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河南郑州市第二高级中学等校2025-2026学年高三下学期考前质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，正数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则( )
A. B. C. D.
6.一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器容器壁厚度忽略不计内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为( )
A. B. C. D.
7.已知直线与曲线和分别交于两个不同的点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知正实数，满足，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 甲、乙、丙、丁个人到个国家进行学术交流，每人只去个国家，每个国家都要有人去，则不同的安排方法有种
B. 若，两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据的相关性比组数据的强
C. 数据，，，，，，，的第百分位数是
D. 若事件，满足，且，则，相互独立
10.已知数列满足，记数列的前项和为，则( )
A. B.
C. D.
11.已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与交于，两点，若以线段为直径的圆与轴交于，两点，则( )
A.
B. 以线段为直径的圆与直线相切
C.
D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的图象在处的切线方程为 ．
13.已知数列满足，当时，为的展开式中的系数，则数列的前项和 ．
14.小明同学抛掷一枚质地不均匀的正方体骰子，并记向上的面的点数为，若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．
求；
若，求的周长的取值范围．
16.本小题分
某影城想了解观众性别与喜欢的电影类型是否有关，随机调查了名观众，得到下表：
喜欢生活片 喜欢战争片
男性观众
女性观众
根据的独立性检验，分析观众性别与喜欢的电影类型是否有关；
从这名观众中随机选择名，在已知其中至少有名女性观众条件下，求这名观众都喜欢生活片的概率．
参考公式：，其中．
临界值表：
17.本小题分
如图，平面平面，四边形为矩形，且，，，，为线段上的动点不含端点．

证明：平面．
设，记二面角的平面角为，用表示的值，并求出当时实数的值．
18.本小题分
已知椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为，上顶点为，为坐标原点．
求的垂心坐标．
设直线的斜率存在且不为零，直线与椭圆交于，两点．
已知点，若，在轴两侧，且满足，试证明直线过定点，并求出该定点的坐标；
若，两点都不与重合，且，求面积的取值范围．
19.本小题分
已知函数，正项数列满足．
求函数的最值与零点；
判断数列的单调性并说明理由；
设数列的前项和为，求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：在中，，则，
所以，
因为，所以，
则，所以，
又因为，所以，因此，即，
因为，所以；
由知，又，
由余弦定理可得，即，
由基本不等式当且仅当时等号成立，则，
所以，即，所以，
又因为在三角形中，，所以，
因此周长．

16.【答案】解：零假设：观众性别与喜欢的电影类型无关．
因为．
因此依据的独立性检验，没有充分证据不成立，即两者无关．
设事件选出的人中至少名女性，事件选出的人都喜欢生活片，
由列联表知，
，因此．

17.【答案】解：平面平面，且平面平面于，
因为四边形为矩形，所以，平面，所以平面，
平面，所以，
因为，，易得，
过向作垂线，交于点，易得且，
则四边形为矩形，，则，，
因为，所以，
因为，平面，所以平面．

由知，两两垂直，以为原点，为轴正方向建立坐标系如图：

易得，且，
则，则，即，，
设点，因为，则有，
解得，即，
易得平面的法向量可以取，
设平面的法向量为，
因，
则
不妨令，则
由图象可得为锐角，
，
则，
因为且，所以且，则，
当时，，解得．

18.【答案】解：由椭圆方程可知：，，，则，
因为，可知的垂心在轴上，可设，
则，，
因为，则，解得，
所以的垂心坐标为．
设直线，，，，
联立方程，消去可得，
则，解得，
可得，，
因为，则，即，
可得，整理可得，
即，整理可得，
且，则，解得，
所以直线过定点，该定点的坐标为；
由题意可知：，则，，
若，则，
即，整理可得，
即，
整理可得，解得或，
若，则直线，过定点，不合题意；
若，则直线，过定点，符合题意；
可得，
且，则面积为，
令，则，
可得，
令，，可知在内单调递减，
则，，则，可得，
所以面积的取值范围为．

19.【答案】解：因为，，
当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
且，当时，，当时，，
所以在处取得最大值，最大值为，无最小值；仅有一个零点．
数列为递减数列，理由如下：
由题意，，
由知在上单调递减，则，即，
令，则，所以，即，
又函数在上是单调递增函数，所以，所以数列为递减数列．
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
所以当时，，即．
所以，故在上单调递增，且，
令，则，即，又，
所以，所以，即，
当时，，又，
所以，
所以．

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