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(共56张PPT)
第五章　平面向量、复数
5.3　平面向量的数量积
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个平面向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T3 新课标Ⅰ卷T3
新课标Ⅱ卷T13 新课标Ⅱ卷T3 全国二卷T12
必备知识　回顾
1.向量的夹角
已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则______=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积,记作a·b.
知识梳理
∠AOB
3.平面向量数量积的几何意义
如图,设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,=a,=b,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b____,叫做向量a在向量b上的________.记作|a|cos θe.
投影
投影向量
4.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
项目 几何表示 坐标表示
数量积 a·b=|a||b|cos θ a·b=__________
模 |a|=
|a|=
夹角 cos θ=
cos θ=
a⊥b的充要条件 a·b=0 ______________
|a·b|与|a||b| 的关系 |a·b|≤ |a||b| |x1x2+y1y2|≤
x1x2+y1y2
x1x2+y1y2=0
1.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
2.有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0;若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π.
3.向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ(θ为a与b的夹角).
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　 　)
(2)若a,b共线,则a·b=|a|·|b|.(　 　)
(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的结果是向量.(　 　)
(4)若a·b=a·c,则b=c. (　 　)
基础检测
×
×
√
×
2.(人教A版必修第二册P60复习参考题6T8改编)已知向量m=(2x,1)与向量n=垂直,则x=(　 　)
A.
解析:∵m=(2x,1)与n=垂直,∴m·n=(2x,1)·=0,即x=.故选C.
C
3.(人教A版必修第二册P24习题6.2T19改编)设向量a,b满足|a|=|b|=1且|3a-2b|=,则a,b的夹角为 (　 　)
A.
解析:设a与b的夹角为θ,由题意得(3a-2b)2=7,所以9|a|2+4|b|2-12a·b=7.又|a|=|b|=1,所以a·b=,所以|a||b|·cos θ=,即cos θ=.又θ∈[0,π],所以a,b的夹角为.故选A.
A
4.(人教A版必修第二册P24习题6.2T21改编)已知△ABC的外接圆圆心为O,且2,||,则向量
.
解析:由2知O为BC的中点,如图,因为O为△ABC的外接圆圆心,所以OA=OB=OC.因为||,所以AB=OB=OA=OC,所以△AOB为正三角形,∠ABO=60°,所以.
关键能力　提升
考点1 平面向量数量积的基本运算
【例1】　(1)(2025·山东潍坊二模)已知向量b在向量a上的投影向量为
-2a,若|a|=3,则a·(a+b)=(　 　)
A.-9　　 B.-3
C.3　　　 D.9
【解析】∵|b|cos·=|b|·cos·=-2a,∴|b|cos=
-6,∴a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a|·|b|·cos=9+3×(-6)=-9.故选A.
A
(2)(一题多解)(2023·全国乙卷文)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则 = (　 　)
A. B.3
C.2 D.5
【解析】　方法一　以{,}为基底,可知||=2,=0,则,,所以·=-1+4=3.
故选B.
B
方法二　如图,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,则E(1,0),C(2,2),
D(0,2),可得=(1,2),=(-1,2),所以=-1+4=3.故选B.
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义:a·b=|a||b|cos.
(2)利用坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
规律总结
【对点训练1】　(1)(2026·湖南长沙一模)已知菱形ABCD的边长为1,∠DAB=60°,E是BC的中点,AE与BD相交于点F,则= (　 　)
A.
解析:如图,因为AD∥BE,所以∠DAF=∠BEF,
∠ADF=∠EBF,所以
△FEB∽△FAD,所以=2,所以,故.故选B.
B
(2)(2025·河北秦皇岛三模)在正方形ABCD中,P,Q分别为BC,CD的中点,若,则= (　 　)
A.
解析:如图,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,设AB=2a,则A(0,0),B(2a,0),C(2a,2a),D(0,2a),P(2a,a),Q(a,2a),可得=(2a, 2a),=(2a,a),=(2a,0),=(-a,2a),因为,可得a2=,所以.故选B.
B
考点2 平面向量数量积的应用
命题角度1　向量的模
【例2】　(2025·山东烟台一模)在△ABC中,AB=2AC=6, ∠BAC=60°,,则||= (　 　)
A.
C.
C
【解析】　在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,,所以,则||==
=
.故选C.
命题角度2　向量的夹角
【例3】　(2026·河北邯郸一模)已知非零向量a,b满足|a|=|a-2b|,且向量a,b
的夹角为60°,则向量a,a+2b的夹角为.
【解析】　由|a|=|a-2b|可得|a|2=|a|2-4a·b+4|b|2,又a,b为非零向量,且向量a,b的夹角为60°,所以4|a|·|b|×=4|b|2,即|a|=2|b|,又a·(a+2b)=|a|2+ 2|a|·|b|×=4|b|2+2|b|2=6|b|2,|a+2b|==
=|b|,所以cos =,所以=.
命题角度3　向量的垂直
【例4】(一题多解)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　 　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
【解析】　方法一　因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以b2=4+x2,a·b=x,得4+x2=4x,所以(x-2)2=0,解得x=2.故选D.
方法二　因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x=2.故选D.
D
1.求平面向量的模的方法
(1)公式法:利用|a|=及|a±b|=.
(2)几何法:利用向量的几何意义.
2.求平面向量的夹角的方法
(1)定义法:cos=.
(2)坐标法.
3.两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b=0 |a-b|=|a+b|(其中a≠0,b≠0).
规律总结
【对点训练2】(1)(2025·辽宁鞍山二模)已知向量a=(1,2),b=(1,0), c=(0,1),若a⊥(b+λc),则λ=(　 　)
A.-
C.-2 D.2
解析:由b=(1,0),c=(0,1),得b+λc=(1,λ),由a⊥(b+λc),得1+2λ=0,所以λ=-.故选A.
A
(2)(2025·北京丰台区二模)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a2=a·b,则a与b的夹角为(　 　)
A.
C.
解析:因为a2=a·b,所以|a|2=|a|·|b|·cos.又|a|=1,|b|=2,所以1=2cos,所以cos=.因为∈[0,π],所以=.故选B.
(3)(2025·全国二卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=.
解析:因为a-b=(1,1-2x),a⊥(a-b),所以a·(a-b)=x+1-2x=0,解得x=1,则a=(1,1),则|a|=.
B
高考真题 教材典题
1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= ( 　 ) A.　　　　D.1 1.(人教A版必修第二册P61复习参考题6T13(6))若向量a,b,c两两的夹角相等,且|a|=1,|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|= (　　)
A.2　　　　　B.5
C.2或5 D.
考教衔接
B
解析:由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b2=2a·b.将|a+2b|=2的两边同时平方,得a2+4a·b+4b2=4,即1+2b2+4b2=
1+6|b|2=4,解得|b|2=,所以|b|=.故选B.
高考真题 教材典题
2.(2022·全国乙卷理)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b= (　 　) A.-2　　　 B.-1　　　　 C.1　 　　　 D.2 2.(人教A版必修第二册P61复习参考题6T13(5))已知等边三角形ABC的边长为1,=a, =b,=c,那么a·b+b·c+c·a=
(　　)
A.3　　　 B.-3　　C.
C
解析:因为|a-2b|2=|a|2-4a·b+4|b|2,|a| =1,|b|=,|a-2b|=3,所以9=1-4a·b+4× 3=13-4a·b,所以a·b=1.故选C.
课时作业38
1.(5分)(2025·湖南长沙二模)已知向量a与b的夹角为60°,a=(1,0), |b|=,若a⊥(λa+b),则实数λ= (　 　)
A.2 B.1
C.-
解析:因为a⊥(λa+b),|a|=1,所以λa2+a·b=0,所以λ+1×=0,故λ=-.故选D.
基础巩固
D
2.(5分)(2026·北京房山区一模)已知向量a=(x,1),b=(1,-2),若a⊥b,则|a-b|=(　 　)
A.2 B.
C.
解析:因为a⊥b,所以x-2=0,x=2,即a=(2,1).又|a|==|b|,所以|a-b|=.故选D.
D
3.(5分)(2025·山东淄博一模)已知|a|=2,向量a在向量b上的投影向量c与向量b方向相反,且|c|=,则a与b的夹角为 (　 　)
A.
C.
解析:设向量a与向量b的夹角为θ,θ∈[0,π],因为向量a在向量b上的投影向量c与向量b方向相反,所以|a|·cos θ=-|c|=-,解得cos θ=-,所以θ=.故选D.
D
4.(5分)(人教A版必修第二册P23习题6.2T11(1)改编)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,且a与b夹角的余弦值为,则(a+2b)·(2a-b)= (　 　)
A.-13 B.-28
C.23 D.13
解析:由题得a·b=1×3×=1,所以(a+2b)·(2a-b)=2|a|2+3a·b-2|b|2=2+3×1-2×9=-13.故选A.
A
5.(5分)(2025·江苏南京三模)在边长为3的等边三角形ABC中,,则= (　 　)
A.
C.-
解析:因为,||=1,所以
.故选A.
A
6.(5分)(一题多解)(2025·山西大同三模)在△ABC中,AB⊥AC,AC=6,
,点E是BD的中点,则()·= (　 　)
A.-8 B.-12
C.8 D.12
B
解析:方法一　因为AB⊥AC,,点E是BD的中点,所以
,所以()·36=
-12.故选B.
方法二　如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),D(0,2),C(0,6),设B(b,0),所以E,
,=(-b,2),=(0,-4),所以()··
(0,-4)=-12.故选B.
7.(5分)(2025·山东临沂三模)在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,
∠BAD=60°,P为边CD上一点,若AP⊥BD,则线段AP的长为 (　 　)
A.
C.3 D.2
A
解析:设,因为AP⊥BD,所以=()·()=+(λ-1)=0,即4-9λ+(λ-1)×3×2=0,解得λ=,所以,|=
=
.故选A.
8.(5分)(人教B版必修第三册P83例3改编)在△ABC中,AB=3,AC=2,
∠BAC=120°,且,则= (　 　)
A.
C.1 D.2
解析:易知(注意:已知向量的模及两者的夹角,则结合“爪子模型”的性质,用向量,进而求出).在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=120°,则=-3,所以·()=
()=(9-2×3)=1.故选C.
C
9.(8分,多选)(2025·陕西汉中一模)已知向量a=(1,2),b=(1,-1),则(　 　)
A.a+2b=(3,1)
B.|a|=
C.cos=
D.a在b方向上的投影向量的坐标是
BD
解析:对于A,a+2b=(1,2)+(2,-2)=(3,0),故A错误;对于B,|a|=,故B正确;对于C,cos=,故C错误;对于D,a在b方向上的投影向量的坐标是|a|cos··b=-(1,-1)=
,故D正确.故选BD.
10.(8分,多选)在菱形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,AB=4,∠DAB=,下列说法正确的是 (　 　)
A.()
C.
BD
解析:对于A,因为菱形对角线互相垂直平分,所以,因此=0,故A错误;对于B,在菱形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,所以,,根据向量加法的三角形法则,(),故B正确;对于C,显然,故C错误;对于D,因为||=4,∠DAB=,所以=8,因为()=(16+2×8+
16)=12,所以|,故D正确.故选BD.
11.(8分,多选)已知点M是边长为2的正方形ABCD内部一点(含边界),,其中λ,μ∈[0,1],则下列选项中正确的是 (　 　)
A.λ+μ=1时,|
B.λ+μ=1时,的最大值为4
C.λ=时,=2
D.μ=时,=2
ABC
解析:如图,以A为原点,分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则依题意有A(0,0),B(2,0),D(0,2),则=(2,0),=(0,2),因为,所以=(2λ,2μ).对于A,因为λ+μ=1,所以μ=1-λ,||2=4λ2+4μ2=4λ2+4(1-λ)2=8+2,当λ=时,||最小,最小值为,故A正确;对于B,因为=4λ,λ∈[0,1],所以当λ=1时,有最大值,最大值为4,故B正确;对于C,因为=4λ,λ=,所以=2,故C正确;对于D,因为=4λ,μ=,不能求出其值,故D错误.故选ABC.
12.(4分)(2025·安徽合肥三模)已知向量a=(2,0),b=(-3,λ),若cos=
-,则λ=____.
解析:由a=(2,0),b=(-3,λ),可得|a|=2,|b|=且a·b=-6,因为cos=-,所以cos==,解得λ=±4.
±4
13.(4分)(2025·北京顺义区一模)已知平面向量a,b满足|a|=2, b=(1, 0),|2a-b|=5,则a·b=____.
解析:由b=(1,0),得|b|==1,由|2a-b|=
=5,得4×22-4a·b+1=25,解得a·b=-2.
-2
14.(5分) (2025·天津卷)在△ABC中,,=a,=b,用a和b表示______;若||=5,且AE⊥BC,则=______.
-15
a+b
解析:如图,因为,所以(),所以,所以a+b.又因为||=5,AE⊥BC,所以a2+a·b+b2=25,·(a-b)=a2+a·b-b2=0,所以a2+3a·b=4b2,所以a2+4a·b=180,所以a2+a·b-b2=(a2+2a·b-8b2)=(a2+2a·b-2a2-6a·b)=(-a2-4a·b)=-15.
15.(5分)如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=60°,D是BC的中点, CE⊥AB,AD与CE交于点F,则cos∠CFD= (　 　)
A.
1
素养提升
D
解析:由CE⊥AB,得CE=AC×sin∠BAC=3×sin 60°=,且AE=AC×
cos∠BAC=3×cos 60°=,得,又D是BC的中点,所以(),则()=(42+2×4×3×cos 60°+32)=
,得AD=,所以()·()=
()·
,cos∠CFD=cos < ,
.故选D.
16.(8分,多选)八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|=1,则下列结论正确的有(　 　)
A.
B.
C.
D.||
ACD
解析:对于D,由正八边形的几何性质知,每个中心角为,|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=|OE|=|OF|=|OG|=|OH|=1,故D正确;对于A,,故A正确;对于B,是方向相反的向量,故B错误;对于C,,,,故C正确.故选ACD.
本课结束

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