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2025-2026学年重庆市沙坪坝区南开中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足：是虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知为坐标原点，，，则的重心坐标为( )
A. B. C. D.
3.设，是非零向量，“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，在中，，，设，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知中，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
8.已知点在线段上不含端点，是直线外一点，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为复数，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则是实数
C. 若为纯虚数，则也为纯虚数 D.
10.已知向量，满足：，，，则( )
A. B. 与夹角的余弦值为
C. 在上的投影向量坐标为 D. 的最小值为
11.已知的内切圆半径为，外接圆半径为，外接圆圆心满足，为的外接圆上一动点，且，则( )
A. 为等腰三角形 B.
C. D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则实数 ．
13.若向量，满足：，，则与的夹角为 ．
14.在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数是虚数单位，，且为纯虚数．
求复数；
若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
在锐角中，，，分别为内角，，的对边，，．
若，求的值；
若的面积为，点满足，求线段的长．
17.本小题分
在等腰梯形中，，，，是的中点，点满足其中．
若，且，求的值；
求的取值范围．
18.本小题分
在中，，，为的中点．
求的取值范围；
若，为的中点，为平面上一动点，满足．
求证：为定值；
求的最大值．
19.本小题分
在中，已知，的面积满足：．
求的值；
如图所示，为线段上一点，延长至点，使得，记．
用含的式子分别表示与的面积；
若，求实数的最大值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
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10.
11.
12.．
13.．
14.．
15.
16.

17.
18.
19.
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