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第四章　三角函数、解三角形
4.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.了解函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T15 全国一卷T19
新课标Ⅱ卷T16
必备知识　回顾
1.函数y=Asin(ωx+φ)
(1)匀速圆周运动的数学模型
如图,点P从P0(t=0)开始,逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω),则点P距离水面的高度H与时间t的函数关系式为____________________.
知识梳理
H=rsin(ωt+φ)+h
(2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象
①用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的简图:
列表.先由ωx+φ=0,,π,,2π分别求出x的值,再由ωx+φ的值求出y的值,列出下表.
ωx+φ __ _____ __ ______ ____
x __ _______ ____________ _____________
___________________
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
0
π
2π
-
描点.在平面直角坐标系中描出各点.
连线.用光滑的曲线连接这些点,得到一个周期内的图象.
成图.利用函数的周期性,通过左、右平移得到定义域内的简图.
②由y=sin x的图象通过图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的方法:
2.三角函数的应用
(1)如果某种变换着的现象具有______,那么就可以考虑借助三角函数来描述.
(2)在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ), x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.描述简谐运动的物理量,大都与这个解析式中的常数有关:
振幅 周期 频率 相位 初相
__ T= f=____ ________ __
周期性
A
ωx+φ
φ
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)将函数y=3sin 2x的图象向左平移
. (　 　)
(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.(　 　)
(3)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为. (　 　)
(4)由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　 　)
基础检测
×
×
√
√
2.(人教A版必修第一册P240习题5.6T1改编)要得到y=3sin的图象,只要把函数y=3sin 2x的图象 (　 　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
C
解析:因为y=3sin,所以只要把函数y=3sin 2x的图象向左平移的图象.故选C.
3.(人教A版必修第一册P240习题5.6T3改编)若将函数f(x)=3sin+1(x∈R)的图象向右平移个单位长度后得到y=g(x)的图象,则函数g(x)(　 　)
A.最大值为3 B.最小正周期为2π
C.为奇函数 D.图象关于y轴对称
解析:依题意可得g(x)=3sin+1= -3cos 2x+1,所以g(x)的最大值为4,最小正周期为π,g(x)为偶函数,图象关于y轴对称.故选D.
D
4.(人教A版必修第一册P241习题5.6T4改编)已知f(x)=Asin(ωx+φ)
的部分图象如图所示,则f(x)=_____________.
3sin
解析:由题图可得A==3,,解得T=,解得ω=3.因为f(x)的图象经过,所以3=3sin,+2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-.故f(x)=3sin.
关键能力　提升
考点1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
【例1】　已知函数f(x)=(x∈R).
(1)填写下表,并在如图所示的平面直角坐标系中用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象;
2x+
x
f(x)
【解】函数f(x)=(x∈R)的最小正周期为=π,作出函数y=f(x)在[0,π]上的图象,列出表格如下:
2x+ π 2π
x 0 π
f(x) 0 - 0
画出图象如图.
(2)将y=f(x)的图象向上平移1个单位长度,横坐标缩短为原来的,再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后,得到g(x)的图象,求g(x)的解析式.
【解】将y=f(x)的图象向上平移1个单位长度得到y=+1的图象, 再将横坐标缩短为原来的+1的图象,
再向右平移
+1的图象, 因此g(x)=+1.
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的
图象常用的两种方法
(1)五点法作图,用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.
(2)图象的变换法,由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
规律总结
【对点训练1】　(1)先将函数f(x)=sin个最小正周期,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则g(x)= (　 　)
A.sin
C.sin
A
解析:函数f(x)=sin,将函数f(x)的图象向右平移个最小正周期,可得到函数y=sin的图象,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,故g(x)=sin.故选A.
(2)为了得到函数y=2cos的图象,只需将函数y=2sin x (　 　)
A.图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
B.图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移个单位长度
C.图象向右平移个单位长度,再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
D.图象向左平移个单位长度,再将所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
A
解析:y=2sin x=2cos,将y=2cos
,纵坐标不变,得到函数y=2cos的图象,再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数y=2cos的图象,故A正确,B错误.或将函数y=2cos个单位长度,得到函数y=2cos的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=2cos的图象,故C,D错误.故选A.
考点2 由图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
【例2】　如图,A,B是直线y=与函数f(x)=cos(ωx+φ)图象的两个交点,若|AB|=,则f(π)= (　 　)
A.
C.
D
【解析】　设A,B,则x2-x1=,由cos(ωx+φ)=+2kπ,k∈Z,ωx2+φ=+2kπ,k∈Z,所以ω(x2-x1)=,即ω,解得ω=4,所以f(x)=cos(4x+φ),由f在f(x)图象的上升区间上得+2kπ,k∈Z,可得φ=-+2kπ,k∈Z,所以f(x)=cos,k∈Z,所以f(x)=-cos,所以f(π)= -cos.故选D.
确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,
ω>0)的步骤和方法
(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T,则ω=.
(3)求φ.常用方法如下:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
规律总结
【对点训练2 】　(1)(一题多解)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为 (　 　)
A.f(x)=2
B.f(x)=2
C.f(x)=2
D.f(x)=2
D
解析:由图象可得,函数f(x)的最大值为2,最小值为-2,故A=2.f(x)图象的两个相邻的对称中心分别为(-2,0),(6,0),所以函数f(x)的最小正周期T=2×[6-(-2)]=16,所以ω=,所以f(x)=2.
方法一(由对称中心定φ)　由点(-2,0)在函数图象上可得f(-2)=
2=0,又点(-2,0)在函数图象的下降区间上,所以φ-=π+2kπ(k∈Z),解得φ=2kπ+(k∈Z).因为|φ|<π,所以令k=-1,得φ=-,所以函数f(x)的解析式为f(x)=2.故选D.
方法二(由最值点定φ)　由函数图象可知,相邻两个对称中心分别为 (-2,0),(6,0),所以这两个对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为(2,-2),代入函数解析式可得f(2)=2,即sin=-1,所以(k∈Z),解得φ=2kπ-(k∈Z).因为|φ|<π,所以令k=0,得φ=-,故函数f(x)的解析式为f(x)=2.故选D.
(2)(2026·北京海淀区一模)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示.若A,B,C,D四点在同一个圆上,则ω= (　 　)
A.1 B.
C.π D.
D
解析:连接BC交x轴于点E,如图,
由于A,B,C,D四点在同一个圆上,且A,D和B,C均关于点E对称,故E为圆心,故|AE|=|BE|,|AE|=,
|BE|=,故,解得ω=.故选D.
考点3 三角函数图象、性质的综合应用
命题角度1　图象与性质的综合应用
【例3】　(多选)已知函数f(x)=sin+b(0<ω<1)的图象关于点中心对称,将曲线y=f(x)上所有点的横坐标缩短至原来的(纵坐标不变),再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则 (　 　)
A.f(x)=sin+1
B.g(x)=sin
C.函数g(x)的图象关于直线x=-对称
D.函数g(x)在区间上单调递增
AD
【解析】　对于A,由函数f(x)=sin中心对称,可得到b=1,代入对称点坐标得f=0,解得=kπ,k∈Z,∴ω=-,k∈Z,又0<ω<1,∴ω=,因此f(x)=sin+1,故A正确;对于B,将f(x)图象上所有点的横坐标缩短至原来的,纵坐标不变得到y=sin+1的图象,再向下平移1个单位长度,得到g(x)=sin的图象,故B错误;对于C,g(x)=sin
+kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z,不存在整数k使x=
-,故C错误;对于D,g(x)的导数为g'(x)=cos,当x∈时,x+,此时cos>0,故g(x)在该区间上单调递增,故D正确.故选AD.
命题角度2　三角函数的零点问题
【例4】　已知关于x的方程2sin2x-上有两个不同的实数根,则实数m的取值范围是________.
【解析】　方程2sin2x-,x∈=t,则t∈,所以题目条件可转化为=sin t,t∈
和y=sin t,t∈的图象有两个交点,如图所示,观察图象知,,故实数m的取值范围是(-2,-1).
(-2,-1)
1.研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想研究其单调性、图象的对称性和最值等.
2.与三角函数相关的方程根的问题(零点问题)等常通过函数与方程思想化为图象交点问题,再借助图象分析.
规律总结
【对点训练3】　(1)(多选)(2026·山西临汾一模)如图是函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象,下列结论正确的是 (　 　)
A.函数f(x)的最小正周期是π
B.点是函数f(x)图象的一个对称中心
C.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
D.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得图象对应的函数是偶函数
AB
解析:对于A,由题图可得,所以T=π,则T==π,解得ω=2,即函数f(x)的最小正周期是π,故A正确;对于B,因为f=2,所以+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin,又f=2sin π=0,所以点是函数f(x)图象的一个对称中心,故B正确;对于C,因为f,所以直线x=不是函数f(x)图象的一条对称轴,故C错误;对于D,将函数f(x)的图象向右平移=2sin的图象,显然y=2sin为非奇非偶函数,故D错误.故选AB.
(2)(多选)已知函数f(x)=sin(2x+φ)上有最大值,则(　 　)
A.φ的取值范围为
B.f(x)在区间上单调递减
C.f(x)在区间(0,φ)上无零点
D.存在两个φ,使得φ-f(φ)=1
AB
解析:对于A,若,则对x∈有f(x)=sin(2x+φ)≤1,而0<,且f=1,故f(x)在上有最大值,若f(x)在上有最大值,设最大值在x=x0处取到,则x=x0是f(x)的极大值点,故2x0+φ=+2kπ(k∈Z),而x0∈,故φ<2x0+φ<2φ,从而φ<+2kπ<2φ,所以+2kπ,由0<φ<(k∈Z),+2kπ>φ>0(k∈Z),故,+2k>0(k∈Z),从而-(k∈Z),得k=0,所以由+2kπ(k∈Z),得,综上,φ的
取值范围是,故A正确;对于B,因为当x∈时,有2x+φ>2·,2x+φ<2·φ+φ=3φ<3,故2x+φ∈,所以f(x)在区间上单调递减,故B正确;对于C,当φ=时,f(x)=sin,而f(x)在,故C错误;对于D,设h(x)=x-sin 3x,则对有h'(x)=1-3cos 3x>1>0,从而h(x)在上单调递增,这意味着方程x-sin 3x=1至多有一个解,由于φ-f(φ)=φ-sin 3φ,故至多存在一个φ使得φ-f(φ)=1,故D错误.故选AB.
【例】　(多选)已知函数f(x)=λsin(λ>0,0<φ<π)的部分图象如图1所示,A,B分别为图象的最高点和最低点,过点A作x轴的垂线,交x轴于A',点C为图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角,如图2所示,此时|AB|=,则下列四个结论正确的有(　 )
A.λ=
B.φ=
C.图2中,=5
D.图2中,S是△A'BC及其内部的点构成的集合,设集合T={Q∈S||AQ|≤2},则T表示的区域的面积大于
AC
【解析】　对于A,如图1,∵f(x)的最小正周期为=4,|AA'|=λ,∴|A'B|=
,如图2,|AB|=,解得λ=,故A正确;对于B,f(x)=,∴f(0)=,∴sin φ=,而0<φ<π,∴φ=,又f(x)的图象在y轴右侧到达最低点前是下降的,∴φ=,故B错误;对于C,f(x)=,则在图2中,以O为原点,,的方向分别为y'轴、z'轴的正方向建立空间直角坐标系,则A,B,C,∴=(,2,-),=(0,1,-),则0+2×1+(-)×(-)=5,故C正确;
对于D,∵=(0,1,-),∴||==2,则T表示的区域即为扇形CA'N(点N为以A'为圆心,AC为半径的圆与A'B的交点),在图1中,作BB'⊥x轴,则∠B'A'B<,∵r=|CA'|=1,∴S扇形CA'N=,故D错误.故选AC.
本题巧妙地将三角函数图象通过折叠变成立体图形,结合空间直角坐标系,在考查由三角函数图象求解析式的同时,还考查了空间想象能力,D选项还借助几何图形,利用几何方法解决问题,体现新高考进行知识融合创新的趋势.
创新解读
高考真题 教材典题
(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为 (　 　) A.3　　　　B.4　　　C.6　　　D.8 (人教A版必修第一册P237例1)画出函数y=2sin的简图.
考教衔接
C
解析:因为函数y=2sin
,所以函数y=2sin 在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象,所以作出函数y=2sin与y=sin x在[0,2π]上的图象如图所示,由图可知,这两个图象共有6个交点.故选C.
课时作业30
1.(5分)把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin x的图象,则f(x)=(　 　)
A.sin
C.sin
解析:将y=sin x图象上所有点向右平移个单位长度,得函数y=sin的图象,再把函数y=sin,纵坐标不变,得y=sin的图象,即f(x)=sin.故选C.
基础巩固
C
2.(5分)(2025·河北邢台三模)已知函数f(x)= sin 2x+acos 2x的图象过点(0,),将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,则g(x)的图象的对称轴方程为 (　 　)
A.x=,k∈Z
B.x=,k∈Z
C.x=+kπ,k∈Z
D.x=+kπ,k∈Z
B
解析:因为函数f(x)=sin 2x+acos 2x的图象过点(0,),所以a=,所以f(x)=sin 2x+,将其图象向右平移个单位长度得到g(x)=2sin的图象,令2x++kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z.故选B.
3.(5分)(2025·北京昌平区二模)设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π).已知f(1)=,且当f(x1)f(x2)=1(x1≠x2)时,|x1-x2|的最小值为4,则 (　 　)
A.ω=,φ=,φ=
C.ω=,φ=,φ=
C
解析:因为f(x)=sin(ωx+φ)的值域为[-1,1],f(x1)f(x2)=1(x1≠x2),所以当函数值同时取最大值或最小值时,满足f(x1)f(x2)=1(x1≠x2).因为|x1-x2|的最小值为4,所以函数的周期T==4,所以ω=.因为f(1)=,所以f(1)=sin.又0<φ<π,所以,所以φ=.故选C.
4.(5分)(2025·陕西西安二模)已知ω>0,函数f(x)=cos-3的最小正周期为T,若A.-4 B.
C.-2 D.
A
解析:由5. (5分)(2025·山西临汾二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,f(0)=2,则f= (　 　)
A.0 B.-2
C.1 D.2
B
解析:根据f(0)=2可得sin φ=1,故φ=+2kπ,k∈Z,故f(x)=2sin=2cos ωx,令f(x)=2cos ωx=,故ωx1=+2kπ,k∈Z,结合图象可知ωxA=-+2π,ωxB=+2π,因此|AB|=xB-xA=,故ω=2,因此f(x)=2cos 2x,故f=2cos π=-2.故选B.
6.(5分)已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1(ω>0)的最小正周期为π,则下列结论正确的是 (　 　)
A.ω=2
B.函数f(x)在上单调递减
C.直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴
D.点是函数y=f(x)图象的一个对称中心
D
解析:f(x)=2cos2ωx+
.对于A,因为ω>0,所以由=π ω=1,故A错误;对于B,由上可知f(x)=2sin,当x∈时,2x+,因此函数f(x)在上单调递增,故B错误;对于C,因为f=1≠2,所以直线x=不是函数y=f(x)图象的一条对称轴,故C错误;对于D,因为f=0,所以点是函数y=f(x)图象的一个对称中心,故D正确.故选D.
7. (6分,多选)(2025·广东汕尾三模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)
的部分图象如图所示,则( 　)
A.ω=2
B.φ=
C.y=f是奇函数
D.当x∈时,f(x)的图象与x轴有2个交点
ABD
解析:对于A,由图象可得,故T=π,故ω=2,故A正确;对于B,f(x)=sin(2x+φ),而f=1,故2+2kπ,k∈Z,故φ=+2kπ,k∈Z,而|φ|<,故φ=,故B正确;对于C,因为f=cos 2x,故f是偶函数,故C错误;对于D,f(x)=sin,当x∈[3π,4π]时,6π+,因为y= sin t在上的零点为7π,8π,故f(x)在[3π,4π]上有两个零点,故D正确.故选ABD.
8.(6分,多选)已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)-1的图象与y轴交于点(0,1),其图象的两条相邻对称轴之间的距离为6,且其图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为10,则 (　 　)
A.A=10
B.ω=
C.f(x)图象的对称轴方程为x=-2+6k,k∈Z
D.f(x)在[-5,2]上的值域为[-1,5]
BCD
解析:对于B,f(x)=Asin2(ωx+φ)-1=-cos(2ωx+2φ)+-1,因为f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为6,所以=12,得ω=,故B正确;对于A,又其图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为10, 所以=10,得A=8,故A错误;对于C,由f(0)=-4cos 2φ+3=1,得cos 2φ=,因为0<φ<,所以φ=,则f(x)=-4cos+3,令=kπ,k∈Z,得x=-2+6k,k∈Z,则f(x)图象的对称轴方程为x=-2+6k,k∈Z,故C正确;对于D,由x∈[-5,2],得,cos,则f(x)∈[-1,5],故D正确.故选BCD.
9.(5分)(2025·北京昌平区二模)已知将函数f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度后,所得函数图象关于原点对称,则常数φ的一个取值为______________.
解析:将函数f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移的图象,又y=cos的图象关于原点对称,所以φ-+kπ, k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,当k=-1时,φ=.
(答案不唯一)
10.(5分)已知函数f(x)=sin,若函数g(x)=f(x)-a(a∈R)在x∈上恰有三个零点x1,x2,x3(x1解析:因为当x∈时,2x+,且函数g(x)=f(x)-a(a∈R)在x∈上恰有三个零点x1,x2,x3(x1π
11.(15分)已知函数f(x)=sin.
(1)请用“五点法”在如图所示的平面直角坐标系中画出函数在一个周期上的图象(先在所给的表格中填上所需的数字,再画图);
x
2x-
f(x)
解:分别令2x-=0,,π,,2π,可得x=,,,,,列表如下:
x
2x- 0 π 2π
f(x) 0 1 0 -1 0
描点、连线如图,
(2)求f(x)在区间上的值域.
解:因为x∈,
所以2x-,
所以sin,
所以f(x)的值域为.
12. (16分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象,如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
解:由题图得, ∴T=π,∴ω==2.
由f=0,得Asin=0,
∴π+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ-π,k∈Z.
又|φ|<, ∴当k=1时,φ=.
又由f(0)=,得Asin φ=,A=2,故f(x)=2sin.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的单调递增区间.
解:将f(x)=2sin个单位长度,
得到y=2sin的图象,
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到g(x)=2sin,k∈Z,得,k∈Z,当k=0时,-;当k=1时,,
∵x∈,∴函数g(x)在区间, .
13.(6分,多选)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且其图象过点(0,),则 (　 　)
A.f(x)在上单调递增
B.f(x)图象的一条对称轴为直线x=
C.f(|x|)的最小正周期为
D.把函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x)=
素养提升
BD
解析:对于A,f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=,因为f(x)的最小正周期为π,ω>0,所以ω==2,即f(x)=,因为函数f(x)的图象过点(0,),|φ|≤,所以f(0)=,则φ++2kπ,k∈Z,当k=0时,φ=,即f(x)=cos 2x,令2x∈(2kπ,π+2kπ),k∈Z,则x∈,k∈Z,当k=0时,f(x)在上单调递减,故A错误;对于B,令2x=kπ,k∈Z,则x=,k∈Z,当k=1时,f(x)图象的一条对称轴为直线x=,故B正确;对于C,因为f(x)=cos 2x为偶函数,
所以f(|x|)=cos 2x,则f(|x|)的最小正周期为π,故C错误;对于D,把函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)=的图象,故D正确.故选BD.
14.(5分)已知f(x)=sin,若af
恒成立,则a的取值范围是_________.
解析:f(x)=sin
,则f
sin x,f sin2x,
[5,+∞)
则原不等式转化为2sin2x+asin x-3≥0对任意的x∈恒成立,令t= sin x,t∈,则不等式转化为a≥-2t+恒成立,又函数y=-2t+上单调递减,所以当t=时,=5,故a≥5,所以a的取值范围是[5,+∞).
15.(6分)已知函数y=f(x),任取t∈R,定义集合At={y|y=f(x),点P(t,f(t)),Q(x,f(x))满足|PQ|≤}.设Mt,mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值,记h(t)=Mt-mt,试解答以下问题:
(1)若函数f(x)=x2,则h(0)=__;
解析:因为函数f(x)=x2,当t=0时,P(0,0),Q(x,x2)且
,即x2+x4≤2,令x2=n,则n2+n≤2,解得0≤n≤1,所以Mt=1,mt=0,所以h(0)=1-0=1.
创新训练(知识交汇）
1
(2)若函数f(x)=sinx,则h(t)的最小正周期为__.
解析:y=f(x)的图象如图所示,若函数f(x)=sinx,此时,函数的最小正周期为=4,点P,Q,当点P在点A时,点Q在曲线OAB上,Mt=1,mt=0,h(t)=Mt-mt=1;当点P在曲线上从A接近B时,h(t)逐渐增大,当点P在点B时,Mt=1,mt=-1,h(t)=Mt-mt=2;当点P在曲线上从B接近C时,h(t)逐渐减小,当点P在点C时,Mt=0,mt=-1,h(t)=Mt-mt=1;
2
当点P在曲线上从C接近D时,h(t)逐渐增大,当点P在点D时,Mt=1,mt= -1,h(t)=Mt-mt=2;当点P在曲线上从D接近E时,h(t)逐渐减小,当点P在点E时,Mt=1,mt=0,h(t)=Mt-mt=1.以此类推,发现h(t)的最小正周期为2.
本课结束

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