资源简介

(共66张PPT)
第四章　三角函数、解三角形
4.3　三角恒等变换
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.经历推导两角差的余弦公式,能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆). 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷 T8,T17 新课标Ⅰ卷T4
新课标Ⅱ卷T7 新课标Ⅱ卷 T13,T15 全国二卷T8
必备知识　回顾
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)
sin(α+β)=_____________________.简记作S(α+β).
sin(α-β)=______________________.简记作S(α-β).
cos(α+β)=_____________________.简记作C(α+β).
cos(α-β)=______________________.简记作C(α-β).
tan(α+β)= _____________ .简记作T(α+β).
tan(α-β)= _____________ .简记作T(α-β).
知识梳理
sin αcos β+cos αsin β
sin αcos β-cos αsin β
cos αcos β-sin αsin β
cos αcos β+sin αsin β
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)
sin 2α=___________.简记作S2α.
cos 2α=________________=_____________=____________.简记作C2α.
tan 2α=.简记作T2α.
2sin αcos α
cos2α-sin2α
1-2sin2α
2cos2α-1
2.简单的三角恒等变换
(1)降幂公式
sin2α=__________.
cos2α=__________.
sin αcos α=____________.
sin 2α
(2)升幂公式
1+cos α=________.
1-cos α=________.
1+sin α=_______.
1-sin α=_______.
(3)辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ),其中cos φ=,sin φ=
,tan φ=.
2cos2
2sin2
1.常用的拆角、拼角技巧
(1).
(2).
(3).
(4).
2.正切公式的常用变形
(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
(2)tan αtan β=-1=1-.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(　 　)
(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(　 　)
(3)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β),且对任意角α,β都成立. (　 　)
(4)存在实数α,使tan 2α=2tan α. (　 　)
基础检测
√
√
×
√
2.(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知α∈,若cos 2α=,则sin α=_____.
解析:因为cos 2α=,所以1-2sin2α=,即sin2α=,又α∈,所以 sin α=-.
-
3.(人教A版必修第一册P229习题5.5T2改编)已知cos α=,0<α<,则
sin.
解析:由cos α=,0<α<,得sin α=,则sin(sin α+cos α)=.
4.(人教A版必修第一册P219例4改编)若tan α=-3,则tan.
解析:因为tan α=-3,所以tan.
关键能力　提升
考点1 三角函数式的化简
【例1】　(1)化简:=(　 　)
A.2cos α B.2cos α
C.2sin α D.sin α
【解析】　原式==cos α.故选A.
A
(2)计算:sin 40°(tan 10°-)= (　 　)
A.-1 B.-
.
【解析】　sin 40°(tan 10°-)=sin 40°·=-=-1.故选A.
A
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
规律总结
【对点训练1】　(1)化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β-.
解析:原式=cos 2αcos 2β=
+-
cos 2α·cos 2β-.
(2)计算:.
解析:==
==
.
考点2 求三角函数值
命题角度1　给角求值
【例2】　(多选)(苏教版必修第二册P70练习T1改编)下列计算正确的是(　 　)
A.sin 72°sin 78°-cos 72°sin 12°=
B.=1
C.cos4
D.cos275°+cos215°+cos 15°sin 15°=
ACD
【解析】　对于A,sin 72°sin 78°-cos 72°·sin 12°=sin 72°cos 12°- cos 72°sin 12°=sin(72°-12°)=,故A正确;对于B,,故B错误;对于C,cos4
,故C正确;对于D,cos275°+cos215°+cos 15°sin 15°=sin215°+cos215°
+,故D正确.故选ACD.
命题角度2　给值求值
【例3】　(1)(2025·全国二卷)已知0<α<π, cos,则sin= (　 　)
A.
C.
D
【解析】　因为cos α=2cos2,0<α<π,所以<α<π,则sin α=,则sin.故选D.
(2)已知α∈,β∈,且满足cos,sin β=,则cos= (　 　)
A.-
C.
A
【解析】　cos,,得sin,∵α∈,∴α+,∴cos=,∵sin β=,β∈, ∴cos β=-,∴cos.故选A.
1.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角来求值.
2.给值求值问题一般是将待求式子化简整理,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入即可.
规律总结
【对点训练2】　(1)(2025·湖北武汉二模)若tan=7,则 cos 2α=(　 　)
A.
C.
解析:由tan=7,可得=7,即=7,解得tan α=,所以cos 2α=.故选A.
A
(2)(2025·山东菏泽一模)若α∈(0,π),tan 2α=,则sin=(　 　)
A.-
C.
解析:∵tan 2α=,∴.∵α∈(0,π), ∴sin α≠0,∴,化简得cos α=-,∴α=,∴sin.故选C.
C
考点3 已知三角函数值求角
【例4】　(1)已知α,β∈,cos2α-sin2α=,且3sin β=sin(2α+β),则α+β=(　 　)
A.
C.
D
【解析】　因为cos2α-sin2α=,cos2α+sin2α=1,所以cos2α=,sin2α=,所以cos α=,sin α=,所以tan α=.由3sin β=sin(2α+β),得
3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],即3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+
β)cos α+cos(α+β)sin α,所以sin(α+β)·cos α=2cos(α+β)·sin α,所以tan(α+
β)=2tan α=,所以α+β=.故选D.
(2)已知α,β为钝角,且cos α=-,sin β=,则α+β=(　 　)
A.
C.
【解析】　因为α,β为钝角,且cos α=-,sin β=,所以sin α=,cos β= -,且α∈,β∈,所以α+β∈(π,2π),所以cos(α+β)=cos αcos β-sin α·sin β=-,所以α+β=.故选D.
D
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值,再求角的范围,最后确定角.遵照以下原则:
(1)已知正切函数值,选正切函数.
(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是,选正弦较好.
规律总结
【对点训练3】　(1)已知0<α<,(1+sin 2α)sincos 2α,则α= (　 　)
A.
C.
解析:因为sin,(1+sin 2α)sin·cos 2α,所以sincos 2α,则cos,即cos,所以,所以2α+,解得α=.故选B.
B
(2)(苏教版必修第二册P72练习T3改编)已知tan α=,tan β=-,且α,β∈(0,π),则2α-β= (　 　)
A.
C.-
C
解析:因为tan α=>0,且α∈(0,π),所以α∈,2α∈(0,π).又tan 2α=
>0,所以2α∈<0,且β∈(0,π),所以β∈,所以2α-β∈(-π,0),又tan(2α-β)===1,所以2α-β=-.故选C.
和差化积与积化和差公式
1.和差化积公式
sin α+sin β=2sin;
sin α-sin β=2cos;
cos α+cos β=2cos;
cos α-cos β=-2sin.
教材深研
2.积化和差公式
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)];
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];
cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
【典例】　计算:(1)sin 20°+sin 40°-sin 80°=__.
【解析】　sin 20°+sin 40°-sin 80°=2sin 30°·cos 10°-cos 10°=
cos 10°-cos 10°=0.
(2)(sin 20°-sin 40°)2+3sin 20°cos 50°=.
【解析】　(sin 20°-sin 40°)2+3sin 20°·cos 50°=(-2cos 30°sin 10°)2
+(sin 70°-sin 30°)=3sin210°+(1-cos 20°)+
.
0
高考真题 教材典题
1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β= 2,则cos(α-β)=(　 　) A.-3m　　　　B.-　 　D.3m 1. (人教A版必修第一册P255复习参考题5T15(1))已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,求tan αtan β的值.
考教衔接
A
解析:由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m①,由tan αtan β=2得=2②,由①②得则cos(α-β)=cos αcos β+ sin αsin β=-3m.故选A.
高考真题 教材典题
2.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin=(　 　) A. C. 2.(人教A版必修第一册P226练习T2)已知cos θ=,且270°<θ<360°,试求sin的值.
D
解析:因为cos α=1-2sin2,而α为锐角,所以sin.故选D.
课时作业28
1.(5分)(2025·河北保定二模)若cos 2α=sin2α,则sin α= (　 　)
A.
C.
解析:因为cos 2α=sin2α,所以1-2sin2α=sin2α,解得sin α=±.故选B.
基础巩固
B
2.(5分)(人教B版必修第三册P110习题8-2BT2(1)改编)计算:sin=(　 　)
A.
解析:由题意得,sin.故选B.
B
3.(5分)(2026·北京朝阳区一模)已知sin α+sin β=0,cos α+cos β=,则cos(α-β)=(　 　)
A.-
C. D.1
解析:由sin α+sin β=0,cos α+cos β=,得(sin α+sin β)2+(cos α+ cos β)2=3,整理得2+2(cos αcos β+sin αsin β)=3,所以cos(α-β)=.故选B.
B
4.(5分)(2025·广东广州三模)设tan α,tan β是方程x2+px+p-1=0(p≠1)的两根,则= (　 　)
A.p B.-p
C.
解析:因为tan α,tan β是方程x2+px+p-1=0(p≠1)的两根,所以tan α+tan β= -p,tan αtan β=p-1,且=.故选D.
D
5.(5分)(2025·江西景德镇二模)已知sin α=2cos,则tan2α-cos2α=(　 　)
A.
C.
解析:由sin α=2,可得tan α=,则tan2α-cos2α=tan2α-.故选C.
C
6.(5分)已知θ∈,则-可化简为 (　 　)
A.2sin θ B.-2sin θ
C.-2cos θ D.2cos θ
解析:因为θ∈,所以sin θ≤cos θ≤0,所以=|cos θ-sin θ|-|cos θ+sin θ|=2cos θ.故选D.
D
7.(5分)计算:(sin 5°+cos 5°)(1+tan 10°)= (　 　)
A.
C.2 D.
解析:(sin 5°+cos 5°)(1+tan 10°)=.故选D.
D
8.(5分)若α,β∈,且(1-cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,则下列结论正确的是(　 　)
A.2α+β=
C.α+β=
A
解析:因为α,β∈,所以sin α≠0,由(1-cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,可得2sin2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β,即sin α(1+sin β)=cos αcos β,所以 sin α=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),所以cos(α+β)=cos,因为α,β∈,所以π<α+β<2π,且--α<0,根据函数y=cos x的图象易知α+β=-α+2π(注意:y=cos x在(π,2π)上单调递增,在上单调递增,所以有α+β=-α+2kπ,k∈Z),则2α+β=.根据已知条件无法得到2α-β,α+β,α-β的值.故选A.
9.(8分,多选)(2026·江苏南京一模)已知cos α·cos β=,cos(α+β)=,则(　 　)
A.sin αsin β= B.cos(α-β)=
C.tan αtan β=-
BC
解析:对于A,由cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,且cos αcos β=,得 sin αsin β=-,故A错误;对于B,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,故B正确;对于C,tan α·tan β=,故C正确;对于D, sin 2αsin 2β=2sin α·cos α·2sin βcos β=4sin αsin β·cos αcos β=4,故D错误.故选BC.
10.(8分,多选)(2026·福建福州模拟)已知角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,β的终边经过点P(-sin α,cos α),tan α=2, 则(　 　)
A.tan β=-
B.β的终边在第二象限
C.sin(α-β)=1
D.cos(α+β)=-
AD
解析:对于A,由题意可得tan β=,故A正确;对于B,由于tan α=2,故α可能是第一象限角或第三象限角,当α是第一象限角时, sin α>0,cos α>0,则P(-sin α,cos α)在第二象限,当α是第三象限角时, sin α<0,cos α<0,则P(-sin α,cos α)在第四象限,即β的终边在第二象限或第四象限,故B错误;对于C,D,由于tan α=2,当α是第一象限角时, sin α=,cos α=,此时β是第二象限角,tan β=-,则sin β=,cos β=-,故sin(α-β)==-1,cos(α+β)=,
当α是第三象限角时,sin α=-,cos α=-,此时β是第四象限角,tan β=-,则sin β=-,cos β=,故sin(α-β)=-= -1,cos(α+β)=,故C错误,D正确.故选AD.
11.(8分,多选)已知α为锐角,若cos 2α=,则 (　 　)
A.sin 2α=
B.tan α=
C.=4
D.sin
AC
解析:对于A,因为α为锐角,所以α∈,2α∈,因为cos 2α=,所以sin 2α=,故A正确;对于B,tan α=,故B错误;对于C,=4,故C正确;对于D,由tan α=,易得sin α=,cos α=,所以sin,故D错误.故选AC.
12.(4分)(人教A版必修第一册P219例4(3)改编)求值:.
解析:=tan(15°+60°)=tan 75°=
tan(45°+30°)=.
13.(4分)(2025·陕西渭南三模)已知sin(α+β)=,tan α=3tan β,则sin(α-β)=.
解析:由sin(α+β)=,可得sin αcos β+cos αsin β=①,由tan α=3tan β,可得,即sin αcos β-3cos αsin β=0②,联立①②可得cos αsin β=, sin αcos β=,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=.
14.(4分)(2025·江苏宿迁二模)已知sin 2α=2sin 2β,cos 2α=4sin2β,则cos(2α+β)=__.
解析:依题意sin 2α=2sin 2β,cos 2α=4sin2β,若sin β=0,则cos 2α=0,而 sin 2α=2sin 2β=4sin βcos β=0,与sin22α+cos22α=1矛盾,所以sin β≠0, cos 2α≠0,所以,则cos 2αcos β-sin 2αsin β=0,即cos(2α+β)=0.
0
15.(5分)已知sin α=,cos(α+β)=,α,β均为锐角,则cos= (　 　)
A.-
C.
解析:因为0<α<, 0<β<,所以0<α+β<π.又因为sin α=,所以 cos α=.因为cos(α+β)=,所以sin(α+β)=,所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=,所以cos.故选B.
素养提升
B
16.(4分)若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是 .
解析:因为α∈,所以2α∈,且sin 2α=>0,所以2α∈,则cos 2α=-,且α∈,所以β-α∈.又sin(β-α)=,所以β-α∈,则cos(β-α)=-,所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α=,所以α+β=.
17.(5分)给定实数集合P,Q满足P={x|sin2[x]+sin2{x}=1}(其中[x]表示不超过x的最大整数,{x}=x-[x]),Q=,则P∩Q=(　 　)
A.P B.Q
C. D.P∪Q
C
创新训练（多想少做）
解析:因为[x]≤x<[x]+1,所以0≤{x}=x-[x]<1,由sin2[x]+sin2{x}=1,可得sin2{x}=1-sin2[x]=cos2[x],所以[x]=kπ++{x},k∈Z,所以P=.
集合Q==
=
{x|sin 2x-cos2x=1}=,所以sin,所以2x-,k∈Z,或2x-,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,或x=kπ+,k∈Z,所以Q=.所以P∩Q= .故选C.
本课结束

展开更多......

收起↑