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广东省东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则的虚部为
A. B. C. D.
2.已知向量，且则( )
A. B. C. D.
3.如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为( )
A. B. C. D.
4.在中，为的中点，为上一点，则( )
A. B. C. D.
5.在中，内角所对应的边分别是，若，则( )
A. B. C. D.
6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7.已知向量，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若为虚数单位，则
B. 若为纯虚数，则是实数
C. 复数的共轭复数为
D. 复数在复平面内对应的点位于第三象限
10.已知平面向量，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 与的夹角为
11.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．某半正多面体由个正方形和个正六边形构成，其也可由正八面体由八个等边三角形构成，也可以看作上、下两个正四棱锥黏合而成切割而成．在如图所示的半正多面体中，若其棱长为，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若平面平面，则
C. 该半正多面体的体积为
D. 该半正多面体的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正方体中，直线与直线所成角的大小为 ．
13.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为 ．
14.如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量与的夹角为，且，．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知复数，，是虚数单位．
若复数是纯虚数，求的值：
当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且．
求．
设的面积为，且，．
求的值；
求的面积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为棱的中点，平面与棱交于点．
求证：平面；
求证：为的中点；
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
在中，内角对应的边分别为，，，．
求；
若为线段内一点，且，求线段的长；
法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值．
参考答案
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15.解：因为向量与的夹角为，且，，
则．
因为向量与的夹角为，且，，且，
可得
16.解：由题可得，，且，
由得或，由，得，
故．
当时，，
代入关于的方程，得，
整理得，，
因为为实数，所以
解得，故实数的值分别为，．
17.解：由正弦定理，可得，
所以，化简得，
即，可得，
因为，所以，可得；
由余弦定理得，
结合，可得；
因为，所以，即，
由余弦定理得，即，整理得，
将代入上式，化简得，解得舍负；
所以的面积．
18.解：连接交于，连接，如下图：
由为平行四边形，则为中点，又为棱的中点，
所以为中位线，则，
又面，面，故平面；
由题设知：，面，面，
所以面，又面，面面，
所以，又为棱的中点，即是的中位线，故F为的中点；
存在使得平面且，理由如下：
为中点，连接，
由题设且，由知且，
所以且，即为平行四边形，所以，
而面，面，所以面，故所求点即为点，
则上存在点使得平面，且．
19.由，得，
即，在中，由正弦定理得，
由余弦定理得，而，
所以．
由，得，
则，
所以．
依题意，
，
当且仅当为正三角形时取等号，所以所求的最小值为．
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