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(共66张PPT)
第五章　平面向量、复数
5.2　平面向量基本定理及坐标运算
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.掌握平面向量基本定理. 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2023 2024 2025
全国一卷T6
新课标Ⅱ卷T13 新课标Ⅱ卷T3
必备知识　回顾
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使______________.我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个____.
知识梳理
a=λ1e1+λ2e2
基底
2.平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个________的向量,叫做把向量作________.
(2)平面向量的坐标运算
①平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量a,b满足a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a ±b =____________,
λa =_________(λ∈R),ua ±v b =____________________(u,v∈R).
互相垂直
正交分解
(x1±x2,y1±y2)
(λx1,λy1)
(ux1±vx2,uy1±vy2)
②向量模的坐标计算公式
如果向量a=(x,y),那么|a|=.
③向量坐标的求法
a.若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
b.设A(x1,y1),B(x2,y2),则=__________,|___________________.
(3)平面向量共线的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,向量a,b共线的充要条件是______________.
(x2-x1,y2-y1)
x1y2-x2y1=0
3.平面向量基本定理的推论
(1)设a=λ1e1+λ2e2,b=λ3e1+λ4e2(λ1,λ2,λ3,λ4∈R),且e1,e2不共线,若a=b,则λ1=λ3且λ2=λ4.
(2)若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.
已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则线段AB的中点坐标为,△ABC的重心坐标为.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.(　 　)
(2)基底中可以含有零向量. (　 　)
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成.(　 　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换,其坐标不变. (　 　)
基础检测
×
×
×
√
2.(人教A版必修第二册P30练习T2改编)已知向量=(2,3),点A的坐标为(3,2),则点B的坐标为(　 　)
A.(6,4)　 B.(1,-1)
C.(5,5)　 D.(-1,1)
解析:设B(x,y),则=(x-3,y-2)=(2,3),解得x=5,y=5,∴B(5,5).故选C.
C
3.(人教A版必修第二册P33练习T2改编)已知向量a=(1,3λ),b=(2+λ,
-3),若a∥b,则λ= (　 　)
A.1　　　 B.-1
C.2　　　 D.-3
解析:因为a=(1,3λ),b=(2+λ,-3),且a∥b,所以3λ(2+λ)=1×(-3),解得λ=-1.故选B.
B
4.(人教A版必修第二册P36习题6.3T1改编)在△ABC中,点D为边BC上一点,且BD∶DC=1∶2,设=a,=b,则用a,b表示为 (　 　)
A.a-b B.a-b
C.a+b D.a+b
解析:如图,由题意,可得()=a+b.故选D.
D
关键能力　提升
考点1 平面向量基本定理及应用
【例1】　(1)已知在梯形ABCD中,,,记=m,=n,则=(　 )
A.m+n B.m+n
C.m+n D.m+n
【解析】　因为=m,=n,,所以m+n,因为,,所以m,m+n,所以m+n.故选B.
B
(2)已知M为△ABC所在平面内的点,且,则=(　 　)
A.
【解析】　因为,所以=2(),所以,所以m=-,n=-,故.故选A.
A
运算遵法则、基底定分解
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中,利用三角形法则列出向量间的关系.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的.
规律总结
【对点训练1】　(1)(多选)设{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是 (　 　)
A.e1+e2和e1-3e2
B.e1+6e2和e1+e2
C.3e1-4e2和6e1-8e2
D.e1+2e2和e1+e2
CD
解析:对于A,假设(e1+e2)∥(e1-3e2),则 λ∈R使得e1+e2=λ(e1-3e2)=λe1-3λe2,则由e1,e2不共线得λ=1且1=-3λ,则λ无解,故e1+e2,e1-3e2不共线,可作为基底,故A错误;对于B,假设(e1+6e2)∥(e1+e2),则 λ∈R使得e1+6e2=λ(e1+e2)=λe1+λe2,则由e1,e2不共线得λ=1且λ=6,则λ无解,故e1+6e2,e1+e2不共线,可作为基底,故B错误;对于C,因为3e1-4e2=(6e1-8e2),所以(3e1-4e2)∥(6e1-8e2),不能作为基底,故C正确;对于D,因为e1+2e2=2,所以(e1+2e2)∥,不能作为基底,故D正确.故选CD.
(2)△ABC中,若=a,=b,,则向量可用a,b表示为(　 　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
解析:在△ABC中,,则()==a,=b,所以a+b.故选A.
A
考点2 平面向量的坐标运算
【例2】　(1)(2025·全国一卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为(　 　)
A
A.轻风 B.微风
C.和风 D.劲风
【解析】设视风风速对应的向量为n,由题意及题图得n=(0,2)-(3,3)=
(-3,-1),视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,船速对应的向量和船行风风速对应的向量方向相反,设真风风速对应的向量为n1,船行风风速对应的向量为n2,∴n=n1+n2,n2=-[(3,3)-(2,0)]=(-1,-3),∴n1=n-n2=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),|n1|=≈2.828,∴该时刻的真风为轻风.故选A.
(2) (人教A版必修第二册P29例3改编)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)
A.-
B
【解析】　设网格中小正方形的边长为1,建立平面直角坐标系如图所示,可知b=(3,3),a=(-2,1),c=(-1,-3),代入c=λa+μb(λ,μ∈R),得(-1,-3)=
λ(-2,1)+μ(3,3),则
解得.故选B.
解决向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算.
(2)巧借方程思想求坐标:向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.
规律总结
【对点训练2】　(1)已知=(-6,3),=(3,9),若,则=
(　 　)
A.(5,-3) B.(6,-2)
C.(-3,5) D.(-2,6)
解析:因为,所以(),解得(3,9)+(-6,3)=(1,3)+(-4,2)=(-3,5).故选C.
C
(2)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB=4,E为AD的中点,若(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 (　 　)
A.
B
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0),C(4,0),A(0,4),
B(2,4),E(0,2),所以=(-4,4),=(-4,2),=(2,4),因为(λ,μ∈R),所以(-4,4)=λ(-4,2)+μ(2,4),则
.故选B.
考点3 向量共线的坐标表示
命题角度1　利用向量共线求向量或点的坐标
【例3】　(一题多解)已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为______.
(3,3)
【解析】　方法一　由O,P,B三点共线,可设=(4λ,4λ),则=(4λ-4,4λ).又=(-2,6),由共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ==(3,3),所以点P的坐标为(3,3).
方法二　设点P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),且共线,所以,即x=y.又=(x-4,y),=(-2,6),且共线,所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).
利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路
(1)求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程(组),求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
(2)求两直线交点坐标时,可充分利用两直线相交产生的两个“三点共线”的关系,结合向量共线的坐标表示求解.
规律总结
命题角度2　利用向量共线求参数
【例4】　(1)(2026·山西太原一模)已知a=(2,1),b=(m,-1),若a∥(a-b),则实数m=(　 　)
A.-2 B.3
C.6 D.-1
【解析】　因为a=(2,1),b=(m,-1),所以a-b=(2-m,2).因为a∥(a-b),所以2-m-4=0,解得m=-2.故选A.
A
(2)(2025·陕西西安二模)已知=(1,4),=(m,2),且A,B,C三点共线,则m= (　 　)
A. B.1
C.2 D.4
【解析】　因为A,B,C三点共线,所=(1,4),=(m,2),
所以1×2-4m=0,解得m=.故选A.
A
利用向量共线的坐标表示求参数的步骤
第一步:根据已知条件求出相关向量的坐标;
第二步:利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组;
第三步:根据方程或方程组求解得到参数的值.
规律总结
【对点训练3】　(1)(2025·山东青岛一模)已知向量=(-3,1),=(1,
-2),=(x-6,x+5),若点A,B,C不能构成三角形,则x的值为 (　 　)
A.-2　　 B.-1
C.1　　　 D.2
解析:由题意可得=(4,-3),=(x-7,x+7),若点A,B,C共线,则点A,B,C不能构成三角形,即-3(x-7)-4(x+7)=0,解得x=-1.故选B.
B
(2)已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(1,2),
(3,1),则顶点D的坐标为__________.
解析:由四边形ABCD为平行四边形,知=(1,2),设D(x,y),则=(3-x,1-y),所以故顶点D的坐标为(2,-1).
(2,-1)
高考真题 教材典题
(2021·全国乙卷文)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=. (人教A版必修第二册P31例7)已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y.
考教衔接
解析:因为a∥b,所以2×4-5λ=0,解得λ=.
课时作业37
1.(5分)(人教A版必修第二册P30练习T2改编)在平面直角坐标系xOy内,已知点A(-1,1),=(1,-2),则= (　 　)
A.(2,-3) B.(0,-1)
C.(-2,3) D.(0,1)
解析:因为点A(-1,1),=(1,-2),所以=(-1,1),=
(-1,1)+(1,-2)=(0,-1).故选B.
基础巩固
B
2.(5分)(2025·浙江金华二模)已知向量a=(1,2),b=(x,-4),且a∥b,则实数x的值为(　 　)
A.-2 B.2
C.-8 D.8
解析:由a∥b可得1×(-4)-2x=0,解得x=-2.故选A.
A
3.(5分)(2025·辽宁盘锦三模)已知A(0,0),B(λ2,1),C(λ,-2),D(2,-1),若共线,则λ的值为 (　 　)
A.1 B.2
C.-1或2 D.-2或1
解析:因为A(0,0),B(λ2,1),C(λ,-2),D(2,-1),所以=(λ2,1),=(λ-2,
-1),又共线,故-λ2=λ-2,解得λ=-2或λ=1.故选D.
D
4.(5分)已知与a=(-1,2)的夹角为π,且|,点A的坐标为(3,4),则点B的坐标为 (　 　)
A.(-1,3) B.(3,4)
C.(1,-8) D.(5,0)
解析:∵与a的夹角为π,∴与a方向相反,可设=λa=(-λ,2λ)(λ<0),
|,解得λ=-2,即=(2,-4),设点B(x0,y0),则=(x0-3,y0-4),即即B(5,0).故选D.
D
5.(5分)已知向量a,b,c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,用基底{a,b}表示c,则(　 　)
A.c=-2a+3b B.c=2a-3b
C.c=-3a+2b D.c=3a-2b
D
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则a=(2,1)-(1,0)=(1,1), b=(0,4)-(2,1)=(-2,3),c=(7,1)-(0,4)=(7,-3),设c=xa+yb,则(7,-3)=
x(1,1)+y(-2,3),所以故c=3a-2b.故选D.
6.(5分)(2026·T8联考)已知点G为△ABC的重心,若,则λ-μ=(　 　)
A.0 B.1
C. D.3
B
解析:如图,延长AG交BC于点D,则,且,不共线,∴λ=,μ=-,∴λ-μ=1.故选B.
7.(5分)(2025·北京朝阳区二模)在矩形ABCD中,AD=2,AB=,点E为线段AD的中点,BE与AC交于点F.设=k1e1+k2e2(k1,k2∈R),其中e1,e2分别是与,方向相同的单位向量,则(　 　)
A.k1=,k2=,k2=
C.k1=,k2=,k2=
B
解析:如图,在矩形ABCD中,因为点E为线段AD的中点,所以AC,则有()=,因为AD=2,AB=
,e1,e2分别是与,方向相同的单位向量,所以=2e2,e1,则e1+e2,又因为=k1e1+k2e2(k1,k2∈R),所以k1=,k2=.故选B.
8. (5分)古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中,提到了蜂巢,称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构,从而储存更多的蜂蜜,提升了空间利用率,体现了动物的智慧,得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示,则=(　 　)
A.-
C.-
B
解析:以D为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.不妨设AD=2,则A(-1,),B(5,5),D(0,0),E(9,),C(0,4),故=(6,4),=(9,-3),=(9,).设,则.故选B.
9.(8分,多选)在下列各组向量中,可以作为基底的是(　 　)
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,7)
C.e1=(3,5),e2=(-6,10)
D.e1=(2,-3),e2=
BC
解析:对于A,零向量与任意向量都共线,故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底,故A错误;对于B,(-1)×7-2×5≠0,所以e1=(-1,2)与e2=(5,7)不共线,故其可以作为它们所在平面内所有向量的基底,故B正确;对于C,3×10-5×(-6)≠0,所以e1=(3,5)与e2=(-6,10)不共线,故其可以作为它们所在平面内所有向量的基底,故C正确;对于D,2×-(-3)×
=0,所以e1=(2,-3)与e2=共线,故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底,故D错误.故选BC.
10.(8分,多选)已知向量a,b,c满足c=λa+(1-λ)b(0<λ<1),且c=(1,2),则a,b的坐标可以为(　 　)
A.a=(1,0),b=(0,2)
B.a=(2,0),b=(0,4)
C.a=(3,1),b=(-1,3)
D.a=(2,1),b=(4,-1)
BC
解析:设=a,=b,=c,O为坐标原点,则由c=λa+(1-λ)b(0<λ<1)可知A,B,C三点共线,且C在A,B之间.对于A,=(-1,2),=(0,2),不平行,故A错误;对于B,=(-2,4),=(-1,2),平行,且C在A,B之间,故B正确;对于C,=(-4,2),=(-2,1),平行,且C在A,B之间,故C正确;对于D,=(2,-2),=(-1,1),平行,但C不在A,B之间,故D错误.故选BC.
11. (8分,多选)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=
2DC, E为BC边上一点,且,F为AE的中点,则 (　 　)
A.
B.
C.
D.
ABD
解析:对于A,因为AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,,所以由向量加法的三角形法则得,又F为AE的中点,则,故A正确;对于B,,故B正确;对于D,,故D正确;对于C,,故C错误.故选ABD.
12.(5分)(2026·北京西城区一模)设平面向量a=(-1,1),b=(-2,1),c=(x,y),且|c|=5,则使得向量b-c与a共线的一组值x=____, y=______________________________.
解析:因为|c|=5,c=(x,y),所以=5,即x2+y2=25,因为b=(-2,1),
c=(x,y),所以b-c=(-2-x,1-y),又向量b-c与a共线,a=(-1,1),所以-2-x+1-y=0,所以x=-y-1,所以(-y-1)2+y2=25,所以y=3或y=-4,所以
3(或第一空填3,第二空填-4)
-4
13.(4分)(一题多解)(人教A版必修第二册P33探究改编)已知A(2,3),B(4,-3),点P在线段AB的延长线上,且||,则点P的坐标为__________.
解析:方法一　由点P在线段AB的延长线上,||,知,设P(x,y),则(x-2,y-3)=-(4-x,-3-y),即
故点P的坐标为(10,-21).
(10,-21)
方法二　因为点P在线段AB的延长线上,所以方向相反,由||,知.设P(x,y),则x==10,
y==-21,即点P的坐标为(10,-21).
14.(4分)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,AB⊥AD,E是CD的中点,若,则λ+μ=__.
解析:因为+(λ+μ),,所以所以λ+μ=1.
1
15. (5分)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图,若E为AF的中点,,则λ+μ=(　 　)
A.
C.
1
素养提升
B
解析:以E为坐标原点,EF所在直线为x轴,ED所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设EF=1,又E为AF的中点,∴E(0,0),C(2,1),A(-1,0),
B(1,-1),D(0,2),则=(2,1),=(2,-1),=(1,2).由,得(2,1)=λ(2,-1)+μ(1,2),∴
.故选B.
16. (8分,多选)如图所示,点A,B,C是圆O上的三点,线段OC与线段AB交于圆内一点P,若,,则 (　 　)
A.P为线段OC的中点时,μ=
B.P为线段OC的中点时,μ=
C.无论μ取何值,恒有λ=
D.存在μ∈R,λ=
AC
解析:对于C,D,+λ()=(1-λ),因为共线,所以,解得λ=,故C正确,D错误;对于A,B,当P为线段OC的中点时,,则
,故A正确,B错误.故选AC.
本课结束

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