资源简介

(共59张PPT)
第三章　一元函数的导数及其应用
3.2　导数与函数的单调性
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性. 2.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T10
新课标Ⅱ卷T6 全国二卷T18
必备知识　回顾
1.函数的单调性与导数的关系
一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)内,如果__________,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增;如果__________,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减.
2.利用导数判断函数f(x)单调性的步骤
第1步,确定函数f(x)的定义域和导数f'(x);
第2步,求出导数f'(x)的零点;
第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各个区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
知识梳理
f'(x)>0
f'(x)<0
1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立.
2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)<0有解.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则一定有f'(x)>0. (　 　)
(2)若在(a,b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.(　 　)
(3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.(　 　)
(4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数.(　 　)
基础检测
×
√
×
√
2.(人教A版选择性必修第二册P87练习T3改编)函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列判断中正确的是 (　 　)
A.f(x)在(-3,1)上单调递增
B.f(x)在(1,3)上单调递减
C.f(x)在(2,4)上单调递减
D.f(x)在(3,+∞)上单调递增
C
解析:由题图得,当x∈(-3,0)时,f'(x)<0,故f(x)在(-3,0)上单调递减,当x∈(0,2)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,2)上单调递增,当x∈(2,4)时,f'(x)<0,故f(x)在(2,4)上单调递减,当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(4,+∞)上单调递增,显然C正确,其他选项错误.故选C.
3.(人教A版选择性必修第二册P97习题5.3T2改编)函数f(x)=x3+2x2-4x的
单调递增区间为___________________.
解析:由f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)>0,得x<-2或x>,故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),.
(-∞,-2),
4.(人教A版选择性必修第二册P89练习T2改编)若函数f(x)=x3+ax2-ax在R上单调递增,则实数a的取值范围是______________.
解析:由题知f'(x)=3x2+2ax-a≥0在R上恒成立,则4a2+12a≤0,解得 -3≤a≤0.
[-3,0]
关键能力　提升
考点1 不含参函数的单调性
【例1】　已知定义在区间(0,π)上的函数f(x)=x-2sin x,则f(x)的单调递减区间为(　 　)
A.,
C.
【解析】　f'(x)=1-2cos x,x∈(0,π),令f'(x)=1-2cos x<0得cos x>,解得x∈,则f(x)的单调递减区间为.故选A.
A
确定不含参函数的单调性,按照判断函数单调性的步骤即可,但应注意:①单调性应在函数的定义域内讨论;②多个单调性相同的单调区间之间不能用并集,要用“,”或“和”隔开.
规律总结
【对点训练1】　(人教B版选择性必修第三册P95练习BT3改编)函数f(x)=x2+6x-3的单调递增区间为_________________.
解析:由题意,函数f(x)=x2+6x-3,定义域为R,且f'(x)=x2-5x+6=(x-2)(x-3),令f'(x)>0,即(x-2)(x-3)>0,解得x>3或x<2,则函数f(x)=x2+6x-3的单调递增区间为(-∞,2),(3,+∞).
(-∞,2),(3,+∞)
考点2 含参函数的单调性
【例2】　已知函数f(x)=x2-(a+2)x+2aln x,讨论函数f(x)在(0,3)上的单调性.
【解】　由题得f'(x)=x-(a+2)+(0①当a≤0时,x-a>0,则00,
f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增.
②当00,
f(x)在(0,a),(2,3)上单调递增,在(a,2)上单调递减.
③当a=2时,则f'(x)≥0在(0,3)上恒成立,故f(x)在(0,3)上单调递增.
④当20,
f(x)在(0,2),(a,3)上单调递增,在(2,a)上单调递减.
⑤当a≥3时,x-a<0,则00,2f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,3)上单调递减.
综上所述,
当a≤0时,f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增;
当0当a=2时,f(x)在(0,3)上单调递增;
当2当a≥3时, f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,3)上单调递减.
1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
2.划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数值为零的点和函数的间断点.
3.若导函数为二次函数式,首先看能否因式分解,再讨论二次项系数的正负及两根的大小;若不能因式分解,则需讨论判别式Δ的正负,二次项系数的正负,两根的大小及根是否在定义域内.
规律总结
【对点训练2】　(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T19改编)已知函数f(x)=-x2+x-mln x,当m∈R时,求f(x)的单调区间.
解:f'(x)=-2x+1-=(x>0),
抛物线y=-2x2+x-m的对称轴为直线x=,Δ=1-8m,
当m≥时,有Δ≤0,y≤0,则f'(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.
当0则在,上f'(x)<0,
在上f'(x)>0,
f(x)在,上单调递减,
在上单调递增.
当m≤0时,
则y=0有一个正根,
则在上f'(x)>0,
在上f'(x)<0,
f(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上,当m≥时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;
当0当m≤0时,f(x)的单调递增区间为,
单调递减区间为.
考点3 函数单调性的应用
命题角度1　求参数的取值范围
【例3】　(2026·河北秦皇岛模拟)已知函数f(x)=在R上单调递减,则a的取值范围是 (　 　)
A.
C.[1,) D.
C
【解析】　由题意,当x<0时,f(x)=(2a-1)ln(e-x),f'(x)=(2a-1)× (-1)=<0,则1-2a<0,当x≥0时,f(x)=,f'(x)=<0,则a(a2-2)=a(a-)(a+)<0,又f(x)在R上单调递减,所以
,所以a∈[1,).故选C.
命题角度2　比较大小或解不等式
【例4】　(1)(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x,若a=f,b=f(sin 1),c=f,则 (　 　)
A.b>a>c B.a>b>c
C.a>c>b D.c>a>b
D
【解析】　函数定义域为R,且f(-x)=(-x)2+(-x)sin(-x)+cos(-x)=x2+ xsin x+cos x=f(x),故函数f(x)为偶函数.在上,f'(x)=x>0,即f(x)在=f(-log2e)=f(log2e),且0< sin 1<1(2)已知函数f(x)=2xsin x+2cos x+x2,则不等式f(ln x)+f<2f(2)的解集为(　 　)
A.(e2,+∞) B.(0,e2)
C.∪(1,e2) D.
【解析】　函数f(x)=2xsin x+2cos x+x2的导数为f'(x)=2x(cos x+1),则x>0时,易知f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.因为f(-x)=2(-x)sin(-x)+ 2cos(-x)+(-x)2=2xsin x+2cos x+x2=f(x),所以f(x)为偶函数,所以不等式f(ln x)+f=f(ln x)+f(-ln x)<2f(2),可化为f(ln x)D
1.根据函数单调性求参数的方法
(1)f(x)在(a,b)上为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)的任一非空子区间上,f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.
(2)函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集.
(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证解附近左右两侧导数是否异号).
2.利用导数比较大小或解不等式,其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性,利用其单调性比较大小或解不等式.
规律总结
【对点训练3】　(1)(2025·山东菏泽一模)已知函数f(x)=ax2-ln x(a>0)在区间(1,2)上单调,则a的取值范围是 (　 　)
A.∪(1,+∞)
B.
C.
D.
B
解析:由已知得f'(x)=2ax-(x>0),当a>0时,令f'(x)=0,得x=,令f'(x)>0,解得x>;令f'(x)<0,解得0(2)已知定义在(-1,1)上的函数f(x)=+sin x,若f(a)+f(a+1)<0,则实数a的取值范围是(　 　)
A.-1C.-1C
解析:因为f(-x)=+sin(-x)=-=-f(x),x∈(-1,1),所以f(x)为奇函数.又f'(x)=e2x+e-2x+cos x,x∈(-1,1),cos x>0,e2x+e-2x>0,所以f'(x)>0,即f(x)为(-1,1)上的增函数.若f(a)+f(a+1)<0,则f(a+1)< -f(a)=f(-a),则.故选C.
高考真题 教材典题
(2023·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.讨论f(x)的单调性. (人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T19节选)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.讨论f(x)的单调性.
规律总结
解:f(x)的定义域为R,f'(x)=aex-1,
当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在R上单调递减;
当a>0时,令f'(x)=0,得ex=,即x=-ln a,
当x∈(-∞,-ln a)时,f'(x)<0,当x∈(-ln a,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.
综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a>0时,f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.
课时作业18
1. (5分)已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　 　)
基础巩固
D
解析:由函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象可知,当x<0时,f'(x)<0,y=f(x)在(-∞,0)上单调递减,可排除A,C;当00,y=f(x)在(0,2)上单调递增,可排除B;当x>2时,f'(x)<0,y=f(x)在(2,+∞)上单调递减,D均符合,故D正确.故选D.
2.(5分)下列函数在区间[1,4]上单调递增的是 (　 　)
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)=xln x D.f(x)=x-ln x2
解析:对于A,f(x)=的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),f(x)在[1,2)上单调递增,在(2,4]上单调递增,不满足在[1,4]上单调递增,故A错误;对于B,在[1,4]上,f'(x)=≤0恒成立,f(x)在[1,4]上单调递减,不满足在[1,4]上单调递增,故B错误;对于C,在[1,4]上,f'(x)=ln x+1>0恒成立,满足在[1,4]上单调递增,故C正确;对于D,f'(x)=1-,f(x)在[1,2)上单调递减,在(2,4]上单调递增,不满足在[1,4]上单调递增,故D错误.故选C.
C
3.(5分)函数f(x)=的单调递增区间是 (　 　)
A.(0,2)
B.(-∞,0),(2,+∞)
C.(-∞,-2),(0,+∞)
D.(-2,0)
解析:函数f(x)=的定义域为R,f'(x)=,由f'(x)>0可得2x-x2>0,即x2-2x<0,解得0A
4.(5分)(2025·湖南长沙二模)已知函数f(x)=sin x+cos x+ax(a∈R)在R上单调递减,则实数a的取值范围是 (　 　)
A.[,+∞) B.(-∞,]
C.[-,+∞) D.(-∞,-]
解析:由题意得f'(x)=cos x-sin x+a≤0在R上恒成立,则a≤sin x-cos x在R上恒成立.因为sin x-cos x=∈[-,],要使得不等式恒成立,则a≤-.故选D.
D
5.(5分)已知函数f(x)=2x+cos 2x,则 (　 　)
A.f(e)B.f(e)C.f(π)D.f(π)解析:由f(x)=2x+cos 2x,得f'(x)=2-2sin 2x=2(1-sin 2x),对于x∈R,都有 sin 2x≤1成立,故f'(x)≥0,即函数f(x)=2x+cos 2x在R上单调递增.又e<3<π,所以f(e)B
6.(5分)已知函数f(x)=x2+a(ex+e-x)+3(a>0),则不等式f(2x-1)≤f(x+2)的解集是 (　 　)
A.∪[3,+∞)
B.
C.[3,+∞)
D.(-∞,3]
B
解析:函数f(x)=x2+a(ex+e-x)+3(a>0)的定义域为R,f(-x)=(-x)2+ a(e-x+ex)+3=f(x),即函数f(x)是偶函数.当x>0时,f'(x)=2x+a(ex-e-x)>0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,不等式f(2x-1)≤f(x+2) f(|2x-1|)≤f(|x+2|) |2x-1|≤|x+2|,即3x2-8x-3≤0,解得-≤x≤3,故原不等式的解集为.故选B.
7.(6分,多选)(2026·河南南阳一模)若函数f(x)=-x2+2x+1是区间(m-1,m+4)上的单调函数,则实数m的值可以是 (　 　)
A.-5 B.-3
C.3 D.4
ACD
解析:f'(x)=-x2+x+2,令f'(x)=0,即-x2+x+2=0,解得x=2或x=-1,当f'(x)>0时,-12,函数f(x)单调递减.因为函数f(x)在区间(m-1,m+4)上是单调函数,所以当(m-1,m+4) (-∞, -1)时,解得m≤-5;当(m-1,m+4) (2,+∞)时, 解得m≥3;当(m-1,m+4) (-1,2)时,无解.故A,C,D正确.故选ACD.
8.(6分,多选)已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且满足>0,下列结论正确的是(　 　)
A.f(2)>f(1)
B.f(3)>f(2)
C.f(1)+f(3)<2f(2)
D.f(1)+f(3)>2f(2)
AC
解析:由>0,得则当x<2时,f'(x)>0,当x>2时,f'(x)<0,函数f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故f(2)>f(1),f(2)>f(3),2f(2)>f(1)+f(3),即f(1)+f(3)<2f(2),故A,C正确,B,D错误.故选AC.
9.(5分)函数f(x)=(x-2)e2x+3的单调递增区间是.
解析:因为f(x)=(x-2)e2x+3,所以f'(x)=(2x-3)e2x+3,由f'(x)>0可得x>,所以函数f(x)=(x-2)e2x+3的单调递增区间是.
10.(5分)(2026·山西太原一模)设a>0,若函数f(x)=xln x-x2+x在区间(a,+∞)上单调,则a的取值范围是_______________.
解析:f'(x)=ln x+1-2x+1=ln x-2x+2,设g(x)=ln x-2x+2,则g'(x)=,故g(x)在上单调递减,又f'(1)=0,可知f(x)在区间上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,故(a,+∞) (1,+∞),a的取值范围是[1,+∞).
[1,+∞)
11.(19分)(2025·云南丽江三模)已知函数f(x)的定义域为R,f(2x)=2f(x)+1,且f(1)=2.
(1)求f(4)的值;
解:因为f(1)=2,所以f(2)=2f(1)+1=5,f(4)=2f(2)+1=11.
(2)若f(x)为一次函数,且g(x)=mf(x)+ln x在(0,+∞)上单调递增,求m的取值范围.
解:因为f(x)为一次函数,所以设f(x)=kx+b(k≠0).
因为f(2x)=2f(x)+1,且f(1)=2,
所以有解得
故f(x)=3x-1,
g(x)=mf(x)+ln x=m(3x-1)+ln x,g'(x)=3m+,
因为函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以有g'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
所以3mx+1≥0在x>0时恒成立,由3mx+1≥0 m≥-,当x>0时,函数y= -∈(-∞,0),因此要想3mx+1≥0在x>0时恒成立,只需m≥0,故m的取值范围为[0,+∞).
12.(19分)已知函数f(x)=ex+me-x+(m-1)x.
(1)当m=0时,求证:f(x)≥1恒成立;
解:证明:由已知,当m=0时,f(x)=ex-x,则f'(x)=ex-1.
令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0,
函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)≥f(0)=1.
(2)讨论f(x)的单调性.
解:由f(x)=ex+me-x+(m-1)x,得f'(x)=ex-me-x+(m-1)=,
当m≥0时,ex+m>0恒成立,令f'(x)=0,解得x=0,且当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,
即函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
当m<0时,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=ln(-m),
①当-10,当x∈(ln(-m),0)时,f'(x)<0,
即函数f(x)在(-∞,ln(-m))和(0,+∞)上单调递增,在(ln(-m),0)上单调递减.
②当m=-1时,x1=x2,即f'(x)≥0恒成立,函数f(x)在R上单调递增.
③当m<-1时,x2>x1,且当x∈(-∞,0)∪(ln(-m),+∞)时,f'(x)>0,当x∈(0,ln(-m))时,f'(x)<0,即函数f(x)在(-∞,0)和(ln(-m),+∞)上单调递增,在(0,ln(-m))上单调递减.
综上所述,当m≥0时,函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;当-113.(5分)设定义在上的函数f(x)=xsin x+cos x,则不等式f(2x)A.
C.
素养提升
C
解析:对于函数f(x)=xsin x+cos x,f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsin x+ cos x=f(x),并且定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数,f'(x)= sin x+xcos x-sin x=xcos x,当x∈时,∵cos x>0,x>0,∴f'(x)>0,f(x)单调递增,∴对于f(2x)由②得-,由③得1-,∵-1< -,∴1-.故选C.
14.(5分)已知f(x)=x2-2x+,a=2ln3,b=,c=t2-t+6,则f(a),f(b),f(c),f(π)的大小关系正确的为 (　 　)
A.f(a)f(c)
C.f(a)>f(c) D.f(π)>f(a)
D
解析:因为f(x)=x2-2x+,所以f'(x)=2x-2+=(x-1),当x>1时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.对于A,因为a= 2ln 3>20=1,b=>20=1,又ln 3>1>,所以a=2ln 3>=b,所以f(a)>f(b),故A错误;对于B,c=t2-t+6=>π>1,所以f(π)4=22>2ln 3=a>1,所以f(a)f(a),故D正确.故选D.
本课结束

展开更多......

收起↑