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(共57张PPT)
第四章　三角函数、解三角形
4.6　正弦定理、余弦定理
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.理解三角形的面积公式并能应用. 3.能用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷 T17 新课标Ⅰ卷 T15 全国一卷T11
新课标Ⅱ卷 T17 新课标Ⅱ卷 T15 全国二卷T5
必备知识　回顾
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C的对边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
知识梳理
项目 正弦定理 余弦定理
内容 =2R a2=_______________________;
b2=_______________________;
c2=_______________________
变形 (1)a=2Rsin A, b=______________, c=______________; (2)sin A=, sin B=, sin C=; (3)a∶b∶c=_____________________ cos A=;
cos B=;
cos C=
b2+c2-2bccos A
c2+a2-2cacos B
a2+b2-2abcos C
2Rsin B
2Rsin C
sin A∶sin B∶sin C
2.三角形解的判断
项目 A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a=bsin A bsin A< ab
解的 个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S=aha(ha表示边a上的高).
(2)S=______________.
(3)S=____________(r为三角形的内切圆半径).
bcsin A
r(a+b+c)
在△ABC中,常有以下结论:
(1)A+B+C=π.
(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(3)a>b A>B sin A>sin B,cos A(4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C;sin;cos.
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.
(6)三角形的面积S=.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的余弦值之比. (　 　)
(2)在△ABC中,若sin A>sin B,则a>b. (　 　)
(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.(　 　)
(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形.(　 　)
基础检测
×
√
×
×
2.(人教A版必修第二册P48练习T2(2)改编)在△ABC中,已知b=2,
A=45°,C=75°,则边c=.
解析:B=180°-45°-75°=60°,由正弦定理,得,得c=.
3.(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中,已知a=7,b=5,c=3,则A=________.
解析:因为cos A=,所以A=120°.
120°
4.(人教A版必修第二册P53习题6.4T10改编)在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,则△ABC的面积等于_____.
解析:因为cos A=>0,所以A为锐角,所以A=,sin A=,所以△ABC的面积为.
关键能力　提升
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形
【例1】　(1)(2025·全国二卷)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A=(　 　)
A. 45° B. 60°
C. 120° D. 135°
【解析】　由题意得cos A==
,又0°A
(2)(多选)(2025·江苏苏州三模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b>c,cos B=,a=b,则 (　 　)
A.A=B B.A=2B
C.b=c D.b=2c
BD
【解析】　对于A,B,因为cos B=,B是三角形内角,所以sin B>0,且 sin B=b,及正弦定理可得sin A=,又因为sin 2B=2sin B·cos B
=2,所以sin A=sin 2B.所以A=2B或A+2B=π.因为b>c,所以B>C,若A+2B=π,又A+B+C=π,则B=C,这与B>C矛盾,所以A=2B,故B正确,A错误.对于C,D,由余弦定理可得b2=,即b2=bc,即bc+c2=0,得b2-3bc+2c2=0,则b=c或b=2c.因为b>c,所以b=2c,故D正确,C错误.故选BD.
应用正、余弦定理解题的技巧
(1)求边:利用正弦定理变形公式a=等或余弦定理a2=b2+c2-2bccos A等求解.
(2)求角:利用正弦定理变形公式sin A=
等求解.
(3)利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
规律总结
注意:①在实际解题中,往往需要根据设问选择先用正弦定理还是余弦定理.②因为解三角形是求三角形内角与边,所以在利用正、余弦定理解三角形遇到半角或倍角时,通常需要利用三角恒等变换化为一倍角.
【对点训练1】　(2025·浙江温州三模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos C(acos B+bcos A)=c.
(1)求角C的大小;
解:由cos C(acos B+bcos A)=c及正弦定理得cos C(sin Acos B+sin B cos A)=sin C,则cos Csin(A+B)=sin C,
则cos Csin C=sin C.
因为sin C>0,所以cos C=,C∈(0,π),所以C=.
(2)点D在边BC上,且CD=2,BD=AD=1,求△ABC的周长.
解:在△ADC中,,解得b=,
在△ABC中,c2=b2+9-2b×3=12-9=3,所以c=,所以△ABC的周长=.
考点2 判断三角形的形状
【例2】　(一题多解)在△ABC中,sin A=,则△ABC为(　 　)
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形
A
【解析】　方法一　∵sin A=,A+B+C=π,∴sin Acos B-sin Acos C
=sin(A+B)-sin(A+C),∴sin Acos B-sin Acos C=sin Acos B+cos Asin B-sin A
cos C-cos Asin C,∴cos A(sin B-sin C)=0,∴cos A=0或sin B-sin C=0,又由sin A=可知,sin C-sin B≠0,∴cos A=0,∴A=,∴△ABC为直角三角形.故选A.
方法二　记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,由正弦定理、余弦定理的推论及题设条件可得a=,且c-b≠0,化简得(b-c)(b2+c2-a2)=0,∴b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2,∴△ABC为直角三角形.故选A.
判断三角形形状的两种常用途径
规律总结
注意:①“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系;“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系.②不能随意约掉公因式,要移项、提取公因式,否则会有遗漏一种形状的可能.
【对点训练2】　(多选)(人教B版必修第四册P20复习题B组T1改编)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的有 (　 　)
A.若A=30°,b=4,a=5,则△ABC有两解
B.若0C.若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC一定是等边三角形
D.若a-b=c·cos B-c·cos A,则△ABC是等腰三角形或直角三角形
BCD
解析:对于A,由正弦定理,得,得sin B=,因为b<1,则tan A>0且tan B>0,所以A,B均为锐角,tan(A+B)=>0,所以A+B为锐角,C为钝角,则△ABC一定是钝角三角形,故B正确;对于C,若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,则A-B=B-C=C-A=0,所以A=B=C,则△ABC一定是等边三角形,故C正确;对于D,若a-b=c·cos B-c·cos A,则由正弦定理得sin A-sin B=sin C·cos B-sin C
· cos A,又A+B+C=π,所以sin(B+C)-sin(A+C)=sin C·cos B-sin Ccos A,整理得(sin B-sin A)·cos C=0,所以sin B-sin A=0或cos C=0,即B=A或C=,故△ABC是等腰三角形或直角三角形,故D正确.故选BCD.
考点3 三角形的面积问题
【例3】　(2025·山东潍坊二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)·cos B=bcos A.
(1)求角B的大小;
【解】因为(2c-a)cos B=bcos A,
所以由正弦定理得(2sin C-sin A)·cos B=sin Bcos A,
所以2sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B).
因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.
所以2sin Ccos B=sin C. 因为sin C>0,所以cos B=.
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)若△ABC外接圆的半径为,且2c-a=2,求△ABC的面积.
【解】因为△ABC外接圆的半径为,
所以由正弦定理得,
由(1)知B=,即,所以b=2,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,所以a2+c2-ac=4,
将a=2c-2代入上式,得c2-2c=0.
因为c>0,所以c=2,则a=2,所以S△ABC=.
三角形面积问题的常见类型
(1)求三角形面积:一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等,求出角与边,再求面积.
(2)已知三角形面积解三角形:常选用已知邻边求出其夹角,或利用已知角求出角的两边间的关系.
(3)已知与三角形面积有关的关系式解三角形:常选用关系式中的角作为面积公式中的角,化为三角形的边角关系,再解三角形.
规律总结
【对点训练3】　(2025·山东济宁二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a(2-cos B)=b(1+cos A).
(1)求证:b+c=2a;
证明:因为a(2-cos B)=b(1+cos A),所以由正弦定理得sin A(2-cos B)= sin B(1+cos A),即2sin A-sin Acos B=sin B+sin Bcos A,
所以2sin A=sin B+sin Acos B+cos Asin B,所以2sin A=sin B+sin(A+B),
所以2sin A=sin B+sin C,由正弦定理得2a=b+c.
(2)若△ABC的面积为bc,求证:△ABC为等边三角形.
证明:因为bc,
所以sin A=.
因为2a=b+c,所以A为锐角,所以A=.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,
将a=,代入上式化简得b=c,所以a=b=c,所以△ABC为等边三角形.
任意三角形中的射影定理
设△ABC的三边是a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有a=bcos C+
ccos B;b=ccos A+acos C;c=acos B+bcos A.
注:以“a=bcos C+ccos B”为例,b,c在a上的射影分别为bcos C,ccos B,故名为射影定理.
证明:如图,在△ABC中,AD⊥BC,则bcos C=CD,ccos B=BD,
故bcos C+ccos B=CD+BD=BC=a,即a=bcos C+ccos B,
同理可证b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A.
教材拓展
【典例】　(1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=bcos C+
csin B,且△ABC的面积为1+,则b的最小值为 (　 　)
A.2　　　 B.3　　　
C.
【解析】　由射影定理a=bcos C+ccos B和条件a=bcos C+csin B,得sin B=
cos B,又B∈(0,π),所以B=,又S△ABC=1+,所以,即ac=4+2ac=
4,当且仅当a=c时取等号,所以b的最小值为2.故选A.
A
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=bcos C,且c=6,A=,则△ABC的面积为 (　 　)
A.2
C.4
【解析】　由a=bcos C及射影定理a=bcos C+ccos B,得ccos B=0,则cos B=
0,因为B∈(0,π),所以B=,故△ABC为直角三角形.又c=6,A=,所以a=6tan,所以S△ABC=.故选D.
D
高考真题 教材典题
(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=. (1)求△ABC的面积; (2)若sin Asin C=,求b. (人教A版必修第二册P54习题6.4T22)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若a=2,且△ABC的面积为,求b,c.
考教衔接
高考真题 教材典题
解:(1)由S1-S2+S3=,得(a2-b2+c2)=,即a2-b2+c2=2,又a2-b2+c2=2accos B ,所以accos B=1.
由sin B=,得cos B=(舍去),
所以ac=,
则△ABC的面积S=.
(2)由sin Asin C=,ac=及正弦定理知
,即b2=,得b=.
课时作业32
1.(5分)(2025·安徽合肥三模)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=,c=7,则cos(A+B)= (　 　)
A.-
C.
解析:依题意,cos(A+B)=-cos C=-.故选C.
基础巩固
C
2.(5分)(2025·河南郑州三模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=30°,a=,b=2,则角C为 (　 　)
A.45° B.105°
C.45°或135° D.15°或 105°
解析:由正弦定理得,即,则sin B=,故B=45°或B=135°.当B=45°时,C=180°-45°-30°=105°;当B=135°时,C=180°-135°-30°=15°.故选D.
D
3.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bc=3a2,且b+c=a,则sin A= (　 　)
A.
C.
解析:由bc=3a2,b+c=a(注意:已知三边关系,用余弦定理可求角的三角函数值),得cos A==,又A为△ABC的内角,所以sin A>0,所以sin A=.故选B.
B
4.(5分)(2025·辽宁辽阳一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=5,b=7,c=4,则△ABC的面积为 (　 　)
A.4
C.4 D.8
解析:在△ABC中,因为a=5,b=7,c=4,所以cos B=,所以sin B=,因此,△ABC的面积为S△ABC=.故选A.
A
5.(5分)(人教A版必修第二册P53习题6.4T10,T18改编)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=c,B=,△ABC的面积为,则b=(　 　)
A. B.2
C. D.3
解析:由余弦定理得b2=a2+c2-2ac,因为a=c,所以b2=4c2-3c2,得b=c.又S△ABC=,所以c=,所以b=c=.故选C.
C
6.(5分)在△ABC中, 记角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若acos A-bcos B=
sin(A+B+C),则△ABC是 (　 　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
解析:因为acos A-bcos B=sin(A+B+C)=sin π=0,所以acos A=bcos B,所以sin A·cos A=sin B·cos B,所以sin 2A=sin 2B.因为A,B∈(0,π),所以sin A>
0,sin B>0,所以cos A,cos B符号相同,若cos A≤0,则cos B≤0,而这会导致A+B≥π,这与三角形内角和矛盾,从而只能0D
7.(6分,多选)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=4,锐角C满足sin C=,则 (　 　)
A.△ABC的面积为3
B.cos C=
C.c=
D.cos B=
BC
解析:对于A,在△ABC中,因为a=3,b=4,且sin C=,由三角形的面积公式,可得S△ABC=,故A错误;对于B,由C为锐角,且sin C=,可得cos C=,故B正确;对于C,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=9+16-2×3×4=19,解得c=,故C正确;对于D,由余弦定理的推论得cos B=,故D错误.故选BC.
8.(6分,多选)根据下列条件解三角形,其中恰有一解的是(　 　)
A.b=8,c=4,C=
B.b=5,c=7,C=
C.a=10,b=5,B=
D.a=20,b=15,B=
BC
解析:对于A,由正弦定理得,解得sin B=1,根据B∈(0,π),可得B=,显然不满足内角和为180°,故A错误;对于B,由正弦定理得,解得sin B=,根据B∈(0,π),且B9.(5分)(一题多解)(人教A版必修第二册P53习题6.4T16改编)在△ABC中,
角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=bcos C+csin B,则B= .
解析:方法一(所给等式每一项都有齐次的边,可考虑边化角)　因为a= bcos C+csin B,所以sin A=sin Bcos C+sin Csin B(注意到等号右侧有sin Bcos C,故拆左侧的sin A,可进一步化简).又sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以sin Bcos C+cos Bsin C= sin Bcos C+sin C·sin B,所以cos Bsin C=sin Csin B.因为00,所以cos B=sin B,故tan B=.又0方法二(右侧有bcos C,若将左侧的a用射影定理代换掉,可抵消一部分)　由射影定理a=bcos C+ccos B及题意,可得bcos C+ccos B=bcos C+csin B,则ccos B=csin B,故tan B=,又010.(5分)(2025·广东广州三模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
若=2,b+c=2acos B+2acos C,则△ABC的面积为.
解析:由=2,得=2,解得bc=1,同理,由b+c=2acos B+2acos C,得b+c=2a·,即b+c=,由bc=1,得b+c=a2(b+c)+c+b-(b+c)(b2-bc+c2),化简可得b2+c2-a2=1,则 cos A=,则sin A=,所以△ABC的面积S=.
11.(19分)(2025·山西晋城二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A+B)=2sin2A-1.
(1)求证:C=2A;
解:证明:由三角形内角和A+B+C=π及二倍角的余弦公式cos 2A=1-2sin2A,
可得cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
即-cos C=-cos 2A,则cos C=cos 2A.
又A,C∈(0,π),2A∈(0,2π),所以C=2A,或C+2A=2π,
因为A+C<π,所以C+2A<2π,故C=2A.
(2)若a=2,B=135°,求c;
解:由(1)知C=2A,又B=135°,所以A=15°,C=30°,
由正弦定理,得,
所以c==4cos A=4cos(45°-30°)=.
(3)若a=,b=2,求c.
解:由正弦定理,得,
则c=cos A,所以cos A=,
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得3=12+c2-2×2,解得c=3.
12.(19分)(2025·山东济南三模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos2B+bsin Asin B=2b.
(1)求;
解:由题意及正弦定理得sin Acos2B+sin B·sin Asin B=2sin B,
即sin A(cos2B+sin2B)=2sin B,
因为cos2B+sin2B=1,所以sin A=2sin B.由正弦定理,可得,所以.
(2)若∠ABC的平分线BD交AC于点D,cos C=,BD=2,求△ABC的面积.
解:由cos C=,得 5b2-c2=b2 4b2=c2 c=2b.
因为a=2b,所以a=c,△ABC为等腰三角形,等腰三角形三线合一,所以BD⊥AC.
在Rt△BCD中,sin C=,即,解得b=.
因为a=2b,所以S△ABC=2b×bsin C,
将b=,sin C=.
13.(5分)(2025·湖南长沙二模)已知△ABC的面积为6,A=60°,AB=3,角B的平分线交边AC于点D,则的值为 (　 　)
A.
1
素养提升
A
解析:如图,因为△ABC的面积为6,A=60°,AB=3,所以,解得AC=8.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=9+64-2×3×8cos 60°=49,解得BC=7.因为BD平分∠ABC,所以=.故选A.
14.(5分)(2025·广东佛山一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则.
解析:因为,所以sin B·sin Ccos A+2sin Asin Ccos B= 3sin A·sin Bcos C,所以bc,整理得3c2=a2+2b2,故.
本课结束