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(共64张PPT)
第五章　平面向量、复数
5.1　平面向量的概念及线性运算
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.了解平面向量的实际背景. 2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 3.理解平面向量的几何表示和基本要素. 4.掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义. 5.掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义. 6.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 2023 2024 2025


必备知识　回顾
1.向量的有关概念
知识梳理
名称 定义 说明
向量 既有____又有____的量叫做向量 平面向量是自由向量
有向 线段 具有方向的线段叫做有向线段,向量可以用有向线段表示,也可以用字母a,b,c,…表示 有向线段包含三个要素:起点、方向、长度
向量 的模 向量的长度 (或称模),记作_______ 向量的模是数量
零向量 长度为__的向量叫做零向量,记作0 零向量的方向是任意的
大小
方向
||
0
名称 定义 说明
单位 向量 长度等于____________的向量叫做单位向量 a是非零向量,则
±是单位向量
平行向 量(共线 向量) 方向__________的____向量叫做平行向量,平行向量也叫做共线向量 规定:零向量与任意向量平行
相等 向量 长度相等且方向____的向量叫做相等向量 两向量可以相等也可以不相等,但不能比较大小
相反 向量 与向量a____相等,方向____的向量,叫做a的相反向量,记作-a 0的相反向量仍是0
1个单位长度
相同或相反
非零
相同
长度
相反
2.向量的线性运算
运算 定义 法则(或几何意义) 运算律(性质)
加法 求两个 向量和 的运算 交换律:a+b=b+a,并规定:a+0=0+a=a;
结合律:a+(b+c)=(a+b)+c;
|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相同的非零向量时等号成立
运算 定义 法则(或几何意义) 运算律(性质)
减法 求两个 向量差 的运算 a-b=a+(-b)
数乘 求实数λ 与向量 a的积 的运算 λa是一个向量,其长度: |λa|=________; 其方向:λ>0时,与a方向____; λ<0时,与a方向____; λ=0时,λa=0 设λ,μ∈R,则λ(μa)=
_______;(λ+μ) a=_____;
λ(a+b)=__________
|λ|·|a|
相同
相反
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
3.共线向量基本定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
4.向量三角不等式
对任意两个向量a,b都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
1.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即(n≥2,n∈N*),特别地,一个封闭图形首尾顺次连接而成的向量和为零向量.
2.若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则();若G为△ABC的重心,则=0.
3.如图,△ABC中,BD=m,CD=n,则,特别地,D为BC的中点时(m=n),.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.(　　)
(2)两个向量相加,结果有可能是个数量.(　 　)
(3)向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.(　 　)
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之也成立.(　 　)
基础检测
√
×
×
√
2.(人教A版必修第二册P5习题6.1T3改编)以下命题中正确的个数是(　 　)
①两个相等向量的模相等;
②若a和b都是单位向量,则a=b;
③相等的两个向量一定是共线向量;
④零向量是唯一没有方向的向量.
A.1　　　 B.2　　　
C.3　　　 D.4
B
解析:对于①,两个相等向量的模相等,且它们的方向也相同,故①正确;对于②,若a和b都是单位向量,当它们的方向不同时,a=b不成立,故②错误;对于③,相等的两个向量方向相同,所以它们一定是共线向量,故③正确;对于④,任何向量都有大小以及方向,零向量也是向量,只不过零向量是方向任意的向量,故④错误.故正确的有①③,共2个.故选B.
3.(人教A版必修第二册P14例6改编)在△ABC中,,则=(　 　)
A.
C.
解析:∵,∴.故选C.
C
4.(人教A版必修第二册P16例8改编)已知向量a,b不共线,向量c=a+3b,d=2a+kb,且c∥d,则k= (　 　)
A.-3 B.3
C.-6 D.6
解析:设d=λc,则2a+kb=λ(a+3b)=λa+3λb,故λ=2,k=3λ=6.故选D.
D
关键能力　提升
考点1 平面向量的概念
【例1】　(多选)(人教A版必修第二册P5习题6.1T3改编)下列说法错误的是(　 　)
A.非零向量是两平行向量
B.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合
C.两个有共同终点的向量,一定是共线向量
D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
BCD
【解析】对于A,因为是方向相反的两个非零向量,所以它们是平行向量,故A正确;对于B,因为向量是可以移动的,所以两个向量相等时,它们的起点和终点不一定相同,故B错误;对于C,两个有共同终点的向量,起点不确定,不一定是共线向量,故C错误;对于D,两个单位向量平行时,这两个单位向量的方向可能相反,所以这两个单位向量不一定相等,故D错误.故选BCD.
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.
规律总结
【对点训练1】如图,O是正六边形ABCDEF的中心,下列向量中,与相等的向量为(　 　)
A.
C.
B
解析:对于A,虽然||,但方向不同,不满足向量相等的条件,所以不相等,故A错误;对于B,方向相同,并且||, 所以,故B正确;对于C,方向不同,所以不相等,故C错误;对于D,方向不同,所以不相等,故D错误.故选B.
考点2 平面向量的线性运算
【例2】(1)如图,在正六边形ABCDEF中,点M满足,则=(　 　)
A.2
B.-
C.
D.
B
【解析】　由题设及正六边形的结构特征知,,且
,,又,所以.故选B.
(2)(2026·山东临沂一模)在△ABC中,点D是AB的中点,点P在CD上,若,则λ= (　 　)
A.
.
【解析】　因为点D是AB的中点,所以,所以=λ()+,解得.又因为点P在CD上,所以,解得λ=.故选B.
B
平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则,求差用向量减法的几何意义.
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值.
规律总结
【对点训练2】　(1)(一题多解)(人教A版必修第二册P14例6改编)在△ABC中,D为AB的中点,E为CD的中点,设=a,=b,则=(　 　)
A.a+b B.a-b
C.a+b D.a-b
解析:方法一　因为D为AB的中点,E为CD的中点,所以+.故选C.
方法二　因为D为AB的中点,所以.又E为CD的中点,所以()=.故选C.
C
(2)(2025·湖南邵阳三模)设D为△ABC所在平面内一点,(λ∈R),则λ的值为 (　 　)
A.4 B.5
C.-4 D.-5
解析:,所以
(),即,即,即λ=-5.故选D.
D
考点3 共线向量基本定理及应用
【例3】　(1)(2025·广东茂名二模)已知向量e1,e2不共线,且(2e1+λe2) ∥ (3e1-2e2),则实数λ=(　　)
A.3 B.-3
C.
【解析】因为向量e1,e2不共线,且(2e1+λe2)∥(3e1-2e2),设2e1+λe2= k(3e1-2e2),即2e1+λe2=3ke1-2ke2,所以故选D.
D
(2)(2025·吉林长春二模)在△ABC中,,点E在BD上,若,则x= (　 　)
A.-
【解析】因为,所以,则=x(-)+
()=,因为B,E,D三点共线,所以=1,解得x=-.故选C.
C
利用共线向量基本定理解题的策略
(1)a∥b a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线 ,共线.
(3)(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线(O不在直线BC上),则λ+μ=1.
规律总结
【对点训练3】　(1)已知非零向量a,b,=3a+2b,=4a-b,=5a+7b,则共线的三点是 (　　)
A.A,B,D B.A,B,C
C.A,C,D D.B,C,D
A
解析:对于A,因为=9a+6b=3,所以,共线,即A,B,D三点共线,故A正确;对于B,因为=3a+2b,=4a-b,不存在实数λ,使,所以,不共线,即A,B,C三点不共线,故B错误;对于C,因为=7a+b,=5a+7b,不存在实数λ,使,所以,不共线,即A,C,D三点不共线,故C错误;对于D,因为=4a-b,=5a+7b,不存在实数λ,使,所以,不共线,即B,C,D三点不共线,故D错误.故选A.
(2)在△ABC中,点O满足,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点E,F,设,,则x+y= (　 　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:如图,连接AO,在△ABC中,因为,即O为BC的中点,所以,,所以.因为E,O,F三点共线,所以y=1,所以x+y=2.故选B.
B
如图,已知平面内一组基向量,,且(λ,μ∈R),若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上,则λ+μ=k(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.
容易得到等和线的几个结论:
(1)当等和线恰为直线AB时,k=1.
(2)当等和线在点O和直线AB之间时,k∈(0,1).
(3)当直线AB在点O和等和线之间时,k∈(1,+∞).
(4)当等和线过点O时,k=0.
(5)若两等和线关于点O对称,则它们对应的定值k1,k2互为相反数.
(6)定值k的绝对值与等和线到点O的距离成正比.
教材拓展等和线
【典例】　(1)如图,圆O是等边三角形ABC的内切圆,其与BC边相切于点D,点M为圆上任意一点,(x,y∈R),则2x+y的最大值为 (　 　)
A.
C.2 D.2
C
【解析】　如图,设圆O与AB,AC边相切于点E,N,由题知,作出定值k为1的等和线DE,DE与BO相交于点P,AC是过圆上的点最远的等和线,当M在点N所在的位置时,2x+y最大,设2x+y=k1,则k1==2,所以2x+y的最大值为2.故选C.
(2)如图,在△ABC中,H为BC上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若
,则λ+μ=.
【解析】　由等和线定理可知λ+μ=.
高考真题 教材典题
(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上, BD=2DA.记=m,=n,则= (　 　) A.3m-2n　　　　　B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n (人教A版必修第二册P14例6)如图, ABCD的两条对角线相交于点M,且=
a,=b,用a,b表示,
,.
考教衔接
B
解析:因为点D在边AB上,BD=2DA,所以,即=2(),所以=3n-2m=-2m+3n.故选B.
课时作业36
1.(5分)下列说法错误的是 (　 　)
A.长度为0的向量是零向量,零向量的方向是任意的
B.零向量和任何向量都是共线向量
C.相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等
D.若a∥b,b∥c,则a∥c
基础巩固
D
解析:对于A, 零向量的长度为0,且方向是任意的,故A正确;对于B,零向量与任意向量共线,故B正确;对于C,相等向量的模长和方向都相同,故相等向量一定是共线向量,但共线向量是方向相同或者相反的两个向量,模长不一定相等,故共线向量不一定相等,故C正确;对于D,当b为零向量时,此时不一定能得到a∥c,故D错误.故选D.
2.(5分)(人教A版必修第二册P16例8改编)已知向量a,b不共线,且向量c=a+λb,d=(2λ-1)a+b,若c与d方向相反,则实数λ的值为(　　)
A.-1 B.-
C.1或-
解析:因为向量a,b不共线,且向量c=a+λb,d=(2λ-1)a+b,c与d方向相反,所以存在实数k使c=kd(k<0),则a+λb=k[(2λ-1)a+b],即a+λb=(2λk-k)a+kb,所以整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-,又λ=k<0,所以λ=-.故选B.
B
3.(5分)已知平面向量a,b是不共线的两个向量,=a+2b,=4a-4b,=
-a+2b,则(　　)
A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线
解析:由题意,得=a+2b,=4a-4b,=-a+2b,对于A,不存在唯一的实数λ使得,所以A,B,C三点不共线,故A错误;对于B,C,因为=4a-4b-a+2b=3a-2b,所以不存在唯一的实数λ使得,不存在唯一的实数λ使得,故B,C错误;对于D,因为=4a-4b-(a+2b)=3a-6b,所以,则B,C,D三点共线,故D正确.故选D.
D
4.(5分)在△ABC中,,P是直线BN上的一点,若,则实数m的值为 (　 　)
A.
.
解析:由,得,则,而B,P,N三点共线,则m+=1,所以m=.故选C.
C
5. (5分)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,则 (　 　)
A.共线
B.共线
C.相等
D.相等
B
解析:对于A,由题意可知,不共线,故A错误;对于B,因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE∥BC,故共线,故B正确;对于C,因为CD与AE不平行,所以不相等,故C错误;对于D,因为,所以不相等,故D错误.故选B.
6.(5分)在△ABC中,点D在BC边上,且5,则 (　 　)
A.
B.
C.
D.
解析:()=.故选B.
B
7.(5分)在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,若,则m-n= (　 　)
A.
C.
解析:如图,由题意知,()=,所以m=,n=,所以m-n=.故选A.
A
8.(5分)已知在正六边形ABCDEF中,G是线段CD上靠近C的三等分点,则= (　 　)
A.
C.
解析:依题意得,因为,,所以.故选C.
C
9.(8分,多选)下列说法正确的是 (　 　)
A.若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同
B.若a,b满足|a|>|b|,且a,b同向,则a>b
C.若四边形ABCD满足,则四边形ABCD是平行四边形
D.两个非零向量a和b,若|a-b|=|a+b|,则a与b垂直
CD
解析:对于A,两个相等向量的起点和终点不一定相同,故A错误;对于B,向量不能比较大小,故B错误;对于C,由,得AB∥DC,||,则四边形ABCD是平行四边形,故C正确;对于D,由|a-b|=|a+b|,得a2+b2-2a·b=a2+b2+2a·b,则a·b=0,又a和b都是非零向量,所以a与b垂直,故D正确.故选CD.
10.(8分,多选)已知e1,e2是两个不共线的单位向量,则下列各组向量中,一定能推出 a∥b的是(　 　)
A.a=-3e1,b=2e1
B.a=e1-e2,b=-e1
C.a=e1-e2,b=e1+e2+
D.a=2e1+3e2,b=4e1+6e2
ABD
解析:对于A,因为a=-3e1,b=2e1,所以b=-a,即a∥b,故A正确;对于B,因为a=e1-e2,b=-e1=-e1+e2,所以b=-a,即a∥b,故B正确;对于C,a=e1-e2,b=e1+e2+(e1+e2),由于e1,e2不共线,因此b≠λa,所以向量a,b不平行,故C错误;对于D,因为a=2e1+3e2,b=4e1+6e2,所以b=2a,即a∥b,故D正确.故选ABD.
11.(8分,多选)2025年2月7日,第九届亚洲冬季运动会开幕式在哈尔滨举行.如图1是第九届亚洲冬季运动会会徽,适当选择四个点作四边形ABCD,就可以覆盖会徽的主图案.如图2,在四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,,,则下列等式一定成立的是 (　 　)
A.
B.
C.
D.
BCD
解析:对于A,因为四边形ABCD不一定是平行四边形,所以不一定成立,故A错误;对于B,因为,,所以,故B正确;对于C,因为,,所以,故C正确;对于D,连接BD,如图,因为E,F分别是BC,CD的中点,所以,又,,所以,所以,故D正确.故选BCD.
12.(4分)若a,b是两个不共线的向量,=2a+kb,=a+b,=2a+b,且A,C,D
三点共线,则实数k的值为.
解析:由题意可得=(2a+kb)+(a+b)=3a+(k+1)b,因为A,C,D三点共线,所以,则存在实数λ,使得,即3a+(k+1)b=λ(2a+b),因为a,b是两个不共线的向量,所以,
13.(4分)(人教A版必修第二册P14例6改编)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则.
解析:如图,在 ABDC中,a=,b=,则a-b=,a+b=,当|a|=|b|=|a-b|时,△ABC为等边三角形,则.
14. (4分)如图,在四边形ABCD中,,,则实数m=____.
-3
解析:由题图可得,,因为,,所以,,所以=-2()+,又因为,所以=
-2()+,又因为,所以m=-3.
15.(6分)若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足4=0,则△ABM与△ABC的面积之比为 (　 　)
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D.2∶5
1
素养提升
C
解析:取BC的中点D,连接AD,如图所示,易知(),又由4=0可得(),因此可得,即A,D,M三点共线,且M为线段AD的中点,所以S△ABM=S△ABD,又S△ABD=S△ABC,所以S△ABM=S△ABC,所以△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.故选C.
16. (8分,多选)如图,在正方形ABCD中,Q为BC上一点,AQ交BD于E,且E,F为BD的两个三等分点,则 (　 　)
A.=0
B.
C.
D.
BCD
解析:对于A,由题意知,所以=0,故A错误;对于B,()=,故B正确;对于C,()=,故C正确;对于D,因为E为BD上靠近B的三等分点,所以,利用△BEQ∽△DEA可得,所以()=,故D正确.故选BCD.
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