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第三章　一元函数的导数及其应用
3.3　导数中的函数构造问题
2027高考数学一轮总复习
内容索引
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 能够利用已知条件构造对应的函数,并判断其单调性,再利用单调性比较大小或解不等式等. 2023 2024 2025


关键能力　提升
考点1 通过导数的运算法则构造函数
命题角度1　利用f(x)与xn构造函数
【例1】　定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且xf'(x)-f(x)<0,则不等式(x+2)f(2x)<2xf(x+2)的解集为__________.
【解析】　由(x+2)f(2x)<2xf(x+2),x>0可得,设函数g(x)=(x>0),可得g'(x)=.因为x>0时,xf'(x)-f(x)<0,所以g'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,原不等式等价于g(2x)2,所以不等式的解集为(2,+∞).
(2,+∞)
1.出现xf'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x).
2.出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.
规律总结
命题角度2　利用f(x)与ex构造函数
【例2】　已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)满足f(x)>f'(x),则 (　 　)
A.f(1)>ef(0) B.f(1)C.ef(ln 2)<2f(1) D.f(2)>ef(1)
B
【解析】构造函数g(x)=,x∈R,则g'(x)=<0,函数g(x)为R上的减函数.对于A,B,因为1>0,所以g(1)g(1),即,所以ef(ln 2)>2f(1),故C错误;对于D,因为g(2)1.出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x).
2.出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.
规律总结
命题角度3　利用f(x)与sin x,cos x构造函数
【例3】　已知函数y=f(x)对x∈(0,π)均满足f'(x)sin x-f(x)cos x=-1,其中f'(x)是f(x)的导数,则下列不等式恒成立的是 (　 　)
A.
B.f
C.f
D.
A
【解析】令g(x)=,x∈(0,π),求导得g'(x)=,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,当x∈(1,π)时,g'(x)<0,因此函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,π)上单调递减.对于A,0<<1,则g,即,故A正确;对于B,1<<π,则g,即f,故B错误;对于C,1<<π,则g,即f,故C错误;对于D,1<<π,则g,即,故D错误.故选A.
1.F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x.
2.F(x)=,F'(x)=.
3.F(x)=f(x)cos x,F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x.
4.F(x)=,F'(x)=.
规律总结
【对点训练1】　(1)已知f(x)是定义在区间(0,+∞)上的函数,其导函数为f'(x),且不等式xf'(x)A.3f(1)f(3)
C.f(1)<3f(3) D.f(1)>3f(3)
解析:由xf'(x)g(3),即,所以3f(1)>f(3).故选B.
B
(2)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R,f(x)+f'(x)<0恒成立,则下列结论一定正确的是 (　 　)
A.e2f(2)>e3f(3) B.e2f(2)C.e3f(2)>e2f(3) D.e3f(2)解析:构造函数g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)],因为f(x)+f'(x)<0恒成立,故g'(x)<0恒成立,因此可得g(x)在R上单调递减,由于2<3,故g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故选A.
A
(3)定义在上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且f'(x)<-tan x·f(x)恒成立,则(　 　)
A.f
B.
C.f
D.
C
解析:因为x∈时,cos x>0,所以f'(x)<-tan x·f(x)可化为f'(x)+ tan x·f(x)<0.设g(x)=,x∈,则g'(x)=<0,函数g(x)在,所以g,所以,即.对于A,因为f,所以f不一定成立,故A错误;对于B,因为,所以不一定成立,故B错误;对于C,f成立,故C正确;对于D,因为,所以不成立,故D错误.故选C.
考点2 通过变量构造具体函数
【例4】　已知x,y为不相等的正实数,ln x+ln y=-x,则 (　 　)
A.x>y B.xC.x+y>1 D.x+y<1
【解析】　由ln x+ln y=-x,得ln x+x=-ln y+,构造函数f(x)= ln x+x(x>0),则f'(x)=+1>0,可知f(x)=ln x+x在(0,+∞)上单调递增,结合ln x+x=ln,得x=,即xy=1,由基本不等式可知x+y≥2=2,当且仅当x=y=1时等号成立,故x+y>1.故选C.
C
若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解.
规律总结
【对点训练2】　已知α,β∈,且αsin α-βsin β<0,则(　 　)
A.α<β B.α2<β2
C.α>β D.α2>β2
解析:构造函数f(x)=xsin x,易知其为偶函数,f'(x)=sin x+xcos x,当x∈时,sin x<0,xcos x<0,则f'(x)<0,当x∈时,sin x>0, xcos x>0,则f'(x)>0,故f(x)=xsin x在x∈上单调递减,在x∈上单调递增.又f(x)为偶函数,所以αsin α-βsin β<0,即αsin α<βsin β,等价于|α|<|β|,即α2<β2.故选B.
B
考点3 通过数值构造具体函数
【例5】　已知a=sin,b=ln,c=e0.02-1,则下列关系式正确的是(　 　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.c>b>a
D
【解析】　设函数f(x)=ex-1-x(x>0),则f'(x)=ex-1.当x>0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)>f(0)=0,即ex-1>x,故e0.02-1>0.02.设函数g(x)=ln(x+1)-x(x>0),则g'(x)=<0,g(x)在(0,+∞)上单调递减,故g(x)0时,ln(x+1)b.设函数h(x)=ln(x+1)-sin(x>0),则h'(x)=,当x>0时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增.故当x>0时,h(x)>h(0)=0,即ln(x+1)>sin,故ln 1.02>sin,则b>a.综上,c>b>a.故选D.
当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小.
规律总结
【对点训练3】　已知a=ln,b=ln,c=ln,则a,b,c的大小关系是 (　 　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
解析:构造函数f(x)=ln x+1-x,f'(x)=,当00,f(x)单调递增,所以f,即a>b>c.故选A.
A
泰勒展开式
1.链接教材:(人教A版必修第一册P256复习参考题5T26)英国数学家泰勒给出如下公式:
sin x=x-+…,
cos x=1-+…,
其中n!=1×2×3×4×…×n.
这些公式被编入计算工具,计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如,用前三项计算cos 0.3,就得到cos 0.3≈1-=0.955 337 5.
试用你的计算工具计算cos 0.3,并与上述结果比较.
教材深研
2.泰勒公式
上述公式就是泰勒公式的一部分,若函数f(x)在含有x0的开区间(a,b)内有n+1阶导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于x-x0的多项式和一个余项的和:
f(x)=f(x0)+f'(x0)·(x-x0)+·(x-x0)2+·(x-x0)3+…+·(x-x0)n+Rn(x).
其中,f(n)(x)表示f(x)的n阶导数,Rn(x)为余项.
3.常见的泰勒展开式
在泰勒公式中,令x0=0,即可得到如下泰勒展开式:
(1)ex=1+x++…;
(2)ln(x+1)=x-+…+(-1)n+1·+…;
(3)sin x=x-+…+(-1)n-1·+…;
(4)cos x=1-+…+(-1)n-1·+….
4.泰勒公式的价值
泰勒公式将各种类型的函数(指数函数、对数函数、正弦与余弦函数)与多项式函数联系了起来,这样在局部可以用多项式函数近似替代其他函数,我们主要用其证明不等式及比较大小.
【典例】　(一题多解)已知a=,b=cos,c=4sin,则(　 　)
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
【解析】　方法一　根据题意,构造函数f(x)=1-,g(x)=cos x,h(x)=,则a=f,b=g,c=h.由泰勒展开式,得g(x)=1-+Rn(x),h(x)=1-+rn(x),其中Rn(x),rn(x)为余项,则g,h,所以f,即aA
方法二　因为b=cos,所以b-a=1-2sin2.令f(x)=x-sin x,则f'(x)=1-cos x≥0,则函数f(x)在R上单调递增,故当x>0时,f(x)>f(0)=0,即有x>sin x(x>0)成立,故,得,则b>a.因为,所以令g(x)=tan x-x,x∈(0,1),则g'(x)=>0,则函数g(x)在(0,1)上单调递增,故当x∈(0,1)时,g(x)>g(0)=0,即有tan x>x(x∈(0,1))成立,故tan,即4tan>1,即>1,又b>0,所以c>b.综上,c>b>a.故选A.
课时作业19
1.(5分)定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)>3,f(2)=6,则f(x)>3x的解集为(　 　)
A.(-∞,0) B.(-∞,2)
C.(0,+∞) D.(2,+∞)
解析:令函数g(x)=f(x)-3x,求导得g'(x)=f'(x)-3,而f'(x)>3,则g'(x)>0,函数g(x)在R上单调递增.又f(2)=6,所以g(2)=f(2)-6=0,不等式f(x)>3x f(x)-3x>0 g(x)>g(2),解得x>2,所以所求解集为(2,+∞).故选D.
基础巩固
D
2.(5分)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),满足f(x)+f'(x)>0(f'(x)为f(x)的导函数),设a=ef(1),b=e3f(3),c=e2f(2),则 (　 　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.b>a>c D.a>c>b
解析:令g(x)=exf(x),x∈(0,+∞),则g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)].因为f(x)+f'(x)>0,所以g'(x)>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.因为1<2<3,所以b>c>a.故选B.
B
3.(5分)已知函数f(x)为定义在R上的偶函数,f'(x)为f(x)的导函数,当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,则 (　 　)
A.f(-3)<3f(1) B.f(-3)>3f(1)
C.f(-3)< D.f(-3)>
解析:令函数g(x)=xf(x),而函数f(x)是偶函数,则g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)= -g(x),即函数g(x)是奇函数,当x>0时,求导得g'(x)=xf'(x)+f(x)>0,即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,则g(x)在(-∞,0)上单调递增.因为-3<-1,所以g(-3),故D正确.故选D.
D
4.(5分)已知函数y=f(x)对于任意的x∈满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0
(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是 (　 　)
A.
B.
C.f(0)>
D.f(0)>2f
A
解析:设g(x)=,x∈,则g'(x)=>0,g(x)在上单调递增.对于A,,化简得,故A正确;对于B,,化简得,故B错误;对于C,,化简得f(0)<,故C错误;对于D,,化简得f(0)<2f,故D错误.故选A.
5.(5分)已知a=,b=,c=,则 (　 　)
A.aC.c解析:设f(x)=,则f'(x)=,当x≥2时,f'(x)<0,故f(x)在[2,+∞)上单调递减,因此,故cB
6.(5分)定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),当x≥0时,恒有f(x)+f'(x)>0,则不等式x2f(x)<(2x-3)2f(2x-3)的解集为 (　 　)
A.(-∞,3)
B.(1,3)
C.(-∞,1)∪(3,+∞)
D.(3,+∞)
C
解析:构造函数F(x)=f(x),则F'(x)=xf(x)+f'(x)=x.∵当x≥0时,恒有f(x)+f'(x)>0,∴F'(x)≥0,即F(x)在[0,+∞)上单调递增.∵f(x)是偶函数,y=x2是偶函数,∴F(x)为偶函数,∴F(x)在(-∞,0)上单调递减.又x2f(x)<(2x-3)2f(2x-3),即F(x)3.故选C.
7.(5分)已知f(x)=aln x+x2(a>0),若对于任意两个不相等的正实数x1,x2,都有>2恒成立,则a的取值范围是 (　 　)
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,3] D.[1,2e)
解析:不妨设x1>x2>0,可得f(x1)-f(x2)>2x1-2x2,可得f(x1)-2x1>f(x2)-2x2,令g(x)=f(x)-2x=aln x+x2-2x,则g(x1)>g(x2),则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,故g'(x)=+x-2≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,故a≥2x-x2,当x>0时,2x-x2=-(x-1)2+1≤1,当且仅当x=1时,等号成立,故a≥1.故选B.
B
8.(5分)已知5a=2(ln 5-ln 2),b=,2c=ln 2,则a,b,c的大小关系为(　 　)
A.b>a>c B.a>c>b
C.a>b>c D.b>c>a
解析:令f(x)=,则f'(x)=≥0对任意的x∈(1,e]恒成立,故函数f(x)在(1,e]上单调递增,故f(e)>f>f(2),因此b>a>c.故选A.
A
9.(8分,多选)已知e是自然对数的底数,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,且+ln x·f'(x)>0,则 (　 　)
A.f+f(e)>0 B.f<0
C.f(e)>0 D.f(1)=0
解析:令函数g(x)=ln x·f(x),则g'(x)=+ln x·f'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增.又g(1)=0,所以g(e)=ln e·f(e)=f(e)>0,g<0,即f>0,所以f+f(e)>0,而+ln 1·f'(1)>0,则f(1)>0,故A,C正确,B,D错误.故选AC.
AC
10.(8分,多选)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0(f'(x)为f(x)的导函数),则下列结论正确的是 (　 　)
A.f(2)-ln 2>f(1)
B.f(4)-f(2)>ln 2
C.f(2)+ln 2>f(e)+1
D.f(e2)-f(e)>1
ABD
解析:构造函数g(x)=f(x)-ln x,x>0,则g'(x)=f'(x)-.因为xf'(x)-1>0,所以g'(x)>0,故g(x)是增函数.对于A,由g(2)>g(1)得,f(2)-ln 2>f(1)-ln 1,即f(2)-ln 2>f(1),故A正确;对于B,由g(4)>g(2)得,f(4)-ln 4>f(2)- ln 2,即f(4)-f(2)>ln 4-ln 2=ln 2,故B正确;对于C,由g(e)>g(2)得,f(e)- ln e>f(2)-ln 2,即f(e)+ln 2>f(2)+1,故C错误;对于D,由g(e2)>g(e)得,f(e2)-ln e2>f(e)-ln e,即f(e2)-2>f(e)-1,即f(e2)-f(e)>1,故D正确.故选ABD.
11.(8分,多选)若a,b为正实数,则a>b的充要条件为(　 　)
A. B.ln a>ln b
C.bln aBD
解析:对于A,由a>b>0,得,故A错误;对于B,由函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,得ln a>ln b,故B正确;对于C,设函数f(x)=,x∈(0,+∞),f'(x)=,令f'(x)=0,得x=e,则函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,故f(a)与f(b)的大小关系无法判断,即 bln a0恒成立,即g(x)在(0,+∞)上单调递增,故g(a)>g(b),即ea-a>eb-b,故a-b12.(4分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若xf'(x)+f(x)>2,且满足f(1)=3,则不等式x2[f(x2)-2]<1的解集为______.
解析:构造函数F(x)=xf(x)-2x,因为F'(x)=xf'(x)+f(x)-2>0,所以F(x)在R上单调递增.因为f(1)=3,所以F(1)=f(1)-2=3-2=1.x2[f(x2)-2]<1可化为x2f(x2)-2x2<1,即F(x2)(-1,1)
13.(4分)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0,其中f'(x)是函数f(x)的导函数,若f(m-2 026)>(m-2 026)f(1),则实数m的取值范围是_______________.
解析:构造函数g(x)=,其中x>0,则g'(x)=<0,函数g(x)=在(0,+∞)上单调递减,由f(m-2 026)>(m-2 026)f(1)可得>f(1),即g(m-2 026)>g(1),故0(2 026,2 027)
14.(5分)已知函数f(x)在定义域上为偶函数,并且x≥0时, cos xf'(x)≥sin xf(x)(f'(x)为f(x)的导函数),若f=2,则不等式f(x)<.
解析:由题意知,当x≥0时,cos x·f'(x)≥sin xf(x),即cos xf'(x)+f(x)(cos x)'≥
0,因此[f(x)·cos x]'≥0,令函数F(x)=f(x)cos x,则F(x)在上单调递增.又由f(x)在上为偶函数,可得F(-x)=f(-x)·cos(-x)=f(x)cos x=F(x),所以函数F(x)=f(x)cos x在上为偶函数,且在
=2,所以F时,cos x>0,所以f(x)<,即F(x)=f(x)cos x<1,即F(x)15.(5分)设a=e0.125,b=,c=2ln 3-3ln 2,则 (　 　)
A.bC.c解析:令函数f(x)=ex-x,x>0,求导得f'(x)=ex-1>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,因此f(0.125)>f(0)>0,即e0.125->0,则a=e0.125>=b.令函数g(x)=ln(x+1)-x,x>0,求导得g'(x)=-1<0,函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,因此g1
素养提升
B
16.(8分,多选)下列不等关系正确的有 (　 　)
A.πln 2>2ln π B.ln 3C.
解析:令f(x)=,则f'(x)=,当00,函数f(x)单调递增;当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.对于A,因为e<π<4,函数f(x)在(e,+∞)上单调递减,所以f(4)f(2),
BCD
即,则>ln 2,ln >ln 2,故>2,故C正确;对于D,由函数f(x)的单调性可知f(e)>f(),即,即3eln 2<4,故D正确.故选BCD.
本课结束

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