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(共61张PPT)
第四章　三角函数、解三角形
4.4　三角函数的图象和性质
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.能画出三角函数的图象. 2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T7
新课标Ⅱ卷T9
必备知识　回顾
1.“五点法”作图
(1)在确定正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个
点是______,___, ______,, _________.
(2)在确定余弦函数y=cos x在[-π,π]上的图象形状时,起关键作用的五个
点是________,_________, _______,__________,__________.
知识梳理
(0,0)
(π,0)
(2π,0)
(-π,-1)
(0,1)
(π,-1)
2.三角函数的图象和性质
函数 性质 y=sin x y=cos x y=tan x
图象(一 个周期)
定义域 __ __
值域 __________ _______ __
R
R
[-1,1]
[-1,1]
R
函数性质 y=sin x y=cos x y=tan x
最值 (k∈Z) 当x=+2kπ时,ymax=1; 当x=-+2kπ时,ymin=-1 当x=2kπ时,ymax=1; 当x=2kπ+π时,ymin=-1 —
对称性 (k∈Z) 对称轴:__________; 对称中心:______ 对称轴:________; 对称中心: 无对称轴;对称中心:
x=kπ+
(kπ,0)
x=kπ
函数性质 y=sin x y=cos x y=tan x
最小正 周期 ____ ____ __
单调性 (k∈Z) 单调递增区间: ;单调递减区间: 单调递增区间: ____________;单调递减区间:__________ 单调递增区间:
;
无单调递减区间
奇偶性 ______ ______ ______
2π
2π
π
[2kπ-π,2kπ]
[2kπ,2kπ+π]
奇函数
偶函数
奇函数
1.关于周期性的常用结论
(1)若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.
(2)周期函数的定义域是无限集.
(3)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质,因此要研究某周期函数的性质,一般只需要研究它在一个周期内的性质.
2.关于奇偶性的常用结论
(1)若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则f(x)为偶函数 φ=+kπ(k∈Z).
(2)若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则f(x)为奇函数 φ=kπ(k∈Z).
知识拓展
3.正、余弦函数在其图象的对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的最大值点与最小值点间的距离为其半周期;图象与x轴的交点是其对称中心,相邻的两个对称中心间的距离也是半周期;函数图象的对称轴与其相邻的零点间的距离为周期.
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)余弦曲线y=cos x的对称轴是y轴.(　 　)
(2)正切函数y=tan x在定义域内是增函数. (　 　)
(3)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.(　 　)
(4)y=sin|x|是偶函数. (　 　)
基础检测
×
×
×
√
2.(人教A版必修第一册P214习题5.4T12改编)函数f(x)=-sin 2x在上(　 　)
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
解析:因为x∈,所以2x∈,因为y=-sin z在上单调递减,故f(x)=-sin 2x在上单调递减.故选B.
B
3.(人教A版必修第一册P207练习T2改编)函数f(x)=sin,x∈
的最大值和最小值分别为 (　 　)
A.1,- B.1,-
C.,-1 D.1,-1
解析:由x∈,得2x+,则当2x+,即x=时,f(x)max=1,当2x+,即x=时,f(x)min=-,所以所求最大值、最小值分别为1,-.故选A.
A
4.(人教A版必修第一册P214习题5.4T19改编)函数y=cos图象的一个对称中心是 (　 　)
A.
C.
解析:由2x+,k∈Z,得x=,k∈Z,所以函数y=cos,k∈Z,当k=0时,函数y=cos.故选B.
B
关键能力　提升
考点1 三角函数的定义域和值域
【例1】　(1)函数f(x)=的定义域为 (　 　)
A.(k∈Z)
B.
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
B
【解析】　由函数式知:
∴,k∈Z.故选B.
(2)已知函数f(x)=sin xcos x+sin2x,若f(x)在区间[0,a]上的值域是,则a的取值范围为 (　 　)
A.
C.
【解析】　由f(x)=sin xcos x+sin2x可得f(x)=,当x∈[0,a]时,2x-,要使f(x)在区间[0,a]上的值域是,只需,解得.故选A.
A
(3)已知函数f(x)=sin x+cos x+2sin x·cos x+2,则f(x)的最大值为_______.
【解析】　设t=sin x+cos x,则sin x·cos x=,t= sin x+cos x=∈[-,],则g(t)=t+t2-1+2=,∴当t=时,g(t)max=,即f(x)max=3+.
3+
1.三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域,实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数的图象来求解.
2.三角函数值域的不同求法
(1)一般把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式求值域.
(2)把sin x或cos x看作一个整体,转换成二次函数求值域.
(3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.
规律总结
【对点训练1】　(1)函数f(x)=的定义域是(　 　)
A.
B.
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
D
解析:f(x)==,对于函数f(x)有sin≥0,可得2kπ≤x-≤2kπ+π(k∈Z),解得2kπ+(k∈Z),故函数f(x)=(k∈Z).故选D.
(2)已知函数f(x)=3sin x+cos x,若x∈时,函数f(x)的值域为(　 　)
A.
C.
解析:f(x)=3sin x+,因为x∈,所以 -,则-≤1,所以函数f(x)的值域为[-3,2].故选A.
A
考点2 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【例2】　(多选)(2026·云南曲靖一模)已知函数f(x)=2sin,则(　 　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)的图象关于点对称
ABD
【解析】　对于A,f(x)的最小正周期为T==π,故A正确;对于B,因为x∈,所以2x-,由y=sin x的单调性可知,f(x)在上单调递增,故B正确;对于C,将x==1,所以直线x=不是f(x)图象的对称轴,故C错误;对于D,当x=时,f=0,所以f(x)的图象关于点对称,故D正确.故选ABD.
有关三角函数的奇偶性、周期性和
对称性问题的解题思路
(1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y= Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式.
(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的周期为,函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期为求解.
(3)解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.
规律总结
【对点训练2】　(1)函数y=2|sin x|+1是 (　 　)
A.周期为2π的奇函数
B.周期为π的奇函数
C.周期为2π的偶函数
D.周期为π的偶函数
解析:设f(x)=y=2|sin x|+1,x∈R,f(-x)=2|sin(-x)|+1=2|-sin x|+1=2|sin x|+
1=f(x),所以f(x)为偶函数,因为y=2sin x+1的周期为2π,所以y=2|sin x|+1的周期为π.故选D.
D
(2)(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心,则a的最小值为 (　 　)
A.
C.
解析:根据正切函数的性质,y=2tan,k∈Z,即y=2tan,k∈Z,即a=,k∈Z,又a>0,则当k=0时a最小,最小值是.故选B.
B
考点3 三角函数的单调性
命题角度1　求三角函数的单调区间
【例3】　(2025·全国二卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=.
(1)求φ;
【解】由题意得f(0)=cos φ=(0≤φ<π),所以φ=.
(2)设函数g(x)=f(x)+f,求g(x)的值域和单调区间.
【解】由(1)可知f(x)=cos,
所以g(x)=f(x)+f,
所以函数g(x)的值域为[-,],令2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,解得-+kπ,k∈Z,令π+2kπ≤2x+≤2π+2kπ,k∈Z,解得+kπ,k∈Z,所以函数g(x)的单调递减区间为,k∈Z,函数g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
命题角度2　三角函数单调性的应用
【例4】　设a=sin 14°+cos 14°,b=2sin 31°·cos 31°,c=,则下列结论正确的是(　 　)
A.aC.c【解析】　依题意,a=sin 14°+cos 14°=sin(45°+14°)=sin 59°,
b=sin 62°,c=sin 60°,又函数y=sin x随着锐角x的增大而增大,则·sin 62°,所以aD
已知三角函数解析式求单调区间
(1)将函数化简为“一角一函数”的形式,如y=Asin(ωx+φ) +b (A>0, ω>0).
(2)利用整体思想,视“ωx+φ”为一个整体,根据y=sin x的单调区间列不等式求解.
对于y=Acos(ωx+φ)+b,y=Atan(ωx+φ)+b,可以利用类似方法求解.
注意:求函数y=Asin(ωx+φ)+b的单调区间时要先看A和ω的符号,如果ω<0,可先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
规律总结
【对点训练3】　(1)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上单调递减,则实数a的最大值是(　 　)
A.
C. D.π
解析:f(x)=cos x-sin x=,由题意得a>0,因为f(x)=在[-a,a]上单调递减,所以,所以实数a的最大值是.故选A.
A
(2)函数f(x)=sin4,x∈
.
解析:因为f(x)=sin4
≤2kπ+π,k∈Z kπ-,k∈Z.又x∈,所以当k=1时,可得x∈.
高考真题 教材典题
(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是 (　 　) A. C. (人教A版必修第一册P214习题5.4T12)下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是(　　)
A.y=|sin x|　　B.y=cos x
C.y=tanx D.y=cos
考教衔接
A
解析:令-+2kπ,k∈Z,得-+2kπ,k∈Z.取k=0,则 -,所以在区间上,函数f(x)单调递增.故选A.
课时作业29
1.(5分)函数y=lo的定义域是 (　 　)
A.
B.
C.
D.
基础巩固
B
解析:由题意得tan>0,即tan<0,所以kπ-2.(5分)函数f(x)=4sin上的值域为(　 　)
A.[-2,2] B.[-2,4]
C.[-2,4] D.[-2,2]
解析:因为x∈,所以5x-,所以sin,故f(x)=4sin上的值域为[-2,4].故选B.
B
3.(5分)已知函数f(x)=sin xcos(2x+φ)(φ∈[0,π])为偶函数,则φ=(　 　)
A.0 B.
C. D.π
解析:因为f(x)的定义域为R,且为偶函数,所以f,即-cos(-π+
φ)=cos(π+φ),可得cos φ=-cos φ,即得cos φ=0.因为φ∈[0,π],所以φ=,当φ=时,f(x)=-sin xsin 2x为偶函数,满足题意.故选C.
C
4.(5分)(2025·陕西汉中二模)函数f(x)=-的单调递增区间为(　 　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
A
解析:依题意,函数f(x)的单调递增区间,即为函数y=sin的单调递减区间,由+2kπ,k∈Z,解得+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).故选A.
5.(5分)(2026·甘肃兰州模拟)函数f(x)=sin x·(sin x-cos x)-1的最小正周期为(　 　)
A. B.π
C.2π D.4π
解析:由f(x)=sin x(sin x-cos x)-1=sin2x-sin xcos x-1=,则函数f(x)的最小正周期T==π.故选B.
B
6.(5分)(2026·陕西汉中一模)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=对称,则φ的值为(　 　)
A.
C.
解析:因为函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=对称,所以2·,k∈Z,故φ=kπ+,k∈Z,又因为0<φ<π,令k=0得φ=.故选A.
A
7.(6分,多选)(2026·内蒙古赤峰一模)已知函数f(x)=sin,则(　 　)
A.f(x)是周期为π的函数
B.f(x)与函数y=cos是同一函数
C.直线x=-是f(x)图象的一条对称轴
D.f(x)在区间
AD
解析:对于A,由题意,T==π,故A正确;对于B,f(x)=sin,故B错误;对于C,因为f,所以直线x=-不是f(x)图象的一条对称轴,故C错误;对于D,当0≤1,则-1≤-sin,即f(x)在区间,故D正确.故选AD.
8.(6分,多选)(2025·黑龙江齐齐哈尔二模)A,B是函数f(x)=tan的图象与直线y=2的两个交点,则下列结论正确的是 (　 　)
A.|AB|min=
B.f(x)的定义域为
C.f(x)图象的对称中心为,k∈Z
D.f(x)在区间上单调递增
AC
解析:对于A,f(x)=tan,则|AB|min=,故A正确;对于B,由2x-,k∈Z,得x≠,k∈Z,所以f(x)的定义域为,故B错误;对于C,由2x-,k∈Z,解得x=,k∈Z,所以f(x)图象的对称中心为,k∈Z,故C正确;对于D,当x=-,时,得2x-,,从而f(x)无意义,因此区间不可能是f(x)的单调递增区间,故D错误.故选AC.
9.(5分)已知函数f(x)=cos-ktan(x+π)+2(k∈R),若f=-1,则f=__.
解析:设g(x)=cos-ktan(x+π)=sin x-ktan x,因为g(x)的定义域为,关于原点对称,g(-x)=-sin x+ktan x=-g(x),所以函数g(x)是奇函数,f=-3,因此f+2=3+2=5.
5
10.(5分)(2025·辽宁沈阳三模)函数f(x)=cos 2x+6cos的最小值为____.
解析:f(x)=cos 2x+6cos=1-2sin2x+6sin x,令t=sin x∈[-1,1],y= -2t2+6t+1,且该二次函数图象的对称轴为直线t=,故函数y=-2t2+6t+1在 [-1,1]上单调递增,故ymin=-2×(-1)2-6+1=-7,即函数f(x)的最小值为-7.
-7
11.(18分)已知函数f(x)=sin.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
解:因为f(x)=sin
,
所以令-+2kπ,k∈Z,解得-,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)当x∈时,求函数f(x)的最值及相应x的值.
解:因为x∈,所以,
令t=4x+,则函数y=上单调递增,在上单调递减,所以当t=时,ymax=;
当t=时,ymin=.
所以当x=时,函数f(x)取得最大值,最大值为,当x=时,函数f(x)取得最小值,最小值为.
12.(19分)已知函数f(x)=sin ωx·cos ωx-sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间;
解:f(x)=,
因为f(x)的最小正周期为π,所以π=,解得ω=1,
令-+2kπ(k∈Z),解得-+kπ(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心坐标.
解:令2x++kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),所以对称轴方程为x=(k∈Z);
令2x+=kπ(k∈Z),解得x=-(k∈Z),所以对称中心坐标为(k∈Z).
13.(5分)(2025·湖北十堰三模)已知sin5α+5cos α>cos5α+5sin α,α∈[0,2π),则α的取值范围为(　 　)
A.
B.
C.
D.∪(π,2π)
素养提升
C
解析:令f(x)=x5-5x,则f'(x)=5(x4-1),当x∈[-1,1]时,f'(x)≤0,所以函数f(x)在[-1,1]上单调递减,因为sin5α+5cos α>cos5α+5sin α,所以sin5α- 5sin α>cos5α-5cos α,即f(sin α)>f(cos α),因为sin α,cos α∈[-1,1],所以 sin α14.(6分,多选)已知函数f(x)=cos 2x+|sin x|,则(　 　)
A.f(x)在上单调递增
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的值域为
D.若关于x的方程f(x)=a在区间[0,π]上有实根,则所有根之和组成的集合为
BCD
解析:对于A,当x∈时,sin x>0,f(x)=cos 2x+|sin x|=cos 2x+sin x=1-2sin2x+sin x,令t=sin x,t∈,则有t=sin x在上单调递增,g(t)=1-2t2+t=-2,t∈,所以当t∈时,g(t)=-2t2+t+1单调递增,当t∈时,g(t)=-2t2+t+1单调递减,所以f(x)在上不单调,故A错误;对于B,f(π-x)=cos 2(π-x)+|sin(π-x)|=cos(2π-2x)+|sin x|=cos 2x+|sin x|
=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;对于C,当t=sin x≥0时,由A有g(t)=1-2t2+t=,t∈[0,1],所以g(t)max=g,g(t)min=g(1)=0,当t=sin x<0时,t∈[-1,0),g(t)=-2t2-t+1=
-2,g(t)max=g,g(t)min=g(-1)=0,所以f(x)的值域为,故C正确;对于D,结合A的分析可得f(x)在上先增后减,由B选项的分析,函数的图象关于直线x=对称,函数草图如下:
当方程f(x)=a在区间[0,π]上有一个实数根时,所有根之和为,当方程f(x)=a在区间[0,π]上有两个实数根时,所有根之和为π,当方程f(x)=a在区间[0,π]上有四个实数根时,所有根之和为2π,所以所有的根之和组成的集合为,故D正确.故选BCD.
本课结束

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