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第五章　平面向量、复数
5.5　复数
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.通过方程的解,认识复数. 2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义. 3.掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T2 新课标Ⅰ卷T2 全国一卷T1
新课标Ⅱ卷T1 新课标Ⅱ卷T1 全国二卷T2
必备知识　回顾
1.复数的概念
1
知识梳理
概念 定义
复数 把形如________(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做________.复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a与b分别叫做复数z的____与____
复数集 全体复数所构成的集合,即C=______________
复数 相等 a+bi=c+di ______且______,其中a,b,c,d∈R
a+bi
虚数单位
实部
虚部
{a+bi|a,b∈R}
a=c
b=d
概念 定义
复数 分类 复数z=a+bi(a,b∈R)
共轭 复数 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为________,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么=________
复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做____,y轴叫做____.显然,实轴上的点都表示实数;除了____外,虚轴上的点都表示纯虚数
共轭复数
a-bi
实轴
虚轴
原点
概念 定义
复数 的模 复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)对应的向量为(O为原点),则向量的模叫做复数z=a+bi的__或______,记作______或_______.即|z|=|a+bi|=,其中a,b∈R.复数z=a+bi(a,b∈R)的模就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到____的距离
模
绝对值
|z|
|a+bi|
原点
2.复数的几何意义
为方便起见,我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量,并且规定,____的向量表示同一个复数.
相等
3.复数的四则运算
(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①z1±z2=________________;
②z1z2=________________________;
③______________ (z2≠0).
(a±c)+(b±d)i
(ac-bd)+(ad+bc)i
i
(2)复数加、减法的几何意义
加法 复数z1+z2是以, 所对应的复数
减法 复数z1-z2是从向量 所对应的复数
(3)复数加法的运算律:对于任意z1,z2,z3∈C,有
(4)复数乘法的运算律:对于任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1+z2=______
结合律 (z1+z2)+z3=__________
交换律 z1z2=z2z1
结合律 (z1z2)z3=_________
分配律 z1(z2+z3)=_________________
z2+z1
z1+(z2+z3)
z1(z2z3)
z1z2+z1z3
1.(1±i)2=±2i,=i,=-i.
2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,其中n∈N;i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,其中n∈N.
3.|2,|z1z2|=|z1||z2|,,|zn|=|z|n.
4.复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环.
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.(　 　)
(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.(　 　)
(3)方程x2+x+1=0没有解. (　 　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模. (　 　)
基础检测
×
×
×
√
2.(人教A版必修第二册P69例1改编)若复数z=m2-m-2-(m+1)i(m∈R,i为虚数单位)为纯虚数,则m的值为__.
解析:由z为纯虚数,得解得m=2.
2
3.(人教A版必修第二册P94复习参考题7T1(2)改编)已知i是虚数单位,则复数.
解析:由题意可得,i,所以复数i.
i
4.(人教A版必修第二册P95复习参考题7T1(3)改编)已知复数z=(m2-2)+(m-1)i在复平面内对应的点位于第二象限,则实数m的取值范围为____________.
解析:∵复数z=(m2-2)+(m-1)i在复平面内对应的点(m2-2,m-1)位于第二象限,∴m2-2<0,且m-1>0,∴1(1,)
关键能力　提升
考点1 复数的概念
【例1】　(1)(2025·全国一卷)(1+5i)i的虚部为 (　 　)
A. -1 B. 0
C. 1 D. 6
【解析】　因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i,所以其虚部为1.故选C.
C
(2)(人教A版必修第二册P69例1改编)若复数z=(2+i)(1+ai)(a∈R)为纯虚数,则|z|= (　 　)
A. B.3
C. D.5
【解析】　因为z=(2+i)(1+ai)=(2-a)+(2a+1)i,z为纯虚数,所以a=2,
z=5i,所以|z|=5.故选D.
D
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
规律总结
【对点训练1】　(1)(2025·四川达州二模)若复数z=的实部为0,则实数a的值为(　 　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析:依题意得z=i,由z的实部为0,a∈R,得a=1.故选C.
C
(2)(人教A版必修第二册P73习题7.1T3改编)已知a,b均为实数,(2+i) (1+ai)=i(b+i),则ab=____.
解析:由(2+i)(1+ai)=i(b+i),可得2+2ai+i-a=-1+bi,故2-a=-1,2a+1=b,得a=3,b=7,所以ab=21.
21
考点2 复数的四则运算
【例2】　(1)(2025·全国二卷)已知z=1+i,则=(　 　)
A.-i B.i
C.-1 D.1
【解析】　因为z=1+i,所以=-i.故选A.
A
(2)(2025·山东济南三模)设复数z=,则=(　 　)
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
【解析】　因为z==1+i,故=1-i.故选B.
B
(3)(2025·河北秦皇岛一模)已知复数z=,则z的虚部为 (　 　)
A.-1 B.-
C.i D.1
【解析】　依题意,复数z==i,所以z的虚部为1.故选D.
D
1.复数的乘法类似于多项式的乘法运算.
2.复数的除法关键是分子、分母同乘分母的共轭复数.
规律总结
【对点训练2】　(1)(2025·北京卷)已知复数z满足i·z+2=2i,则|z|= (　 　)
A.
C.4 D.8
解析:由i·z+2=2i可得,z==2+2i,所以|z|=.故选B.
B
(2)(2026·山东青岛一模)若(1+2i)z=5,则z·= (　 　)
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:z==1-2i,所以=1+2i,所以z·=(1-2i)(1+2i)=5.故选C.
(3)(2025·天津卷)i是虚数单位,.
解析:因为=-i(3-i)=-1-3i,所以.
C
考点3 复数的几何意义
【例3】　(1)(2025·河北张家口三模)已知复数z=(2+i)2i3,则z在复平面内对应的点位于 (　 　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】　z=(2+i)2i3=(3+4i)(-i)=4-3i,z在复平面内对应的点的坐标为(4,-3),它位于第四象限.故选D.
D
(2)已知复数z满足|z|=1,则|z-3-2i|的最小值为 (　 　)
A.+1
C.+1
【解析】　设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=1 a2+b2=1;而|z-3-2i|=
,故|z-3-2i|的最小值为-1.故选C.
C
1.复数z=a+bi(a,b∈R) Z(a,b) =(a,b)(O为原点).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此解题时可运用数形结合的方法,把复数、向量与解析几何联系在一起,使问题的解决更加直观.
规律总结
一
一
【对点训练3】　(1)(2025·湖南长沙二模)在复平面内,O为坐标原点,复数1-i,-1+2i对应的向量分别是,,则对应的复数为 (　 　)
A.-2+3i B.i
C.2-3i D.-i
解析:因为复数1-i,-1+2i在复平面内对应的点为M(1,-1),N(-1,2),即=(1,-1),=(-1,2),所以=(-1,2)-(1,-1)=(-2,3),则对应的复数为-2+3i.故选A.
A
(2)已知复数z满足|z-2i|=1,则|z|的最大值为 (　 　)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则|z-2i|=|a+bi-2i|=|a+(b-2)i|=1,可得=1,即a2+(b-2)2=1,复数z在复平面内对应的点在以(0,2)为圆心,1为半径的圆上,由|z|=
+1=3,即|z|的最大值为3.故选D.
D
考点4 复数与方程
【例4】　(多选)若复数z1,z2是方程x2-6x+10=0的两个根,则(　 　)
A.z1+z2=-6 B.z1-z2为纯虚数
C.|z1|=|z2| D.z1=
【解析】　由x2-6x+10=0,可得(x-3)2=i2,则x=3±i,则z1+z2=6,z1-z2=±2i是纯虚数,|z1|=|z2|=,=z1.故选BCD.
BCD
1.对实系数一元二次方程来说,求根公式、根与系数的关系、判别式的功能没有变化,仍然适用.
2.对复系数(至少有一个系数为虚数)方程,判别式判断根的功能失去了,其他仍适用.
规律总结
【对点训练4】　已知5-2i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根,则m=(　 　)
A.10 B.-10
C.5 D.-5
解析:因为5-2i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根,所以关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的另一个根为5+2i,所以(5-2i)+(5+2i)=-m,解得m=-10.故选B.
B
【例】　(多选)设z1,z2,z3为复数,z1≠0.下列命题中正确的是 (　 　)
A.若|z2|=|z3|,则z2=±z3
B.若z1z2=z1z3,则z2=z3
C.若=z3,则|z1z2|=|z1z3|
D.若z1z2=|z1|2,则z1=z2
BC
【解析】　对于A,由复数模的概念可知,由|z2|=|z3|不一定能得到z2=±z3,例如z2=1+i,z3=1-i,故A错误;对于B,由z1z2=z1z3可得z1(z2-z3)=0,因为z1≠0,所以z2-z3=0,即z2=z3,故B正确;对于C,因为|z1z2|=|z1||z2|,|z1z3|=|z1|·|z3|,=z3,z1≠0,所以||=|z2|=|z3|,所以|z1z2|=|z1z3|,故C正确;对于D,取z1=1+i,z2=1-i,显然满足z1z2=|z1|2,但z1≠z2,故D错误.故选BC.
本题考查复数的运算性质,不再是单纯考查复数的基础运算或基本概念,体现新高考“反套路”的新趋势,复习过程中不能只关注一类题型,需要各类题型均有涉猎.
创新解读
高考真题 教材典题
1.(2024·新课标Ⅰ卷)若=1+i,则z= (　　) A.-1-i　　　　　　　B.-1+i C.1-I D.1+I 1.(人教A版必修第二册P79例5)计算(1+2i)÷(3-4i).
考教衔接
C
解析:因为=1+i,所以z=1+=1-i.故选C.
高考真题 教材典题
2.(2022·全国乙卷文)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则 (　 　) A.a=1,b=-1　　　　 B.a=1,b=1 C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 2.(人教A版必修第二册P73习题7.1T3)求适合下列方程的实数x与y的值:
(1)(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i;
(2)(x+y-3)+(x-4)i=0.
A
解析:因为a,b∈R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得a=1,b=-1.故选A.
课时作业40
1.(5分)(2025·湖南娄底二模)已知z=(a∈R)为纯虚数,则a=(　 　)
A.1 B.2
C.2 D.4
解析:依题意得z==(a-2)-2i,由z为纯虚数,得a-2=0,所以a=2.故选C.
基础巩固
C
2.(5分)(2025·辽宁沈阳二模)复数z=的虚部是(　 　)
A.-1 B.-i
C.i
解析:z=i,虚部为.故选C.
C
3.(5分)(一题多解)(2026·T8联考)已知复数z满足2z+1=(3-z)i,则z·=(　 　)
A.4　　　 B.2
.
解析:方法一　由已知得(2+i)z=3i-1,∴z=,∴|z|=,∴z·=|z|2=2.故选C.
方法二　由已知得(2+i)z=-1+3i,∴,∴z·=|z|2=2.故选C.
C
4.(5分)(2025·山东聊城二模)复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z在复平面内对应的点位于 (　 　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为=i,所以z=i(3+i)=-1+3i,则其在复平面内对应的点的坐标为(-1,3),位于第二象限.故选B.
B
5.(5分)(2025·广东佛山三模)复平面内A,B两点对应的复数分别是1+3i,
-2+i,向量对应的复数为z,则|z|=(　 　)
A.17 B.
C.13 D.
解析:由题意可得,A(1,3),B(-2,1),则=(-3,-2),所以z=-3-2i,所以|z|=.故选D.
D
6.(5分)(2025·山东枣庄二模)设z=1+i2 025,则+z=(　 　)
A.3+i B.3-i
C.1+i D.1-i
解析:由题意得z=1+i,则=1-i,所以+z=(1+i)(1-i)+1+i=2+1+i=3+i.故选A.
A
7.(5分)(人教B版必修第四册P42习题10-2AT7改编)设复数z满足|z|=1,则当|z++i|取最大值时,复数z为 (　 　)
A.i
C.i
A
解析:设z=x+yi(x,y∈R),复数z满足|z|=1,即x2+y2=1,故z在复平面内对应的点在单位圆上,则|z++i|表示单位圆上的点到Q(-,-1)的距离.如图,圆O为单位圆,连接QO并延长,设与单位圆的另一个交点为M,则单位圆上的点到Q(-,-1)的距离的最大值为|QM|,易知tan∠MOx=,所以∠MOx=30°,又|OM|=1,所以M,对应的复数为i.故选A.
8.(5分)(2025·山东青岛三模)若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则b,c的值分别为 (　 　)
A.b=-2,c=5 B.b=2,c=5
C.b=-2,c=-5 D.b=2,c=-5
A
解析:因为1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,所以根据实系数方程的复数根成对出现的性质,可知方程的另一个根为1-2i. 对于方程x2+bx+c=0,由根与系数的关系可得两根之和x1+x2=-b,其中x1=1+2i,x2=1-2i,则(1+2i)+(1-2i)=-b,即2=-b,解得b=-2. 由根与系数的关系可知两根之积x1x2=c,则(1+2i)(1-2i)=c.可得(1+2i)(1-2i)=12-(2i)2=1-4i2=5,即c=5.所以b的值为-2,c的值为5.故选A.
9.(6分,多选)若复数z满足zi=1-i,则下列结论正确的有 (　 　)
A.z的虚部是-1
B.|z|=
C.z2=2
D.z是方程x2+2x+2=0的一个根
解析:对于A,B,zi=1-i z==-1-i,则|z|=,故A,B正确;对于C,z2=(-1-i)2=2i,故C错误;对于D,(-1-i)2+2(-1-i)+2=0成立,故D正确.故选ABD.
ABD
10.(6分,多选)(2025·浙江金华二模)已知复数z1,z2互为共轭复数,则(　 　)
A.|z1|=|z2|
B.z1z2=|z1|·|z2|
C.|z1-z2|2=-(z1-z2)2
D.
ABC
解析:设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,对于A,|z1|=|z2|=,故A正确;对于B,z1z2=a2+b2,|z1|·|z2|=a2+b2,故B正确;对于C,z1-z2=2bi,|z1-z2|2=(2b)2=4b2,-(z1-z2)2=-(2bi)2=4b2,故C正确;对于D,设z1=1+i,z2=1-i,则=i,则=|i|2=1,=i2=-1,故D错误.故选ABC.
11.(6分,多选)(人教A版必修第二册P74习题7.1T7,T8改编)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,在复平面内对应点Z,下列结论正确的是(　 　)
A.点P0的坐标为(1,2)
B.复数z0的共轭复数在复平面内对应的点与点P0关于虚轴对称
C.点Z在一条直线上
D.点P0与点Z之间的距离的最小值为
AC
解析:设复数z=a+bi(a,b∈R),因为|z-1|=|z-i|,所以(a-1)2+b2=a2+(b-1)2,得a=b.对于A,由复数z0=1+2i,可得在复平面内z0对应的点为P0(1,2),故A正确;对于B,由z0=1+2i,可得=1-2i,所以在复平面内对应的点为P(1,
-2),与P0(1,2)关于实轴对称,故B错误;对于C,由a=b,知复数z=a+bi在复平面内对应的点为Z(a,a),在直线y=x上,故C正确;对于D,P0(1,2)与Z(a,a)之间的距离的最小值为点P0(1,2)到直线y=x的距离,即,故D错误.故选AC.
12.(5分)(2026·北京西城区一模)设i为虚数单位,则________.
解析:i.
13.(5分)(2025·山西临汾三模)已知m∈R,复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i为纯虚数,则m=__.
解析:由题意可得解得m=2.
i
2
14.(5分)(2025·湖北黄冈一模)若z=-1+i,z6=a+bi(a,b∈R),则a+b=____.
解析:因为z=-1+i,所以z6=(-1+i)6=[(-1+i)2]3=(-2-2i)3=(-2-2i)2(-2-2i)=(-8+8i)·(-2-2i)=64.又z6=a+bi(a,b∈R),所以则a+b=64.
64
15.(6分,多选)(2025·江苏南通三模)已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,O为坐标原点,则下列说法正确的有 (　 　)
A.若z1-z2<0,则z1B.若=0,则|z1|=|z2|
C.若|z1+z2|=|z1-z2|,则=0
D.若,则z1z2=0
BC
素养提升
解析:对于A,z1-z2<0,如z1=1+i,z2=2+i,此时z1与z2无大小关系,故A错误;对于B,=0,∴,∴||,∴|z1|2=|z2|2,∴|z1|=|z2|,故B正确;对于C,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),|z1+z2|=|z1-z2|,即
,则ac+bd=0,=ac+ bd=0,故C正确;对于D,设=(1,1),=(1,-1),此时=0,但z1z2=2≠0,故D错误.故选BC.
16.(6分,多选)(2025·山东泰安三模)定义复数运算:z1 z2=+z1z2,已
知z=1+2i,若复数ω满足z ω=10,则 (　 　)
A.ω可以是3+i
B.|ω|的最小值是
C.ω在复平面内对应的点不可能位于第二象限
D.zω的实部是5
BCD
解析:设ω=a+bi(a,b∈R),代入z ω=10,即(1-2i)(a-bi)+(1+2i)(a+bi)=10,解得a-2b=5.对于A,3-2=1不满足a-2b=5,故A错误;对于B,|ω|=,故|ω|的最小值是,故B正确;对于C,a-2b=5 b=,所以ω在复平面内对应的点的坐标为,当>0时,a>5,所以该点不可能位于第二象限,故C正确;对于D,zω=(1+2i)(a+bi)=a-2b+(2a+b)i,其实部为a-2b,因为a-2b=5,即其实部为5,故D正确.故选BCD.
17.(5分)复数z=i+2i2+3i3+…+2 026i2 026的虚部是(　 　)
A.1 012 B.1 013
C.-1 013 D.-1 012
解析:因为z=i+2i2+3i3+…+2 026i2 026①,z·i=i2+2i3+3i4+…+2 026i2 027②,所以①-②,得z·(1-i)=i+i2+i3+…+i2 026-2 026i2 027=-1+2 027i,所以z==-1 014+1 013i,所以z的虚部是1 013.故选B.
B
创新训练（创新考法）
本课结束

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