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2026年湖北省高中数学竞赛预赛试题
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分：
已知xER山y>0,集合A=+x+-x=X,B=-以).若A=B则2+yE
2已知正整数ah.cd满足：1og,b=专·ogd:了
=4c-a=65.则d-b=
3.随机投掷3枚质地均匀的正方体假子(6个面的点数分别为1、2,3,4,5,6)，则3枚骰子正面
朝上的点数之和为完全平方数的概率为一：
4.在△ABC中，∠CAB=120°、作AD⊥AB交BC于点D,若AB=CD=1,则BD=
5.设a,=2、nc.i,其中i为虚数单位.n∈N.设所有能表示为pa+p,a4,++Ps0s形式
的数之和为复数T,则T=
6.在正三棱锥P-ABC中，D为PB的中点，E为PC的靠近P点的三等分点，且AD⊥DE.设PA=2,
则三棱锥P-ABC的体积为
7.在△QAC中，B,D分别在QC,OA上，AB和CD交于点P,直线PQ分别与DB,AC交于点M,N,
若QM=2.N=3,则MP=
8.一个各位数字互不相同的四位数M是完全平方数，它的各位数字之和N和M也都是完全平方数.
这样的四位数M共有
个.
二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
9(本题满分16分)设么B是椭圆：+y=1上不同于顶点的两个动点，O为坐标原点，直线
010B的斜率分别记为k,如果椭圆r上存在点C满足OC=cos60O1+s血8O丽，其中0e(0,孕，
(1)证明：k·k2为定值；
(2)求OAOB1的最大值.
10.(本题满分20分)已知a,b都是正整数，函数f(x)=ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点
A(m,0)、B(n,0),如果|m1,|n1,求a+b的最小值.
11.(本题满分20分)设a,b,c,d为实数，如果不等式acosx+bsinx+ccos2x+dsin2x≥-1对任意x∈R
恒成立，求证：2+b2+c2+d2≤3.

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