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5.2　简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形的性质
一、选择题
1．等边三角形对称轴的条数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，AB∥CD，点E在BC上，DE＝EC，若∠B＝35°，则∠BED＝(　　)
A．60°　　B．65°　　C．70°　　D．75°
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，AD＝AC，连接CD，则∠BCD等于(　　)
A．15°　　B．20°　　C．22.5°　　D．30°
4．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(　　)
A．10　 　B．5　 　C．4　 　D．3
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，则下列结论中不一定正确的是(　　)
A．∠B＝∠C　　B．BD＝CD C．∠BAD＝∠BAC　　D．AB＝2BD
6．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　　)
A．45°　　B．39°　　C．29°　　D．21°
7．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，则BE的长为(　　)
A．7　 　B．8　 　C.　 　D．9
8．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE，连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为(　　)
A．40°　　B．45°　　C．55°　　D．70°
9．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠3＝60°，则∠1＋∠2＝(　　)
A．60°　　B．90°　　C．120°　　D．150°
10．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是( )
A．45° B．39° C．29° D．21°
11．如图，在△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是(　　)
A．3　　 B．4　 　C．5　 　D．6
二、填空题
12．若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为________°.
13．若等腰三角形的一个内角为75°，则该等腰三角形的顶角的度数为　 　.
14．等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为________．
15．已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角的度数是________．
16．如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为________.
17．如图，a∥b，∠ABC＝50°.若△ABC是等腰三角形，则∠α＝__________________．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.试说明：∠CBE＝∠BAD.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC.
(1)试说明：△ABE≌△ACF；
(2)若∠BAE＝30°，求∠ADC的度数．
20．如图，∠AOB是一建筑钢架，∠AOB＝10°，为了使钢架更加稳固，需要在内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管的长度都与OE的长度相等，则最多能添加多少根这样的钢管？
21．如图所示，△DAC，△EBC均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，AE交CD于点M，BD交CE于点N，连接MN.
求证：(1)AE＝BD；
(2)CM＝CN.
22．在△ABC中，AB＝AC.
(1)如图①，若∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝________°；
(2)如图②，若∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝________°；
(3)思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：________________________________；
(4)如图③，若AD不是BC上的高，AD＝AE，上述关系是否仍成立？请说明理由．
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参考答案
一、选择题
1．等边三角形对称轴的条数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
2．如图，AB∥CD，点E在BC上，DE＝EC，若∠B＝35°，则∠BED＝(　　)
A．60°　　B．65°　　C．70°　　D．75°
【答案】C
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，AD＝AC，连接CD，则∠BCD等于(　　)
A．15°　　B．20°　　C．22.5°　　D．30°
【答案】C
4．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(　　)
A．10　 　B．5　 　C．4　 　D．3
【答案】B
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，则下列结论中不一定正确的是(　　)
A．∠B＝∠C　　B．BD＝CD C．∠BAD＝∠BAC　　D．AB＝2BD
【答案】D
6．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　　)
A．45°　　B．39°　　C．29°　　D．21°
【答案】B
7．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，则BE的长为(　　)
A．7　 　B．8　 　C.　 　D．9
【答案】D
8．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE，连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为(　　)
A．40°　　B．45°　　C．55°　　D．70°
【答案】C
9．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠3＝60°，则∠1＋∠2＝(　　)
A．60°　　B．90°　　C．120°　　D．150°
【答案】C
10．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是( )
A．45° B．39° C．29° D．21°
【答案】B
11．如图，在△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是(　　)
A．3　　 B．4　 　C．5　 　D．6
【答案】B
二、填空题
12．若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为________°.
【答案】100
13．若等腰三角形的一个内角为75°，则该等腰三角形的顶角的度数为　 　.
【答案】30°或75°
14．等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为________．
【答案】6
15．已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角的度数是________．
【答案】40°或100°
16．如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为________.
【答案】100°
17．如图，a∥b，∠ABC＝50°.若△ABC是等腰三角形，则∠α＝__________________．
【答案】100°或130°或115°
三、解答题
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.试说明：∠CBE＝∠BAD.
解：因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，
所以AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.
因为BE⊥AC，
所以∠BEC＝∠ADC＝90°.
所以∠CBE＝90°－∠C，∠CAD＝90°－∠C.
所以∠CBE＝∠CAD.
所以∠CBE＝∠BAD.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC.
(1)试说明：△ABE≌△ACF；
(2)若∠BAE＝30°，求∠ADC的度数．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF(SAS)　
(2)∵△ABE≌△ACF，∠BAE＝30°，∴∠BAE＝∠CAF＝30°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠ADC＝＝75°
20．如图，∠AOB是一建筑钢架，∠AOB＝10°，为了使钢架更加稳固，需要在内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管的长度都与OE的长度相等，则最多能添加多少根这样的钢管？
解：因为OE＝EF，所以∠EFO＝∠EOF＝10°，
所以∠FEO＝180°－∠EOF－∠EFO＝160°，
所以∠FEG＝180°－∠FEO＝20°.
因为EF＝FG，所以∠FGE＝∠FEG＝20°，
所以∠OFG＝180°－∠EOF－∠FGE＝150°，
所以∠GFH＝180°－∠OFG＝30°.
依次类推，当最后一根钢管与∠AOB的某一边垂直时，一共添加了8根钢管，即最多能添加8根这样的钢管.
21．如图所示，△DAC，△EBC均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，AE交CD于点M，BD交CE于点N，连接MN.
求证：(1)AE＝BD；
(2)CM＝CN.
证明：(1)因为△DAC，△EBC均是等边三角形，
所以AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°.
所以∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE.
即∠ACE＝∠DCB.
在△ACE和△DCB中，因为
所以△ACE≌△DCB(SAS)．
所以AE＝DB.
(2)由(1)可知，△ACE≌△DCB，
所以∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN.
因为△DAC，△EBC均是等边三角形，
所以AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°.
又因为点A，C，B在同一条直线上，
所以∠DCE＝180°－∠ACD－∠BCE＝180°－60°－60°＝60°，即∠DCN＝60°.
所以∠ACM＝∠DCN.
在△ACM和△DCN中，因为
所以△ACM≌△DCN(ASA)．
所以CM＝CN.
22．在△ABC中，AB＝AC.
(1)如图①，若∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝________°；
(2)如图②，若∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝________°；
(3)思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：________________________________；
(4)如图③，若AD不是BC上的高，AD＝AE，上述关系是否仍成立？请说明理由．
解：(1)15
(2)20
(3)∠BAD＝2∠EDC
(4)上述关系仍成立．理由如下：
因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED.
所以∠BAD＋∠B＝180°－∠ADB＝∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠AED＋∠EDC.
因为∠DEC＝180°－∠AED＝180°－∠C－∠EDC，所以∠AED＝∠C＋∠EDC.
所以∠BAD＋∠B＝∠EDC＋∠C＋∠EDC＝2∠EDC＋∠C.
又因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.
所以∠BAD＝2∠EDC.
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
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