资源简介

(共65张PPT)
第四章　三角函数、解三角形
4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)的定义. 2023 2024 2025


必备知识　回顾
1.角的概念
(1)正角、负角、零角:我们规定,一条射线绕其端点按______方向旋转形成的角叫做正角,按______方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个____.任意角包括________________.
(2)象限角:我们通常在直角坐标系内讨论角.使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,________在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在______上,那么就认为这个角不属于任何一个象限(常称为轴线角).
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=_________________________.
知识梳理
逆时针
顺时针
零角
正角、负角和零角
角的终边
坐标轴
{β|β=α+k·360°,k∈Z}
2.弧度制
(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做______的角,弧度单位用符号rad表示,读作弧度.一般地,正角的弧度数是一个____,负角的弧度数是一个____,零角的弧度数是__.
(2)角度和弧度的换算
180°=__ rad;
1°= rad≈0.017 45 rad;
1 rad=°≈57.30°.
1弧度
正数
负数
0
π
(3)半径为r的圆中,圆心角为α rad的角所对的弧长公式:l=__________,扇形的面积公式:S=__________.
|α|·r
|α|·r2
3.三角函数的概念
(1)定义:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),则sin α=__,cos α=__,tan α=(x≠0).正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数.
y
x
(2)三角函数的定义域和函数值在各象限的符号
三角 函数 定义域 (弧度制下) 第一象 限符号 第二象 限符号 第三象 限符号 第四象
限符号
y= sin α R + + - -
y= cos α R + - - +
y= tan α + - + -
1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互化,半径为R,圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l=,S=.
3.象限角
知识拓展
4.轴线角
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若α为锐角,则2α为钝角.(　 　)
(2)锐角是第一象限角,第一象限角也都是锐角.(　 　)
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　 　)
(4)若α为第一象限角,则sin α+cos α>1.(　 　)
基础检测
×
×
√
√
2.(人教A版必修第一册P170例1改编)已知α=-π,β与α的终边相同,且β∈,则β=________.
解析:因为α=-,β与α的终边相同,且β∈,所以β=-.
-
3.(人教A版必修第一册P176习题5.1T10改编)已知某扇形的周长为10,圆
心角为2,则该扇形的半径为____,该扇形的面积为.
解析:设该扇形的半径为r,则2r+2r=10,解得r=,所以该扇形的面积为.
4.(人教A版必修第一册P180练习T3改编)若角θ的终边经过点P(-1,m)
(m>0),且sin θ=m,则m=__.
解析:因为角θ的终边经过点P(-1,m)(m>0),所以sin θ=m,解得m=1(m=-1舍去),所以m=1.
1
关键能力　提升
考点1 象限角与终边相同的角
【例1】　(1)(多选)下列给出的各角中,与-的终边相同的角有(　 　)
A.
.
AB
【解析】　终边相同的两个角的差是2π的整数倍.对于A,因为=2π,所以的终边相同,故A正确;对于B,因为=3×2π,所以的终边相同,故B正确;对于C,因为 -2π,所以-的终边不相同,故C错误;对于D,因为2π,所以的终边不相同,故D错误.故选AB.
(2)(多选)下列结论中正确的是 (　 　)
A.300°=
B.若α为第一象限角,则为第一或第三象限角
C.第二象限角都是钝角
D.终边在直线y=-x上的角的集合是
AB
【解析】　对于A,300°=300,故A正确;对于B,α为第一象限角,即2kπ<α<2kπ+,k∈Z,则kπ<,k∈Z,则为第一或第三象限角,故B正确;对于C,第二象限角不都是钝角,比如490°为第二象限角,但不是钝角,故C错误;对于D,终边在直线y=-x上的角的集合是,故D错误.故选AB.
1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2.确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围,然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.
规律总结
【对点训练1】　(1)(多选)(苏教版必修第一册P176习题7.1T2,T3,T5改编)下列说法正确的是 (　 　)
A.第二象限角大于第一象限角
B.与1 920°终边相同的角中,最小正角是120°
C.22°30'化成弧度是
D.终边落在直线y=x上的角α的集合为{α|α=k·180°+60°,k∈Z}
BCD
解析:对于A,100°是第二象限角,361°是第一象限角,但100°<361°,故A错误;对于B,与1 920°终边相同的角为β=k·360°+1 920°=(k+5)·360°+120°,k∈Z,当k=-5时,β=120°,所以与1 920°终边相同的角中,最小正角是120°,故B正确;对于C,22°30'化成弧度是22.5,故C正确;对于D,易得直线y=x的倾斜角为60°,当角的终边在第一象限时,α=60°+k1·360°,k1∈Z,当角的终边在第三象限时,α=240°+k2·360°,k2∈Z,所以角α的集合为{α|α=k·180°+60°,k∈
Z},故D正确.故选BCD.
(2)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内(含边界),则角α的取值范围是 (　 　)
A.
B.
C.
D.(k∈Z)
D
解析:依题意,在[0,2π)内阴影部分的边界射线对应的角分别为,,终边在阴影部分内(含边界)对应角的范围是,所以角α的取值范围是(k∈Z).故选D.
考点2 弧度制及其应用
【例2】　已知扇形的圆心角为α,所在圆的半径为r.
(1)若α=60°,r=3,求扇形的弧长.
【解】设扇形的弧长为l.∵α=60°=,r=3,∴l=|α|r=3=π.
(2)若扇形的周长为16,当α为多少弧度时,该扇形面积最大 并求出最大面积.
【解】由题设条件知l+2r=16,
l=16-2r,
因此扇形的面积S=(16-2r)r=-r2+8r=-(r-4)2+16,
∴当r=4时,S有最大值16,此时l=16-2r=8,α==2,
∴当α=2时,扇形的面积最大,最大面积是16.
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常利用二次函数或基本不等式求解.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
规律总结
【对点训练2】　(1)(人教A版必修第一册P175练习T6改编)砖雕是古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式,传统砖雕有精致细腻、气韵生动、极富书卷气等特点.图2是根据一个砖雕(如图1)所作的扇环,该扇环可视为将扇形OAB截去同心扇形OCD所得的图形,若∠AOB=,C,D分别在OA,OB上,AC=2,=2π,则该扇环的面积为 (　 　)
A.
.
A
解析:因为∠AOB=,=2π,所以OA==3,所以OC=OA-AC=3-2=1.由扇形面积公式可得该扇环的面积S=(OA2-OC2)=(32-12)=.故选A.
(2)已知扇形的面积是4 cm2,当扇形周长最小时,扇形的圆心角的大小为(单位:rad)(　 　)
A.
C.1　　　 D.2
解析:设扇形的圆心角为θ,半径为r cm,则由题意可得θr2=4,∴ 2r+θr=2r+=8,当且仅当2r= , 即r=2,θ=2时取等号,∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8.故选D.
D
考点3 三角函数的定义及应用
命题角度1　三角函数的定义
【例3】　(1)已知角α的终边经过点P(-1,),则(　 　)
A.cos α=
C.sin α=-
D
【解析】　设O为坐标原点,由角α的终边经过点P(-1,),可得|OP|==2,由三角函数的定义,可得sin α=,cos α=-, tan α=,故A,B,C错误,D正确.故选D.
(2)在平面直角坐标系中,已知角α的终边经过点P(a,a-3),且cos α=,则a等于(　 　)
A.1 B.
C.1或 D.1或-3
【解析】　因为角α的终边经过点P(a,a-3),且cos α=,所以 cos α=,并且a>0,解得a=-3(舍去)或a=1.故选A.
A
命题角度2　三角函数值符号的判断
【例4】　(1)(人教A版必修第一册P185习题5.2T10改编)已知sin θ·
tan θ<0,且cos θ·sin θ<0,则θ为 (　 　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
【解析】　因为sin θ·tan θ<0,所以θ的终边可能在第二、三象限;因为 cos θ·sin θ<0,所以θ的终边可能在第二、四象限.要同时满足sin θ·tan θ<0, cos θ·sin θ<0,则θ为第二象限角.故选B.
B
(2)(多选)给出下列各三角函数值,其中符号为负的是 (　 　)
A.cos π B.cos(-220°)
C.sin(-100°) D.-tan(-10)
【解析】　对于A,cos π=-1,故A正确;对于B,cos(-220°)=cos 140°<0,故B正确;对于C,sin(-100°)=-sin 100°<0,故C正确;对于D,-tan(-10)=
tan 10,因为3π<10<π,故tan 10>0,故D错误.故选ABC.
ABC
1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义,找到给定角的终边上一个点的坐标,及这点到原点的距离,确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值,可以通过三角函数的定义列出含参数的方程,求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号,先定象限,再根据正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号确定值的符号.若不能确定角所在象限,则要进行分类讨论求解.
规律总结
【对点训练3】　(1)已知角α的终边经过点P(-8,m),且tan α=-,则sin α的值是(　 　)
A.
C.-
解析:由三角函数的定义可得tan α=,解得m=6,因此,sin α=
.故选A.
A
(2)(多选)已知α=3 rad,则 (　 　)
A.sin αcos α>0 B.sin αtan α<0
C.cos αtan α<0 D.sin α-cos α>0
解析:因为<α<π,所以α为第二象限角,故sin α>0,cos α<0,tan α<0,得 sin α·cos α<0,sin αtan α<0,cos αtan α>0,sin α-cos α>0.故选BD.
BD
高考真题 教材典题
(2020·全国Ⅱ卷理)若α为第四象限角, 则(　 　) A.cos 2α>0　　　　　　 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0 D.sin 2α<0 (人教A版必修第一册P182练习T4)对于①sin θ>0,②sin θ<0, ③cos θ>0,④cos θ<0,⑤tan θ>0与⑥tan θ<0,选择恰当的关系式序号填空:
(1)角θ为第一象限角的充要条件是________;
(2)角θ为第二象限角的充要条件是________;
(3)角θ为第三象限角的充要条件是________;
(4)角θ为第四象限角的充要条件是________.
考教衔接
D
解析:对于A,当α=-时,cos 2α=cos<0,故A错误;对于B,当α=-时,cos 2α=cos
>0,故B错误;对于C,D,由α为第四象限角可得sin α<0,cos α>0,则sin 2α= 2sin αcos α<0,故C错误,D正确.故选D.
课时作业26
1.(5分)下列各角中,与2 286°角终边相同的角是(　 　)
A.126° B.216°
C.-36° D.-306°
解析:因为2 286°=360°×6+126°,-36°=-1×360°+324°,-306°=-1 ×360°+54°,所以与2 286°角终边相同的角是126°.故选A.
基础巩固
A
2.(5分)若α是第二象限角,则90°-α是(　 　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:因为α是第二象限角,所以k·360°+90°<α360°,k∈Z,所以90°-α是第四象限角.故选D.
D
3.(5分)集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　 　)
C
解析:当k=2n(n∈Z)时,2nπ+,n∈Z,此时α表示的范围与表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+,n∈Z,此时α表示的范围与π+表示的范围一样.故选C.
4.(5分)已知角α的终边过点M(x,1)(x>0),且cos α=x,则tan α=(　 　)
A.
C.
解析:设r=|OM|=,O为坐标原点,由三角函数的定义得cos α=
x,整理可得x2+1=3,因为x>0,所以x=,所以tan α=.故选D.
D
5.(5分)点A(tan 2,cos 4)在平面直角坐标系中位于(　 　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:2弧度的角是第二象限角,所以tan 2<0,4弧度的角是第三象限角,所以cos 4<0,所以点A在第三象限.故选C.
C
6. (5分)在某中学2026年“创意之光”文创设计大赛中,一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子.如图,其扇面可以近似地理解为扇形OAD截去同心扇形OBC所得图形,已知OA=4,OB=1,∠AOD=,则该扇面的面积近似为 (　 　)
A.
C.5π D.8π
解析:因为OA=4,OB=1,∠AOD=,所以扇面的面积近似为(42-12)=5π.故选C.
C
7.(5分)在数学中,布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间,是构成一般不动点定理的基石,它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔,简单地讲,就是对于满足一定条件的连续函数f(x),存在x=x0,使得f(x0)=x0,那么我们称x0为该函数的“不动点”.若函数f(x)=x2-5x+9的“不动点”为m,角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过M(m,-4),则 sin α=(　 　)
A.-
C.-
A
解析:由f(x)=x,得x2-6x+9=0,解得x=3,即m为3,点M(3,-4),所以sin α=
.故选A.
8.(5分)已知扇形的周长是6 cm,则扇形面积最大时,扇形的圆心角的弧度数是(　 　)
A.2 B.1
C. D.3
解析:设扇形的圆心角为α,弧长为l cm,半径为r cm,则l+2r=6,面积S=·(6-2r)·r=-r2+3r,所以当r=-时,扇形面积取得最大值,即为-,此时l=6-2r=6-2=3,对应α==2.故选A.
A
9.(6分,多选)下列表示中正确的是 (　 　)
A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈}
B.终边在第二象限的角的集合是
C.终边在坐标轴上的角的集合是
D.终边在直线y=x上的角的集合是
ABC
解析:对于A,B,表示显然正确,故A,B正确;对于C,终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z},终边在y轴上的角的集合是,其并集是,故C正确;对于D,终边在直线y=x上的角的集合是或,其并集是,故D错误.故选ABC.
10.(6分,多选)若sin α=,则角α的终边经过的点的坐标可以为(　 　)
A.(12,5) B.(5,12)
C.(-12,5) D.(-5,12)
解析:设角α的终边经过的点的坐标为(x,y),该点到原点的距离r=.对于A,当x=12,y=5时,r=13,sin α=,故A错误;对于B,当x=5,y=12时,r=13,sin α=,故B正确;对于C,当x=-12,y=5时,r=13,sin α=,故C错误;对于D,当x=-5,y=12时,r=13,sin α=,故D正确.故选BD.
BD
11.(6分,多选)(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角θ的终边经过点(-2,-),且θ与α的终边关于x轴对称,则 (　 　)
A.sin θ=-
B.α为钝角
C.cos α=-
D.点(tan θ,tan α)在第四象限
ACD
解析:对于A,因为角θ的终边经过点(-2,-),所以sin θ=-,故A正确;对于B,C,因为θ与α的终边关于x轴对称,所以α的终边经过点 (-2,),则α为第二象限角,不一定为钝角,且cos α=,故B错误,C正确;对于D,因为tan θ=>0,tan α=-<0,所以点(tan θ,tan α)在第四象限,故D正确.故选ACD.
12.(6分)已知扇形的弧所对的圆心角为,且半径为6 cm,则该扇形的弧长为__________.
解析:由扇形的弧长公式l=αr得扇形的弧长l=6=2π(cm).
2π cm
13.(6分)已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值
为 .
解析:由题意sin α=cos,又sin<0,点在第三象限,即α是第三象限角,所以α=+2kπ,k∈Z,最小正值为.
14. (6分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式:弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差,现有圆心角为,弧长等于 m的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是____________(参考数据:≈1.73).
8.92 m2
解析:因为圆心角为,弧长等于 m,所以圆的半径r==4(m),如图,在Rt△AOD中,∠AOD=,所以OD=AOcos∠ AOD=4 =2(m), AD= (m),所以矢=4-2=2(m),弦=2AD=4 m,所以弧田面积=(弦×矢+矢2)=(42+22)=4+2≈8.92(m2).
15.(6分,多选)下列各式中为负值的是 (　 　)
A.sin 1 125°
B.tanπ
C.
D.sin|-1|
素养提升
BC
解析:对于A,sin 1 125°=sin(3×360°+45°)=sin 45°=>0,故A错误;对于B,tan
,∵,∴tan>0,sin>0,∴tan<0,故B正确;对于C,∵π<4<,∴sin 4<0, tan 4>0,∴<0,故C正确;对于D,∵0<1<,∴sin 1>0,∴sin|-1|=sin 1>0,故D错误.故选BC.
16.(8分,多选)某同学在学习了《任意角和弧度制》后,对家里的扇形瓷器盘(图1)产生了浓厚的兴趣,并临摹出该瓷器盘的大致形状,如图2所示,在扇形OAB中,∠AOB=60°,OB=OA=4,则 (　 　)
A.∠AOB=
B.弧AB的长为
C.扇形OAB的周长为+4
D.扇形OAB的面积为
BD
解析:对于A,∠AOB=,故A错误;对于B,弧长l=αr=,故B正确;对于C,扇形OAB的周长为+8,故C错误;对于D,扇形OAB的面积S=,故D正确.故选BD.
本课结束

展开更多......

收起↑