=2aem(x-m),y-(ln n+1)=(x-n),即y=2aemx+(-m+1)2aem,y=x+ln n.因为f(x)的图象与g(x)的图象存在公切线,所以有解,消去m得ln(2a)=(n-1)ln n-1,令h(x)=(x-1)ln x-1,x>0,h'(x)=ln x-+1,易得h'(x)在(0,+∞)上单调递增,且h'(1)=0,故当x∈(0,1)时,h'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0.故h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.则h(x)min=h(1)=-1,故ln(2a)的最小值为-1,则2a的最小值为,即实数a的最小值为.故选B.
15.(5分)(2026·辽宁沈阳模拟)若曲线y=ln(2x)在点P(x1,y1)处的切线与曲线y=e2x相切于点Q(x2,y2),则.
解析:曲线y=ln(2x)在点P(x1,y1)处的切线与曲线y=e2x相切于点Q(x2,y2),∵[ln(2x)]'=,(e2x)'=2e2x,∴曲线y=ln(2x)在点P(x1,y1)处的切线斜率k1=,曲线y=e2x在点Q(x2,y2)处的切线斜率k2=2,∴曲线y=ln(2x)在点P(x1,y1)处的切线方程为y=(x-x1)+y1=x+ln(2x1)-1,曲线y=e2x在点Q(x2,y2)处的切线方程为y=2(x-x2)+y2=2x+(1-2x2),
∴
即
∴2x1(2x2+1)=2x2-1,易知2x2+1≠0,∴2x1=,∴.
16.(6分)(2025·河南新乡二模)曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量,对于平面曲线y=f(x),其曲率K=(y'是y的导数,y″是y'的导数),曲率半径ρ是曲率K的倒数,其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率v沿曲率半径为ρ的曲线做曲线运动时,向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率v0沿形状满足y=x3-x2的光滑轨道运动,则其在点(0,0)处的向心加速度的大小为(　 　)
A.
C.
创新学习（多想少算）
B
解析:设f(x)=x3-x2,则f'(x)=3x2-2x,f″(x)=6x-2,则f'(0)=0,f″(0)=-2,则曲线在点(0,0)处的曲率K==2,曲率半径ρ=,故曲线y=x3-x2在点(0,0)处的向心加速度的大小为.故选B.
本课结束

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