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广东茂名市2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数，，则( )
A. B. C. D.
2.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
3.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知复数满足，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
8.已知是边长为的等边三角形，是圆的直径，若点为圆上一动点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.在下列各组向量中，不可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.已知，是复数，则下列说法正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D.
11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，小球从最低点出发，经过秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是( )
A.
B. 秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为
C. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则
D. 当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.设点，，是直线上一点，当时，点的坐标为 ．
13.如图，在中，已知弦，则 ．
14.设，是关于的方程的两个虚数根，若，，在复平面内对应的点构成直角三角形，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知向量与的夹角为，且．
求的值；
求的值；
求向量与向量的夹角．
16.在中，角的对边分别为，已知．
求角的大小；
若，，求的面积；
若，求周长的取值范围．
17.已知是虚数，，，且．
求的值和的实部的取值范围；
求证：为纯虚数；
求的最小值．
18.图所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图，单位：表示在时间单位：时，过山车看作质点离地平面的高度，轨道最高点距离地平面，最低点距离地平面，当时，过山车到达最高点，当时，过山车到达最低点，设
求，，，的值；
求入口处离地平面的高度；
求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长．
19.如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与、正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．
在仿射坐标系中，若，求；
在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为向量与的夹角为，且，
则．
因为向量与的夹角为，且，且．
可得．
设向量与向量的夹角为，
可得，
因为，可得，所以向量与向量的夹角为．
16.解：在中，由正弦定理得为外接圆半径．
，．
代入得．
，，
两边同时约去，得，即．
又，．
，，，
由余弦定理得，
代入得，
即，整理得．
解得或边长为正，舍去．
的面积．
由余弦定理得，
即．
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
，
，即，当且仅当时等号成立．
又三角形两边之和大于第三边，，
，
的周长．
17.解：设，且，则．
因，得出为实数，那么，．
．
，因为，所以，．
证：，且得．
因此为纯虚数．
由上题得，，，那么．
设，那么．
其最小值在时取得，即，因为，所以，
因此时取得最小值且最小值为．
18.解：高度最大值为，最小值为，
，解得，．
从最高点到最低点的时间间隔为半个周期，
，即，．
．
将，代入得，即，
，．
由知，
入口处对应，．
即入口处离地面高度为．
令，即，化简得．
函数周期，取一个周期，则．
由，得，即，
解得．
时长为．
19.解：由题意可知，、的夹角为，
，则，
．
由，，得：，，
则，
与的夹角为，
解得．
依题意设、，且，，
为的中点，
为中点，同理可得：
由题意可知，，，
在中依据余弦定理得：
代入上式得：
在中，由正弦定理：
设，则，且，
，
，其中为锐角，且，
，则，
故当时，取最大值，
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