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河南周口市第一高级中学等校2026届高三5月考前自测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，命题，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球，的学生喜欢篮球，的学生既喜欢足球又喜欢篮球若对只喜欢足球和只喜欢篮球的学生用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取的样本中只喜欢足球的学生有人，则抽取的样本中只喜欢篮球的学生有( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.已知点，，，中有个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则( )
A. B.
C. D.
7.某社区使用无人机配送生活物资，配送站的位置为单位：千米，小区的位置为、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为，即无人机每主动飞行千米，会额外叠加的偏移位移，目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和若无人机要从沿直线匀速精准到达，则其主动飞行对应的向量为( )
A. B. C. D.
8.若，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，成等比数列，则下列三个数一定可以构成等比数列的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.已知函数，则( )
A. 是奇函数 B. 在上单调递减
C. 的值域为 D. 的最小正周期为
11.如图，在该九面体中，六边形是边长为的正六边形，，均为正三角形，且平面，平面均垂直于平面，则下列结论正确的是( )
A. 平面 B. 该九面体的体积为
C. 该九面体外接球的表面积为 D. 二面角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.人形机器人半程马拉松于月日开跑，共有多台机器人参赛某人形机器人在加速奔跑时，电机转速逐秒依次构成等差数列，已知第秒转速为，第秒转速为，则第秒转速为 ．
13.若函数有且仅有个零点，则 ．
14.已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，．
求的内角中最大的角的大小；
延长至点，使得，连接，若，，求的面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为等腰梯形，，，，为的中点．
若，证明：平面；
若直线与平面所成的角为，求的长度．
17.本小题分
为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取人，甲社区有人患该疾病，乙社区有人患该疾病，用频率估计概率．
从甲社区随机抽取人，求这个人患该疾病的概率．
从甲、乙两个社区各随机抽取人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望．
若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病从甲社区随机抽取人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的零点个数；
若有个零点，，，证明：．
19.本小题分
已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，的最小值为．
求的方程．
记过点且与相切的直线为，过点作直线的垂线交于另一点，求的最小值．
是否存在定圆，使得以为直径的圆始终与相切？若存在，求圆的方程；若不存在，说明理由．
参考答案
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13.
14.
15.解：因为，
且，
因为，则，
且，则，可得，
即或，且，则或，
可知为直角三角形，所以的内角中最大的角的大小为．
若，则，可设，，，
则，，，
在中，由余弦定理可得，
则，即，
所以的面积为．

16.解：取，的中点分别为，，
因为为等边三角形，四边形为等腰梯形，则，，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，且，则，，
则，，，，，，
若，即，则，，，，，，
可得，，，
设平面的法向量，则
令，则，可得，
因为，则，
且平面，所以平面．
由可知：，平面的法向量为，
若直线与平面所成的角为，
则，
整理可得，解得，
所以．

17.解：用频率估计概率，从甲社区随机抽取人，这个人患该疾病的概率为．
用频率估计概率，从乙社区随机抽取人，这个人患该疾病的概率为，
可知随机变量的可能取值为，，，
则；
；
；
所以的分布列为
的期望为．
设甲社区随机抽取人，该人患该疾病为事件，则，
设该人接种了预防该疾病的疫苗为事件，则，，
因为，
即，解得，
所以从甲社区随机抽取人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率为．

18.解：若，则，，
可得，，
所以曲线在点处的切线方程．
由题意可知：函数的定义域为，且，
对于方程，则，
因为，若，则；若，即，则；
当时，则，即，
可知函数在定义域内单调递增，
且，所以函数有且仅有个零点；
当时，则，可知有个不相等的实数根，，
且，则，
若，则，即；
若或，则，即；
可知函数在，内单调递增，在内单调递减，
则，且，即，
因为，
令，则，
可知在内单调递减，则，可得；
又因为，
所以函数有个零点；
综上所述：当时，函数有且仅有个零点；
当时，函数有个零点．
若有个零点，
由可知：，，
因为，
又因为，则，且，，则，
所以．

19.解：由题意可知：抛物线的焦点为，且直线与抛物线必相交，
设直线：，，，
联立方程，消去可得，
则，，
可得，当且仅当时，等号成立，
由题意可知：，即，所以抛物线的方程为．
由题意可知：，，且直线的斜率不为，直线与抛物线必相交，
设直线，，
联立方程，消去可得，
则，即，
可得直线，
则，
联立方程，消去可得，
则，即，
可得，
令，，则，
因为，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
所以的最小值为．
由可知直线：，，，
则，，
即以为直径的圆的圆心为，半径，
假设存在定圆与圆相切，设圆心为，半径为，
则，即，
若，
整理可得，
则，解得，不合题意；
若，
整理可得，
则，解得，符合题意；
综上所述：存在，圆的方程为．

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