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(共67张PPT)
第六章　数列
6.1　数列的概念
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、公式法). 2.了解数列是一种特殊函数. 2023 2024 2025


必备知识　回顾
1.数列的概念
1
知识梳理
概念 含义
数列 按照__________排列的一列数称为数列
数列 的项 数列中的每一个数叫做这个数列的项,其中第1项也叫做____
通项 公式 如果数列{an}的第n项__与它的序号n之间的________可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式
前n 项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn
确定的顺序
首项
an
对应关系
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数____ 无穷数列 项数____ 项与项 间的大 小关系 递增数列 an+1__an 其中
n∈N*
递减数列 an+1__an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 有限
无限
>
<
3.数列的表示方法
表示方法 定义
列表法 列出表格表示n与an的对应关系
图象法 把点______画在平面直角坐标系中
公 式 法 通项公式 把数列的通项用公式表示
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的________
(n,an)
递推公式
4.an与Sn的关系
数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an=
5.数列的最值
若an最大,则(n≥2);若an最小,则(n≥2).
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)同一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　 　)
(2)1,1,1,1,…不能构成一个数列.(　 　)
(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(　 　)
(4)若数列{an}的前n项和为Sn,则对任意n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(　 　)
基础检测
×
×
×
√
2.(人教A版选择性必修第二册P9习题4.1 T4改编)已知数列{an}满足a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an(n为正整数),则a308=__.
解析：a1=3,a2=6,a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=
-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,即a7=a1,a8=a2,所以{an}是周期为6的周期数列,因为308=6×51+2,所以a308=a2=6.
6
3.(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n-1,则它的通项公式为an= .
解析:由Sn=n2+3n-1,可得当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+3n-1-(n-1)2-3(n-1)+1=2n+2,此时,令n=1,则2n+2=4≠3=a1.综上,可得an=
4.(人教A版选择性必修第二册P9习题4.1 T5改编)按一定规律排列的数
据依次为,,,,…,按此规律排列,则第30个数是.
解析:,,,,…,所以第30个数为.
关键能力　提升
考点1 由an与Sn的关系求通项公式
【例1】　(1)已知数列满足a1+3a2+…+3n-1an=n·3n,则a2 026= __________.
【解析】当n≥2时,a1+3a2+…+3n-2an-1=(n-1)·3n-1,与原式相减得
3n-1an=n·3n-(n-1)·3n-1=(2n+1)·3n-1,则an=2n+1,经检验,当n=1时,
上式也成立,故an=2n+1,所以a2 026=4 053.
4 053
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,2Sn=an+1,则数列{an}的通项公式
为__________________.
【解析】　由2Sn=an+1得,当n≥2时,2Sn-1=an,两式相减得an+1=3an,所以当n≥2时,{an}是公比为3的等比数列,而a2=2a1=2,则an=2×3n-2(n≥2),又a1=1不满足上式,所以an=
an=
1.已知Sn求an的常用方法是利用an=转化为n与an的关系式,再求通项公式.
2.Sn与an关系问题的求解思路
(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.
(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
规律总结
【对点训练1】　(1)设Sn是数列{an}的前n项和,若Sn=2an+n,则a10=(　 　)
A.-1 023 B.-100
C.513 D.2 036
解析:由题意得Sn+1=2an+1+n+1,则Sn+1-Sn=2(an+1-an)+1,所以an+1=2an-1,则an+1-1=2(an-1).当n=1时,由Sn=2an+n得,a1=2a1+1,解得a1=-1,所以a1-1=-2,所以{an-1}是首项为-2,公比为2的等比数列,则an-1=-2n,所以an=1-2n,所以a10=1-210=1-1 024=-1 023.故选A.
A
(2)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}的通项公式为
________________.
解析:当n=1时,a1=S1=1+1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1.经检验,a1=2不满足上式(易错:忽略对n=1的检验),所以an=
an=
考点2 由数列的递推公式求通项公式
命题角度1　累加法
【例2】　(一题多解)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=________.
【解析】　方法一　由题意可得,an+1-an=ln,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=ln
+2=ln n+2.
ln n+2
方法二　由题意知a1=2=2+ln 1,a2=2+ln 2,a3=2+ln 2+ln=2+ln 2+ln 3-
ln 2=2+ln 3,a4=2+ln 3+ln=2+ln 3+ln 4-ln 3=2+ln 4,…,故数列{an}的通项公式为an=ln n+2.
命题角度2　累乘法
【例3】　已知数列{an}满足an+1=an,a1=1,则an=(　 　)
A.
C.
B
【解析】　因为an+1=an,所以,则,,,,…,,累乘可得,所以,又a1=1,所以an=,经检验,当n=1时,an=也成立,所以an=.故选B.
1.满足an+1-an=f(n)的数列,利用累加法即可求数列{an}的通项公式.
2.满足=f(n)的数列,利用累乘法即可求数列{an}的通项公式.
规律总结
【对点训练2】　(1)数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n,则an=(　 　)
A.n2-n+1 B.n2+1
C.(n-1)2+1 D.2n
解析:因为an+1=an+2n,所以an+1-an=2n,因此a2-a1=2,a3-a2=4,a4-a3=6,…,an-an-1=2(n-1),以上各式相加得an-a1=2+4+6+…+2(n-1)=
=n2-n,又a1=1,所以an=n2-n+1,经检验,当n=1时,an=n2-n+1也成立,所以an=n2-n+1.故选A.
A
(2)已知数列{an}满足an+1=(-1)nan,且a1=1,则a18+a19=(　 　)
A.-2　　　 B.0　　　
C.1　　　 D.2
解析:由题意得an≠0,则=(-1)n,∴=(-1)1,=(-1)2,…,=
(-1)17,∴=(-1)1+2+…+17=(-1)153=-1,又a1=1,∴a18=-1,∵=
(-1)18=1,∴a19=-1,∴a18+a19=-2.故选A.
A
考点3 数列的性质
命题角度1　数列的周期性
【例4】　(2026·安徽滁州一模)已知数列{an}的第1项和第2项均为1,以后各项由an+2=an+1+an给出.若数列{an}的各项除以3所得的余数依次组成一个新数列{bn},则b2 025+b2 026=(　 　)
A.1 B.2
C.3 D.4
B
【解析】因为an+2=an+1+an,a1=a2=1,所以数列{an}为1,1,2,3,5, 8, 13, 21,34,55,89,144,233,377,610,987,…,此数列各项除以3所得的余数依次组成的数列{bn}为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0, …,则{bn}是以8为周期的周期数列,所以b2 025+b2 026=b1+b2=1+1=2.故选B.
命题角度2　数列的单调性
【例5】　(2025·贵州黔南州三模)数列{cn}满足cn=若数列{cn}是递增数列,则实数a的取值范围为 (　 　)
A.[2,3) B.(1,3)
C.(1,2) D.(2,3)
D
【解析】　因为cn=
{cn}是递增数列,所以解得2命题角度3　数列的最值
【例6】　(一题多解)已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的最大项的值为 (　 　)
A.
【解析】　方法一　an+1-an=.当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>8时,an+1-an<0,即an+1a10>a11>…,所以数列{an}有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9=.故选D.
D
方法二　设数列{an}的第n项最大,则(n≥2),即
(n≥2),解得8≤n≤9,又n∈N*,所以n=8或n=9,故数列{an}有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9=.故选D.
1.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
2.解决数列单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法,根据an+1-an的符号进行判断.
(2)用作商比较法,根据(an>0或an<0)与“1”的大小关系进行判断.
(3)结合相应函数的图象直观判断.
规律总结
3.求数列的最大项或最小项的常用方法
(1)函数法,利用函数的单调性求最值.
(2)利用(n≥2)确定最大项,利用(n≥2)确定最小项.
【对点训练3】(1)任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).已知数列{an}满足a1=1,an+1=则S2 026= (　 　)
A.4 719 B.4 723
C.4 725 D.4 726
D
解析:由题意可得a1=1,a2=4,a3=2,a4=1,a5=4,a6=2,…,可知数列{an}是以3为周期的周期数列,因为2 026=3×675+1,所以S2 026=675×(1+4+2)+1=
4 726.故选D.
(2)设数列{an}的通项公式为an=n2-(k-5)n+1,若数列{an}是递增数列,则实数k的取值范围为 (　 　)
A.(4,+∞)　　　　　 B.(-∞,4)
C.(8,+∞) D.(-∞,8)
解析:由数列{an}是递增数列可得,对任意n∈N*都有an+1>an,即(n+1)2-(k-5)(n+1)+1>n2-(k-5)n+1,即k<2n+6对任意n∈N*都成立,所以k<(2n+6)min=2×1+6=8.故选D.
D
(3)(2025·安徽马鞍山一模)已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则Sn取得最小值时n的值为 (　 　)
A.6 B.7
C.8 D.9
解析:令an=≥0,解得n≤3或n>.当n≤3时,an≥0,故当n=1,2时,Sn递增,且S3=S2,当4≤n≤8时,an<0,故当n=4,5,6,7,8时,Sn递减;当n≥9时,an>0,Sn递增.又a1=,a2=,a3=0,a4=-,…,a8=-5,故S8C
　　　　　　 斐波那契数列
1.链接教材:(人教A版选择性必修第二册P10阅读与思考)斐波那契数列的定义:若一个数列,前两项等于1,而从第3项起,每一项是之前两项之和,则称该数列为斐波那契数列,即1,1,2,3,5,8,13,….
2.斐波那契数列的递推公式
3.斐波那契数列的通项公式Fn=.
教材深研
4.斐波那契数列的性质
(1)=FnFn+1.
(2)F1+F3+F5+…+F2n-1=F2n.
(3)F2+F4+F6+…+F2n=F2n+1-1.
(4)F1+F2+F3+F4+…+Fn=Fn+2-1.
【典例】　(多选)若数列{an}满足a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3),则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成,从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧,得到的曲线就是“黄金螺旋线”.记以an为边长的正方形中扇形的面积为bn,数列{bn}的前n项和为Sn.下列结论正确的是(　 　)
A.a9=34
B.a2 026是奇数
C.a2+a4+a6+…+a2 024=a2 025
D.
ABD
【解析】　对于A,数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,所以a9=34,故A正确;对于B,由斐波那契数列得每三个数中,前两个为奇数,后一个为偶数,且2 026=3×675+1,所以a2 026是奇数,故B正确;对于C,由an-1=an-
an-2(n≥3),得a2=a3-a1,a4=a5-a3,…,a2 024=a2 025-a2 023,累加得a2+a4+…+
a2 024=a2 025-a1,故C错误;对于D,由an=an-1+an-2(n≥3),得=a2(a1+a2)+=a3(a2+a3)+…+=…=
a2 025a2 026,所以S2 025=()=a2 025a2 026,所以,故D正确.故选ABD.
高考真题 教材典题
(2022·北京卷改编)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足an·Sn=9(n=1,2,…),则{an}为递__数列.(填 “增”或“减”) (人教A版选择性必修第二册P9习题4.1 T7)已知函数f(x)=(x∈R),设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N*).
(1)求证an≥.
(2){an}是递增数列还是递减数列 为什么
考教衔接
解析:当n≥2时,由Sn=,故an=Sn-Sn-1=>0,可得an减
课时作业41
1.(5分)已知{an}是递增数列,则{an}的通项公式可能为(　 　)
A.an=-n2+10n B.an=n3-7n+1
C.an= D.an=2-n
解析:对于A,an=-n2+10n=-(n-5)2+25,则a5=25>a6=24,不合题意;对于B,an=n3-7n+1,则a1=1-7+1=-5,a2=23-7×2+1=-5,即a1=a2,不合题意;对于C,an=,当n增大时,减小,则an=1-增大,符合题意;对于D,an=2-n=,则an随着n的增大而减小,不合题意.故选C.
基础巩固
C
2.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,则a4=(　 　)
A.20 B.16
C.12 D.8
解析:a4=S4-S3=42+4-32-3=8.故选D.
D
3.(5分)已知函数y=f(x)的对应关系如表所示,若数列{xn}满足x1=5,且对任意正整数n均有xn+1=f(xn),则x2 026的值为 (　 　)
A.1 B.2
C.4 D.5
解析:由题意可得,x2=f(x1)=f(5)=2,x3=f(x2)=f(2)=1,x4=f(x3)=f(1)=4,
x5=f(x4)=f(4)=5,故数列{xn}是以4为周期的周期数列,故x2 026=x2=2.故选B.
B
x 1 2 3 4 5
f(x) 4 1 3 5 2
4.(5分)(2025·广东肇庆二模)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+3n+2,则下列判断正确的是 (　 　)
A.数列{an}为等差数列
B.a5=11
C.数列{Sn}存在最大项
D.数列存在最大项
D
解析:对于A,由Sn=n2+3n+2可知,当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+3(n-1)+2,因为an=故数列{an}是从第二项开始的等差数列,故A错误;对于B,将n=5代入{an}的通项公式可得a5=2×5+2=12,故B错误;对于C,由Sn=n2+3n+2知,数列{Sn}为递增数列,故不存在最大项,故C错误;对于D,由知,数列为递减数列,故存在最大项,故D正确.故选D.
5.(5分)记Sn是首项为1的数列{an}的前n项和,且=n2,则S30=(　 　)
A.
解析:易得Sn+1=(n+1)2an+1,故Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an,化简得(n2+2n)an+1=n2an,即(n+2)an+1=nan,又an≠0,故,所以,即an+1=,故an=(n≥2),当n=1时,也符合上式,故Sn=n2an=,故S30=.故选C.
C
6.(5分)若an=an-1+n-1(n≥2),a1=1,则a10=(　 　)
A.55 B.56
C.45 D.46
解析:由题意得a2=a1+1,a3=a2+2,a4=a3+3,…,an=an-1+n-1(n≥2),累加,得an=a1+1+2+3+…+(n-1)=n+1,所以a10=10+1=46.故选D.
D
7.(5分)已知数列{an}为递减数列,且满足an=则实数a的取值范围为 (　 　)
A.
C.
C
解析:因为{an}为递减数列,所以(注意:分析分段数列的单调性时,需要注意连接处的大小关系),即.故选C.
8.(5分)若数列{an}的通项公式为an=,则该数列的前50项中最大项是(　 　)
A.a1 B.a45
C.a46 D.a50
C
解析:an==,即n≤45时,<0,所以an<1.当n>,即n≥46时,>0,所以an>1.又当n≥46时,an=1+单调递减,所以该数列的前50项中最大项是a46.故选C.
9.(8分,多选)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an+1=,则(　 　)
A.a3= B.a5>0
C.a2 026=2 D.S37=21
解析:对于A,B,因为a1=2,an+1=,所以a2=-1,a3=,a4=2,a5=-1<0,故A正确,B错误;对于C,数列{an}是以3为周期的周期数列,则a2 026=a3×675+1=
a1=2,故C正确;对于D,S37=a1+a2+a3+…+a37=12(a1+a2+a3)+a37=12+2=20,故D错误.故选AC.
AC
10.(8分,多选)数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=-n2+7n,则下列说法正确的是(　 　)
A.{an}是递增数列
B.a10=-12
C.当n>4时,an<0
D.当n=5时,Sn取得最大值
BC
解析:对于A,当n=1时,a1=S1=6,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+7n-[-(n-1)2+7(n-1)]=-2n+8,又a1=6符合上式,所以an=-2n+8,所以数列{an}是递减数列,故A错误;对于B,a10=-2×10+8=-12,故B正确;对于C,当n>4时,an<0,故C正确;对于D,Sn=-n2+7n=-,所以当n=3或n=4时,Sn取得最大值,故D错误.故选BC.
11.(8分,多选)(人教B版选择性必修第三册P8练习AT5改编)已知数列{an}的通项公式为an=,则下列说法正确的是 (　 　)
A.数列{an}为递增数列,且存在常数m≤-2,使得an>m恒成立
B.数列{an}为递减数列,且存在常数m≤-2,使得an>m恒成立
C.数列{an}为递增数列,且存在常数m<0,使得an≤m恒成立
D.数列{an}为递减数列,且存在常数m<0,使得an≤m恒成立
BD
解析:因为an=,所以an+1=,则an+1-an=<0,所以{an}为递减数列.an=,当n→+∞且n∈N*时,an→-2,当n=1时,a1=-2+,所以an∈
,当m≤-2时,an>m恒成立,当-≤m<0时,an≤m恒成立.故选BD.
12.(3分)(人教B版选择性必修第三册P59复习题B组T8改编)若数列{an}满
足a1a2a3…an=n2+3n+2,则数列{an}的通项公式为_________________.
解析:∵a1a2a3…an=n2+3n+2,∴当n≥2时,a1a2a3…an-1=(n-1)2+3(n-1)+2=n2+n,∴an=(n≥2).当n=1时,a1=6,不符合上式(注意:要验证n=1的情况),∴an=
an=
13.(4分)在数列{an}中,a1=,,则a97=______.
解析:因为,所以,即,所以a97=.
3
14.(4分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,若2Sn=an+1+2,则{an}的通项公
式为_________________.
解析:当n=1时,2S1=2a1=a2+2,因为a1=2,所以a2=2,当n≥2时,2Sn-1=an+2,则2an=2Sn-2Sn-1=an+1-an,即3an=an+1,所以{an}从第2项起,是以2为首项,3为公比的等比数列,则an=2×3n-2,n≥2,又a1=2不满足上式,所以an=
an=
15.(5分)已知数列{an}满足an=λn2-n,对任意n∈{1,2,3}都有an>an+1,且对任意n∈{n|n≥7,n∈N}都有anA.
C.
C
素养提升
解析:因为对任意n∈{1,2,3}都有an>an+1,且对任意n∈{n|n≥7,n∈N}都有an0(注意:数列的通项公式符合二次函数形式,且单调性是先减后增,故二次项系数大于0),因为对任意n∈{1,2,3}都有an>an+1,所以a1>a2>a3>a4,即λ-1>4λ-2>9λ-3>16λ-4,解得λ<.因为对任意n∈{n|n≥7,n∈N}都有an.因为n≥7,所以λ>,所以实数λ的取值范围是.故选C.
16.(5分)已知数列{an}满足nan+1=(n+1)an+1,且a2=3,则a2 026=(　 　)
A.-1 B.1
C.2 026 D.4 051
解析:由nan+1=(n+1)an+1,可得,则,,,…,,累加可得,又a2=3,所以,所以a2 026=4 051.故选D.
D
17.(5分)定义为n个正数p1,p2,p3,…,pn的“均倒数”,若已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为,则a10= (　 　)
A.85 B.90
C.95 D.100
解析:因为数列{an}的前n项的“均倒数”为,所以 a1+a2+a3+…+an=5n2,于是有a1+a2+a3+…+a10=5×102,
a1+a2+a3+…+a9=5×92,两式相减,得a10=5×(100-81)=95.故选C.
C
创新训练（多想少算）
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