资源简介

(共63张PPT)
第三章　一元函数的导数及其应用
3.4　导数与函数的极值、最值
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 3.掌握利用导数研究函数最值的方法,会求闭区间上函数的最大值和最小值. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷 T11,T19 新课标Ⅰ卷 T10,T18 全国一卷T19
新课标Ⅱ卷 T11,T22 新课标Ⅱ卷 T11,T16 全国二卷
T10,T13,T18
必备知识　回顾
1.函数的极值
(1)函数极值的定义:如图,函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.类似地,函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0.我们把a叫做函数y=f(x)的________,f(a)叫做函数y=f(x)的______;b叫做函数y=f(x)的________,f(b)叫做函数y=f(x)的______.极小值点、极大值点统称为______,极小值和极大值统称为____.
知识梳理
极小值点
极小值
极大值点
极大值
极值点
极值
(2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
一般地,函数y=f(x)在某一点处的导数值为0是函数y=f(x)在这点取得极值的____条件.
可导函数y=f(x)在x=x0处取极大(小)值的充分条件:①__________;②在x=x0附近的左侧f'(x)>0(<0),右侧f'(x)<0(>0).
(3)导数求极值的方法:解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时,如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是______;如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是______.
必要
f'(x0)=0
极大值
极小值
　对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
2.函数的最值
(1)函数最大(小)值的再认识
①一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
②若函数y=f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数在[a,b]上的______,f(b)为函数在[a,b]上的______;若函数y=f(x)在[a,b]上________,则f(a)为函数在[a,b]上的最大值,f(b)为函数在[a,b]上的最小值.
最小值
最大值
单调递减
(2)导数求最值的一般步骤
设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
3.三次函数的图象、单调性、极值
设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则f'(x)=3ax2+2bx+c,记Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),并设x1,x2是方程f'(x)=0的根,且x1(1)a>0
项目 Δ>0 Δ≤0
图象
单调性 在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增;在(x1,x2)上单调递减 在R上单调递增
极值点个数 __ __
2
0
(2)a<0
项目 Δ>0 Δ≤0
图象
单调性 在(x1,x2)上单调递增;在(-∞,x1), (x2,+∞)上单调递减 在R上单调递减
极值点 个数 __ __
2
0
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x0为极值点.(　 　)
(2)函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值.(　 　)
(3)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值.(　 　)
(4)连续函数f(x)在区间[a,b]上一定存在最值. (　 　)
基础检测
×
√
×
√
2. (人教A版选择性必修第二册P98习题5.3T4改编)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为(　 　)
A.1　　　 B.2　　　
C.3　　　 D.4
A
解析:由题中导函数f'(x)的图象知,在x=-2处,f'(-2)=0,且其两侧导数符号为左正右负,则x=-2是f(x)的极大值点;在x=-1处,f'(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正,则x=-1是f(x)的极小值点;在x=2处,f'(2)=0,且其两侧导数符号为左正右负,则x=2是f(x)的极大值点.综上,f(x)的极小值点的个数为1.故选A.
3.(人教A版选择性必修第二册P98习题5.3T6改编)已知f(x)=x3-12x+1,x∈,则f(x)的最大值为,最小值为______.
解析:f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),因为x∈,所以f'(x)<0,故f(x)在上单调递减,所以f(x)的最大值为f,最小值为f(1)=-10.
-10
4.(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T9改编)若函数f(x)=x(x-c)2有极值,则实数c的取值范围是________________________.
解析:f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=3x2-4cx+c2.由题意知f'(x)有变号零点,则Δ=16c2-12c2=4c2>0,解得c≠0,即c∈(-∞,0)∪(0,+∞).
(-∞,0)∪(0,+∞)
关键能力　提升
考点1 利用导数求函数的极值
命题角度1　根据导函数的图象判断函数的极值
【例1】(人教A版选择性必修第二册P92练习T1改编)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　 　)
A.f(x)有极大值f(-2)
B.f(x)有极小值f(-2)
C.f(x)有极大值f(1)
D.f(x)有极小值f(1)
A
【解析】　由题图得,当x<-2时,f'(x)>0;当-21时,f'(x)<0.则函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递减,故f(x)有极大值f(-2),无极小值.故选A.
由导函数图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:①由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;②由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性,两者结合可得极值点.
规律总结
命题角度2　求已知函数的极值
【例2】　求函数g(x)=ax-ln(x+1)(a∈R)的极值.
【解】　由题意知g(x)=ax-ln(x+1)的定义域为(-1,+∞),
则g'(x)=a-,
①当a≤0时,g'(x)=a-<0在(-1,+∞)上恒成立,g(x)在(-1,+∞)上单调递减,g(x)在(-1,+∞)上无极值;
②当a>0时,令g'(x)=a->0,则x>-1,令g'(x)=a-<0,
则-1所以当x>-1时,g(x)单调递增,
当-1所以g(x)在x=-1时,取得极小值g=1-a+ln a,无极大值.
综上所述,当a≤0时,g(x)在(-1,+∞)上无极值;
当a>0时,g(x)在(-1,+∞)上有极小值g=1-a+ln a,无极大值.
求函数f(x)极值的步骤
第一步,确定函数f(x)的定义域.
第二步,求导函数f'(x).
第三步,解方程f'(x)=0,求出在函数定义域内的所有根.
第四步,列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0附近左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x=x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x=x0处取极小值.
规律总结
命题角度3　已知函数的极值(点)求参数
【例3】　(2026·安徽黄山一模)已知函数f(x)=a3,若f(x)有极值且极小值大于0,求a的取值范围.
【解】　f'(x)=x-,x>0,
当a≤0时,f'(x)>0恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.
当a>0时,由f'(x)=0,得x=,当0当x>时,f'(x)>0,即f(x)单调递增,
所以当x=时, f(x)有极小值,极小值为f()=a(1-ln a-a2),
由f()=a(1-ln a-a2)>0,得1-ln a-a2>0,令F(a)=1-ln a-a2,a>0,则F'(a)= --2a<0,所以函数F(a)在(0,+∞)上单调递减,又F(1)=0,由F(a)>F(1),得a<1,所以0根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)验证:求解后验证根的合理性.
规律总结
【对点训练1】　(1)(2025·浙江嘉兴二模)已知函数f(x)=x3-ax2的极小值是-4,则实数a=(　 　)
A.1 B.2
C.3 D.4
C
解析:f'(x)=3x2-2ax=x(3x-2a),令f'(x)=0得x=0或x=,若a=0,f'(x)=3x2≥0,f(x)在R上单调递增,无极值;若>0,即a>0,当x<0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x>时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当00时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当(2)已知函数f(x)=ex-ax2-e+a(a>0),讨论函数f(x)的极值点个数.
解:函数f(x)=ex-ax2-e+a(a>0)的定义域为R,
f'(x)=ex-2ax,令g(x)=f'(x),
则g'(x)=ex-2a,
由题得a>0,令g'(x)=0,解得x=ln(2a),
当x∈(-∞,ln(2a))时,g'(x)<0,即g(x)在(-∞,ln(2a))上单调递减,
当x∈(ln(2a),+∞)时,g'(x)>0,即g(x)在(ln(2a),+∞)上单调递增,故g(x)min=g(ln(2a))=2a[1-ln(2a)].
①当0②当a>时,
g(x)min=g(ln(2a))<0,
g(0)=1>0,即g(0)g(ln(2a))<0,因此函数g(x)在(0,ln(2a))上有唯一零点x1,
当x→+∞时,g(x)→+∞,因此函数g(x)在(ln(2a),+∞)上有唯一零点x2,
当x0,即f'(x)>0,函数f(x)在(-∞,x1)上单调递增;
当x1当x20,即f'(x)>0,函数f(x)在(x2,+∞)上单调递增.
又f'(x1)=f'(x2)=0,所以当a>时,函数f(x)有两个极值点.
综上,当0时,函数f(x)有两个极值点.
考点2 函数的最值
命题角度1　求已知函数的最值
【例4】　已知函数f(x)=aln x-x(a>0),求函数f(x)在(0,2]上的最大值.
【解】　f'(x)=,x>0,令f'(x)=0解得x=a,
①若0当00,f(x)在区间(0,a)上单调递增,当af(x)max=f(a)=aln a-a.
②若a≥2,
当0综上所述,当0当a≥2时,f(x)max=aln 2-2.
命题角度2　由函数的最值求参数
【例5】　(2025·江苏扬州三模)若函数f(x)=a(ex+a)-x的最小值是2,则实数a的值是__.
【解析】　由f(x)=a(ex+a)-x,求导可得f'(x)=aex-1.当a>0时,令f'(x)=0,可得x=-ln a,由f'(x)<0可得x<-ln a,由f'(x)>0可得x>-ln a,故函数f(x)在(-∞, -lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增,故f(x)min= f(-ln a)=a+
ln a=2,解得a=1.当a=0时,f(x)=-x,显然函数f(x)在R上单调递减,不合题意.当a<0时,f'(x)=aex-1<0,函数f(x)在R上单调递减,不合题意.综上,a=1.
1
1.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,将区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
2.若所给函数f(x)含参数,则需通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
3.已知函数在开区间上有最值,可转化为有极值问题求解,若在闭区间上有最值,则需要比较区间端点值与极值的大小.
规律总结
【对点训练2】　(1)某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一件产品,成本增加100元,若总收入R(x)元与年产量x件的关系是R(x)=则当总利润最大时,每年生产产品的件数是 (　 　)
A.150 B.200
C.250 D.300
D
解析:由题意得,设总利润为P(x)元,则P(x)=R(x)-100x-20 000=
当0≤x≤390时,P(x)=-+300x- 20 000,则P'(x)=-+300,令P'(x)>0,得0≤x<300;令P'(x)<0,得300390时,P(x)=70 090-100x,函数P(x)单调递减,故P(x)(2)若函数f(x)=(x-3)ex+x2-2x+1在区间(2m-2,3+m)上存在最值,则m的取值范围是(　 　)
A.m<-1
B.m>2
C.-1D.m<-1或m>2
解析:f'(x)=(x-2)ex+x-2=(x-2)(ex+1),则当x>2时,f'(x)>0,当x<2时,f'(x)<0,即f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,即f(x)在x=2处取得最值,则有2m-2<2<3+m,解得-1C
高考真题 教材典题
(2025·全国二卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=____. (人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T9)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,求c的值.
考教衔接
-4
解析:由题意有f(x)=(x-1)(x-2)(x-a),f'(x)=(x-a)(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-a)(x-2),因为x=2是函数f(x)的极值点,所以f'(2)=2-a=0,解得a=2.当a=2时,f'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)2=(x-2)(3x-4),当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小值点,符合题意.f(0)=-1× (-2)×(-a)=-2a=-4.
课时作业20
1.(5分)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,下列结论正确的是(　 　)
A.y=f(x)在x=-1处取得极大值
B.x=1是函数y=f(x)的极值点
C.x=-2是函数y=f(x)的极小值点
D.函数y=f(x)在区间(-1,1)上单调递减
解析:由题中图象可知,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x≥-2时,f'(x)≥0,f(x)单调递增,故x=-2是函数y=f(x)的极小值点,y=f(x)无极大值.故选C.
基础巩固
C
2.(5分)(人教A版选择性必修第二册P95例7改编)已知函数f(x)= sin x+x(0A.极大值为,无极小值
B.极小值为,无极大值
C.极大值为,无极小值
D.极小值为,无极大值
A
解析:f'(x)=cos x+,令f'(x)=0,解得x=,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.因此,f(x)在x=处取得极大值,极大值为f,无极小值.故选A.
3.(5分)函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈的最大值为 (　　)
A.4 B.3 D.5
解析:由题意f'(x)=3cos 3x+6cos x=3cos(x+2x)+6cos x=3(cos xcos 2x- sin xsin 2x)+6cos x=3[cos x(2cos2x-1)-2cos x(1-cos2x)]+6cos x=3(4cos3x-3cos x)+6cos x=12cos3x-3cosx=3cosx(4cos2x-1)=3cosx(2cosx-1)· (2cos x+
1),当00,当时,f'(x)<0,故f(x)在上单调递增,在上单调递减,函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈
.故选B.
B
4.(5分)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则a= (　 　)
A.-2 B.-4
C.2 D.4
解析:因为当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,所以f(1)==-2,即b= -2,f(x)=aln x-,定义域为(0,+∞).又因为f(x)在x=1处取得最大值,f'(x)=,所以f'(1)==0,解得a=-2,经验证,a=-2符合题意.故选A.
A
5.(5分)(2026·广东汕头一模)设a∈R,若函数f(x)=x2+x+2在(1,2)内存在极值点,则a的取值范围是 (　 　)
A.
C.(-∞,3) D.
解析:依题意,f'(x)=2x2-ax+1在(1,2)内存在变号零点,而x=0不是f'(x)的零点,从而得a=2x+在(1,2)上单调递增,所以3B
6.(5分)一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化,其桶底采用上大下小的漏斗状设计,底部设计成锥形便于收集幼苗.铁匠老张准备从一个半径为R的圆形铁片上剪出一个扇形(圆心和半径与圆形铁片一致)作为圆锥的侧面,制作成一个圆锥形无盖漏斗(接缝处忽略不计).若该漏斗的容积为2π,则圆形铁片的面积的最小值为 (　 　)
A.4π B.6π
C.8π D.9π
D
解析:设圆锥的底面半径为r,高为h,则母线长为R.圆形铁片的面积最小,即R2最小.因为该漏斗的容积V=π,解得r2=,则R2=h2+r2=h2+(h>0).设y=x2+,x>0,则y'=2x-,令2x-=0,可得x=,当0时,y'>0,函数单调递增.故当x=时,y取得最小值9,此时圆形铁片的面积的最小值为9π.故选D.
7.(6分,多选)(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则 (　 　)
A.f(0)=0
B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2
C.当且仅当x≥时,f(x)≥2
D.x=-1是f(x)的极大值点
ABD
解析:对于A,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,故A正确;对于B,当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-(x2-3)e-x-2,故B正确;对于C,f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2,故C错误;对于D,当x<0时,f(x)=(3-x2)e-x-2,则f'(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x,令f'(x)=0,解得x=-1或x=3(舍去),当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减,则x=-1是f(x)的极大值点,故D正确.故选ABD.
8.(6分,多选)(2025·河北邯郸二模)已知函数f(x)=(x2-3)ex,则下列结论正确的是 (　 　)
A.=3
B.函数f(x)在(-1,1)上单调递减
C.函数f(x)有极大值6e-3
D.函数f(x)在[-4,-2]上的最小值为f(-4)
BC
解析:对于A,由题意可得f'(x)=(x2+2x-3)ex=(x+3)(x-1)ex,因为f(0)=-3,所以=f'(0)=-3,故A错误;对于B,C,由f'(x)>0得x<-3或x>1,由f'(x)<0得-3f(-2)=,则函数f(x)在[-4,-2]上的最小值为f(-2),故D错误.故选BC.
9.(5分)(2025·陕西宝鸡二模)若函数f(x)=4sin x+3cos x的极大值点为x0,则
sin x0= .
解析:由函数f(x)=4sin x+3cos x,求导可得f'(x)=4cos x-3sin x=
5,令sin φ=,cos φ=,则f'(x)=5cos(x+φ),由题意可得f'(x0)=5cos(x0+φ)=0,由函数y=cos x可知当x∈(k∈
Z)时,cos x>0,当x∈(k∈Z)时,cos x<0,且x0为函数f(x)的极大值点,则可得x0+φ=+2kπ(k∈Z),解得x0=-φ+2kπ(k∈Z),故 sin x0=sin.
10.(5分)(2026·湖南常德一模)若函数f(x)=有最小值,则实数a的取值范围是__________.
解析:当x>1时,f(x)=xln x,求导得f'(x)=1+ln x>0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在x>1时的取值集合为(0,+∞),当a=0,x≤1时,f(x)=1>0,没有最小值,由函数f(x)在R上有最小值,得f(x)在(-∞,1]上单调递减,且f(1)≤0,因此解得a≥1,故实数a的取值范围是[1,+∞).
[1,+∞)
11.(19分)已知函数f(x)=-ln x(a>0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),则f'(x)=.
由题知a>0,由f'(x)>0,可得0a.故函数f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,+∞).
(2)求f(x)在上的最大值g(a).
解:当0当当a≥e时,函数f(x)在上单调递增,此时,g(a)=f(e)=-.
综上所述,g(a)=
12.(19分)(2025·广东广州三模)已知函数f(x)=ln(x+1)-ax-a2.
(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
解:当a=4时,f(x)=ln(x+1)-4x-16,f'(x)=-4,
则f(0)=ln 1-16=-16,f'(0)=-4=-3,故切线方程为y+16=-3(x-0),即3x+y+16=0.
(2)讨论函数f(x)的单调性;
解:由f(x)=ln(x+1)-ax-a2可得f'(x)=-a,则x+1>0,函数定义域为 (-1,+∞),
当a≤0时,f'(x)=-a>0恒成立,f(x)在(-1,+∞)上单调递增.
当a>0时,令f'(x)>0,即-a>0,解得x<-1+,因为定义域为(-1,+∞),所以-1-1+;令f'(x)<0,解得x>-1+.故f(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当a≤0时,f(x)在(-1,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(3)若f(x)存在极大值,且极大值不大于-3-ln 2,求实数a的取值范围.
解:由(2)可知,当a≤0时,函数无极值,当a>0时,函数在x=-1+处取得极大值, 可得f≤-3-ln 2,代入得ln+a-1-a2≤-3-ln 2,化简得a2-a+ln a-2-ln 2≥0,
令g(a)=a2-a+ln a-2-ln 2(a>0),则g'(a)=2a-1+,
因为2a2-a+1=2>0,所以g'(a)>0,g(a)在(0,+∞)上单调递增,
因为g(2)=22-2+ln 2-2-ln 2=0,所以由a2-a+ln a-2-ln 2≥0可得a≥2,所以实数a的取值范围是[2,+∞).
13.(5分)(2025·陕西咸阳一模)已知f(x)=aex-内存在2个极值点,则实数a的取值范围为 (　 　)
A.
C.
1
素养提升
B
解析:因为f'(x)=aex-x,可知f'(x)在内有2个变号零点,由f'(x)=0可得a=,可知直线y=a与g(x)=内有2个交点.g'(x)=,令g'(x)>0,解得14.(5分)(2025·山东聊城三模)函数f(x)=|x+3|+2|x+2|+e-x的最小值为_________.
解析:f(x)=|x+3|+2|x+2|+e-x,当x<-3时,f(x)=-x-3-2(x+2)+e-x=-3x-7+ e-x.f'(x)=-3-e-x<0,故f(x)在(-∞,-3)上单调递减;当-3≤x≤-2时,f(x)=x+3-2(x+2)+e-x=-x-1+e-x,f'(x)=-1-e-x<0,f(x)在[-3,-2]上单调递减;当x>-2时,f(x)=x+3+2(x+2)+e-x=3x+7+e-x,f'(x)=3-e-x,令f'(x)>0,解得x>-ln 3,令f'(x)<0,解得-210-3ln 3
本课结束

展开更多......

收起↑