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2025-2026学年天津市南开区崇化中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生，已知该校初中部和高中部分别有名和名学生，则不同的抽样结果共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
5.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
6.随机变量的分布列为：
则( )
A. B. C. D.
7.离散型随机变量的分布列如下：
若，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
8.甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有张扑克牌，点数分别为，两人各随机出牌张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜次或平局次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则( )
A. B. C. D.
9.已知函数，若函数有个不同的零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知函数有两个极值点，，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若，则 用数字作答
12.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍则任意取出一个零件是合格品的概率为 ；如果任意取出的零件是废品，则它是第二台车床加工的概率为 ．
13.已知随机变量的分布列如表，则的值为 ．
14.某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为已知输入的问题表达不清晰的概率为在某次测试中输入了个问题个问题相互独立，智能客服的回答被采纳次的概率为
15.函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数，是的导函数．
求的值；
求曲线在处的切线方程；
求的最值．
17.本小题分
在的展开式中，前项的系数依次成等差数列．
求展开式中的系数；
求展开式中所有的有理项．
18.本小题分
甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的．
当时，求甲最终获胜的概率；
为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案方案一：最终获胜者得分，失败者得分：方案二：最终获胜者得分，失败者得分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
19.本小题分
已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个号球，一个号球和一个号球；乙袋内装有两个号球，一个号球；丙袋内装有三个号球，两个号球和一个号球．
从甲袋中一次性摸出个小球，记随机变量为号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出个球，若摸出的是号球放入甲袋，摸出的是号球放入乙袋，摸出的是号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出个球求第二次摸到的是号球的概率．
20.本小题分
已知函数，，、，
当时，求函数的极值；
求函数的单调区间；
当时，若在时恒成立，求整数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.．
14.．
15.
16.
17.
18.解：甲在三局两胜制中获胜的两种可能情况：
前两局连胜，其概率为，
前两局一胜一负，第三局胜，其概率为，
所以甲最终获胜的概率为；
方案一：甲获胜得分，失败得分，
甲获胜的概率为，
所以甲失败的概率为，
所以甲获得积分的数学期望为，
方案二：甲获胜得分，失败得分，
甲获胜的概率为，
所以甲失败的概率为，
所以甲获得积分的数学期望为，
则，
令，，
则，
所以在上单调递减，
又因为，
所以当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以当时，选择方案二；当时，选择方案一和方案二相同；当时，选择方案一．
19.
20.
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