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2025-2026学年福建省南安市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的单调递增区间是( )
A. B. ， C. D.
2.设等比数列的前项和为，若，则公比( )
A. B. C. D.
3.已知的展开式中的系数为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为已知输入的问题表达不清晰的概率为，则智能客服的回答被采纳的概率为( )
A. B. C. D.
5.某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要名宇航员同时在个舱中开展，每个人只能去个舱，每个舱至少安排名宇航员，则不同的安排方法的种数为( )
A. B. C. D.
6.已知函数满足，且，设数列满足，则数列的前项和的表达式为( )
A. B.
C. D.
7.甲、乙、丙、丁四名高三毕业生和一名老师站成一排拍照留念，则在甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知，，其中，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. 事件，相互独立 B. 事件，互斥
C. D.
10.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为
11.已知，则下列正确的是( )
A. 直线为的切线
B. 若，则
C. 若在上单调递增，则
D. 设，为曲线在，处的两条切线，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，则 ．
13.已知函数的最小值为，则 ．
14.假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为，每局赌赢可以赢得金币，赌输就要输掉金币赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币；二是手中金币达到预期的金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博记赌徒的本金为金币，求赌徒输光所有金币的概率 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列，，，前项和为，
若是等差数列，求数列的前项和；
若，求．
16.本小题分
已知函数，且．
求的值；
若．
求在上的最大值和最小值；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小于为次品现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
元件甲
元件乙
试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率；
生产一件元件甲，若是正品则盈利元，若是次品则亏损元；生产一件元件乙，若是正品则盈利元，若是次品则亏损元，则在的前提下：
求生产件元件乙所获得的利润不少于的概率；
记，分别为生产件元件甲和件元件乙所得的总利润，试比较和的大小结论不要求证明
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由．
证明：时，在上不存在极值
19.本小题分
有编号为，，，的个空盒子，另有编号为，，，的个球，现将个球分别放入个盒子中，每个盒子最多放入一个球放球时，先将号球随机放入个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个记号球能放入号盒子的概率为．
求；
当时，求；
求．
参考答案
1.
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3.
4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.．
15.
16.
17.解：由频率估计概率可得，
甲元件的样本中正品的概率为，
乙元件的样本中正品的概率为；
设生产的件乙元件中正品件数为，则有次品件，
由题意知，解得：，
又，所以的值为或，
设“生产件乙元件所获得的利润不少于元”为事件，
则；
设生产一件甲元件的利润为，则的所有取值为，，
则，，
所以的分布列为：
，
所以，
设生产一件乙元件的利润为，则的所有取值为，，
则，，
所以的分布列为：
，
所以，
所以．
18.解：当时，，
则，
据此可得，，
函数在处的切线方程为，
即．
令，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，
即，则，解得，
经检验满足题意，故．
即存在满足题意．
证明：因为，，
所以，
令，，
则，
当时，所以在区间上单调递增，
则，
又，所以恒成立，即在上单调递减，
故函数在上不存在极值．
19.解：号球放入号盒中的概率为，此时，号球分别放入，号盒中，
号球放入号盒中的概率为，
欲使号球放入号盒中，则号球需放入号盒中，概率为，
号球放入号盒中，此时号球不能放入号盒中，
综上所述：．
号球放入号，号，号，号盒中的概率为，
此时号球可放入号盒中，
号球放入号盒中的概率为，欲使号球放入号盒中，
则号球需放入号，号，号，，号盒中，概率为，
号球放入号盒时，此时号球不能放入号盒中，
综上，．
号球放入号，号，号，号，，号盒的概率为，
此时，号球可放入号盒中，
号球放入号盒中的概率为，
此时号，号，，号球都可以放入对应的编号的盒中，
剩下编号为是，，，，的球和编号为，，，，的空盒，
此时号盒非空，号球在所有空盒中随机选择一个放入，
此时要让号盒中的放法总数等价于将编号为，，，的球，
按照题设规则放入编号为，，，的盒中号球仍随机选择一个盒子放入，
概率为，
号球放入号盒时，此时号球不能放入号盒中，
，
整理得，
分别有和替换和，可得：
，
由式相减，整理得：，
等于号球不放在号盒的概率，
，
．
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