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江苏南通市如东县2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报项，则不同的报名方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，且，，则线性相关程度最强的是( )
A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组
3. 某足球联赛共有支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛次，则共要进行比赛的场次数量为( )
A. B.
C. D.
4.某厂用甲、乙两台机器生产同样的零件，它们的产量各占，．而各自的产品中废品率分别为，．则该厂这种零件的废品率是
A. B. C. D.
5.设，则( )
A. B. C. D.
6.已知随机变量分布，则其方差的最大值是( )
A. B. C. D.
7.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
8.将一个各面都涂了油漆的正方体切割为个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，的取值如下表所示，由散点图分析可知与线性相关，且回归直线方程为，则( )
A. B. 该经验回归直线必过
C. 变量，呈正相关 D. 可预测当时，约为
10.已知随机事件，且，，，则( )
A. B. C. D.
11.“算两次”是指将一个量用两种方法分别算一次，由结果相等得到等式，这是一种非常有用的思想方法．如由等式知左右两侧含项的系数相等．则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中含项的系数是 ．
13.已知，，则 ．
14. 某公司团建活动中，人围成一圈进行击鼓传花游戏，规定先由甲将花传出，每次传花时传花者等可能的传给左右相邻的人，则经过次传花后花在甲手中的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了鉴定新疫苗的效力，将只豚鼠随机地分为两组，其中在一组接种疫苗后，两组都注射了病原菌，其结果列于下表．
发病 没发病 合计
接种
没接种
合计
求；
问：能否有的把握认为疫苗有效？
附：，其中．
16.本小题分
在的展开式中，前项的系数成等差数列．
求展开式中的所有项的二项式系数和；
在展开式中所有项中任取项，求这项均为有理项的指数为整数的项的概率．
17.本小题分
假设某射手每次射击命中目标的概率为现有发子弹，该射手射中目标次就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为．
求；
在的条件下，求该射手第次射击射中目标的概率；
求的概率分布和期望．
18.本小题分
为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法．具体操作如下：假设该鸟类的种群数量为，首先，从保护区中随机捕捉 只该种鸟类，对它们进行标记后放回保护区．经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合．然后，再次从保护区中随机捕捉 只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为．
若，求被捕捉的 只中至少只被标记的概率用组合数表示和；
求使得最大的的值．
19.本小题分
为了研究一种新型电子元件的稳定性，工程师对其进行压力测试．已知该元件在单次测试中正常工作的概率是，且每次测试的结果相互独立．
若，现对该元件进行次测试，记正常工作的次数为，求的分布列；
一个测试序列由连续测试组成，直到元件首次出现故障为止．设为该序列中元件正常工作的次数，定义“稳定指数”为且，求的期望；
现对两个相同的元件同时测进行试，每轮对各进行一次测试记为首次出现“恰好一个元件正常工作”总共进行的测试轮数，若，求．
参考公式：若，则
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，．
零假设：接种疫苗与发病相互独立，即接种疫苗对预防发病无效，
由列联表知：，
根据小概率的独立性检验，有充分证据推断出不成立，故有的把握认为疫苗有效．
16.解：展开式通项为：，其中．
展开式前项系数分别为：
时，系数为；
时，系数为；
时，系数为．
由前项系数成等差数列，得，整理得．
解得或舍去，二项式系数和为．
时，通项为，．
有理项要求为整数，即为偶数，故，共项有理项；
展开式总项数为项
从项中任取项的总组合数：；
从项有理项中任取项的组合数：；
所求概率．
17.解：前次命中目标次，第次命中目标，则
前次命中目标次，第次命中目标，则．
记该射手第次射击射中目标为事件，耗用子弹数为为事件，
则．
所以．
，，，
．
所以．
18.解：由题意，该鸟类种群数量，标记鸟数量为只，重捕只，
设为被标记的鸟的数量，则服从超几何分布，其中总体数量，标记个体数，样本量。
“至少只被标记”的对立事件为“只被标记”。
，故。
。
由题意，服从超几何分布，其中，因为需满足且。
设，要使最大，即需使最大。
。
令，则，
解得。
因为为整数，且当时，递增；
当时，递减，
故时最大，即最大。
19.解：由题意，，
所以，
，
，
．
则的分布列为
因为，所以，
所以，
所以．
记“恰好一个元件正常工作”为事件，
则．
设，
则，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．
因为，
所以或舍去．
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