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(共32张PPT)
第四章　三角函数、解三角形
4.7　正、余弦定理的综合应用
2027高考数学一轮总复习
内容索引
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.会利用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的最值、范围问题. 2.会利用正、余弦定理求解平面多边形、证明等问题. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T17 新课标Ⅰ卷T15

关键能力　提升
考点1 多边形中的解三角形问题
【例1】如图,△ADC是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC于点E,AB=2.
(1)求∠ABE的度数;
【解】　由已知可得AC=AD=CD=BC=,∠DAC=∠ADC=
∠ACD=60°,∠ABC=∠BAC=45°,
所以△BCD是等腰三角形,∠BCD=60°+90°=150°,所以∠DBC=(180°-150°)=15°,所以∠ABE=45°-15°=30°.
(2)求△ABD的面积.
【解】由(1)知△ABD中,∠ABD=30°,∠DAB=60°+45°=105°,
又sin 105°=sin(45°+60°)=sin 45°cos 60°+sin 60°cos 45°=,
所以S△ABD=.
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正、余弦定理求解.
(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.
规律总结
【对点训练1】如图,四边形ABCD的内角B+D=π,AB=3,DA=1,BC=CD,且AC=.
(1)求角B;
解:设BC=CD=x>0,
在△ABC中,由余弦定理得AC2=9+x2-2×3xcos B=7,
即x2+2=6xcos B①,
在△ACD中,由余弦定理得AC2=1+x2-2×1×xcos D=7,
即x2-6=2xcos D②, 因为B+D=π, 所以cos D=cos(π-B)=-cos B,
联立①②可得x=2(负值舍去),cos B=,
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)若点P是线段AB上的一点,PC=,求PA的值.
解:如图,在△PBC中,由正弦定理知,,
所以sin∠BPC==1,
又0<∠BPC<π,
故∠BPC=,
在Rt△PBC中,由勾股定理知,PB==1,则PA=AB-PB=2.
考点2 三角形中的最值、范围问题
【例2】　(2025·湖南益阳三模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,且bcos A-cos B=1.
(1)若C=,求A;
【解】由a=1,可得bcos A-acos B=a,即sin Bcos A-sin Acos B=sin A,
即sin(B-A)=sin A,则B-A=A或(B-A)+A=π(舍),故B=2A,
又C=,A+B+C=π,∴A=.
(2)若△ABC是锐角三角形,求△ABC周长的取值范围.
【解】由正弦定理可得,
∴b=,c=,b+c=
==2cos A+cos 2A+2cos2A=4cos2A+2cos A-1=4, 易知
可得,因此cos A∈,
令cos A=x,则y=4上单调递增,
∴b+c∈(1+,2+),可得周长范围为(2+,3+).
1.三角形中的最值、范围问题的解题策略
(1)定基本量:根据题意画出图形,找出三角形中的边、角,利用正、余弦定理求出相关的边、角,并选择边、角作为基本量,确定基本量的范围.
(2)构建函数:根据正、余弦定理或三角恒等变换,将所求范围的变量表示成函数形式.
(3)求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求最值.
2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题,一定要搞清楚变量的范围,若已知边的范围,求角的范围可以利用余弦定理进行转化.
(2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π,0规律总结
【对点训练2】　(2025·山东德州三模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
2sin B=sin A+cos Atan C.
(1)求C;
解:由2sin B=sin A+cos Atan C,
得2sin Bcos C=sin Acos C+cos Asin C,
即2sin Bcos C=sin(A+C),
又A+B+C=π,
所以sin(A+C)=sin B≠0,
于是cos C=. 又0(2)若2(a+b)=c2,求△ABC的边c的最大值.
解:由(1)知C=,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,
而2(a+b)=c2,则2(a+b)=(a+b)2-3ab,因此(a+b)2-2(a+b)=3ab≤(a+b)2,解得a+b≤8,
当且仅当a=b时取等号,则c=≤4,所以△ABC的边c的最大值为4.
考点3 三角形中的证明问题
【例3】　(2026·北京东城区一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=6,b-c=1,sin C=.
(1)求b的值及△ABC的面积;
【解】因为b-c=1 b=c+1>c,所以C是锐角,
由sin C=,可得cos C=,而c2=a2+b2-2abcos C,所以c2=36+(c+1)2-9(c+1),
可得c=4,则b=5,故S△ABC=.
(2)求证:A=2C.
【解】证明:由(1)易知cos C=,
则cos 2C=2cos2C-1=,
由(1)及余弦定理的推论,得cos A=,
所以cos A=cos 2C,又A,C∈(0,π),A+C<π,所以A=2C.
证明与三角形有关的等式(或不等式)的一般思路
(1)利用正、余弦定理完成边角转化:把已知条件或待证等(不等)式转化为以角为研究对象的三角等(不等)式或以边为研究对象的代数等(不等)式.
(2)充分利用三角形中隐含条件:①A+B+C=π;②A>B sin A>sin B;③|a-b|规律总结
【对点训练3】　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin B+
bcos A=0.
(1)求角A的大小;
解:由asin B+bcos A=0,及正弦定理可得sin Asin B+sin Bcos A=0,
因为B∈(0,π),所以sin B>0,
所以sin A+cos A=0,
即tan A=-.
又因为A∈(0,π),所以A=.
(2)若AD是△ABC的角平分线,求证:.
解:证明:因为AD是△ABC的角平分线,且∠BAC=,所以∠BAD=∠CAD=,所以S△ABC=S△ABD+S△ADC,
可得,可得AB·AC
=AB·AD+AD·AC,
所以,所以,即.
课时作业33
1.(15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2.
(1)求B的大小;
解:在△ABC中,∵2,
∴2,
∴cos B+sin B=0,∴tan B=-.∵B∈(0,π),∴B=.
基础巩固
(2)若(a+c)=2b,求证:a=c.
解:证明:∵B=,∴cos B=-.
由余弦定理得b2=a2+c2+ac①,
∵(a+c)=2b,
∴b=(a+c)②,
将②代入①,得(a2+2ac+c2)=a2+c2+ac,整理得(a-c)2=0,∴a=c.
2.(15分)记△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知(asin A+ bsin B-csin C)= 2asin Bsin C.
(1)求C;
解:由已知及正弦定理,得(a2+b2-c2)=2absin C,所以= sin C,即cos C=sin C,所以tan C=.因为C为三角形的内角,所以C=.
(2)若c=,求a+b的最大值.
解:由(1)知C=,由余弦定理得a2+b2-ab=3,则(a+b)2-3ab=3,即3ab=(a+b)2-3.
因为ab≤,所以(a+b)2-3≤,即(a+b)2≤12,当且仅当a=b=时等号成立,
所以a+b≤2.
3. (15分)如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,∠ADC=120°,AB=CD=2AD,
△ACD的面积为.
(1)求sin∠CAB;
解:设CD=2AD=2x,x>0,
因为△ACD的面积为,∠ADC=120°,所以,解得x=1, 所以AB=CD=2,AD=1.
在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos 120°=1+4-2×1×2=7,所以AC=.
在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=2,所以BC=,
所以sin∠CAB=.
(2)求证:∠CAB=∠CAD.
解:证明:由(1)可得CD=2,AC=,
在△ACD中,由正弦定理得
,所以sin∠CAD=,
且0°<∠CAD<60°.
由(1)可得sin∠CAB=,又0°<∠CAB<90°,
所以∠CAB=∠CAD.
4.(15分)(2025·河南新乡二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2A+sin2C+cos2B+sin(π-A)sin(π+C)=1.
(1)求B;
解:因为sin2A+sin2C+cos2B+sin(π-A)sin(π+C)=1,
所以sin2A+sin2C-sin Asin C=1-cos2B=sin2B.
由正弦定理得a2+c2-b2=ac,所以cos B=.
因为01
素养提升
(2)若a=2,c=3,求△ABC内切圆的半径;
解:由(1)知a2+c2-b2=ac,代入数据得b=,
所以△ABC内切圆的半径r=.
(3)若M为△ABC的垂心,且点M在△ABC内,直线AM与BC交于点D,且BM=4,求AB+MD的最大值.
解:如图,设∠DBM=α,0<α<,则∠BMA=+α,且MD=BMsin α=4sin α.
因为∠ABD=,
所以∠BAD=.
由正弦定理得,所以AB=8sin=8cos α,
所以AB+MD=8cos α+4sin α=4sin(α+φ),其中tan φ=2,故AB+MD的最大值为4.
本课结束

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