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2025-2026学年山东省淄博市桓台县第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有个车次，飞机共有个航班，则乘坐方式的种数共有( )
A. B. C. D.
2.若函数在处可导，则( )
A. B. C. D.
3.函数的极小值为( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，仅有第项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为且导函数为，函数的图像如图，则下列说法正确的是( )
A. 函数的增区间是，
B. 函数的减区间是，
C. 是函数的极大值点
D. 是函数的极大值点
6.已知满足若为增函数，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
10.李清照，齐州章丘今山东省济南市章丘区人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称现将李清照不同的本诗集全部奖励给名同学每人至少会分到本，则下列选项正确的有( )
A. 若刚好每人分到本书，则有种不同的分法
B. 若每人至少分到本书，则有种不同的分法
C. 若刚好有人只分到本书，则有种不同的分法
D. 若每人至多分到本书，则有种不同的分法
11.对于函数，则( )
A. 函数的单调递减区间为，
B.
C. 若方程有个不等实数根，则
D. 对任意正实数，，且，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若直线是曲线与曲线的公切线，则 ．
13.甲、乙、丙、丁等名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有 种用数字作答
14.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式的二项式系数和为．
求；
求的展开式中含的项；
若，求．
16.本小题分
已知函数．
求的最值；
若，求的取值范围．
17.本小题分
甲、乙、丙等名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排人．
若每个社区刚好安排人，则不同的安排方法有多少种？
若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？
若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？
18.本小题分
已知函数
讨论函数的单调性
若函数的极大值为．
求实数的值；
令，实数求证：有两个极小值点，，且
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在上单调递增，求的取值范围；
若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：已知的展开式的二项式系数和为，
则，
解得．
展开式的通项公式为，
令，解得，代入通项公式得．
因为，
令，得，
令，得，
所以．
16.解：由，可得定义域为，且，
当单调递增；
则当单调递减；
所以，无最大值；
因为在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则，
因为方程中，，
故该方程有两个不相等的根，，且，
故有且仅有一个正根，记为，
所以，即，
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
令，
则，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
令，解得或，所以，
易知在上单调递增，
所以，
又，故的取值范围为．
17.解：将名学生平均分成组，
分法数为种，
再将分好的组全排列，安排到个社区，有种，
根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有种；
甲、乙、丙看作一组，有种分法．
将剩下的人分成组，分法数为种，
再将分好的组全排列，安排到个社区，有种，
根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有种；
甲、乙、丙和剩余人中的人形成一组，其余人各一组，有种分法．
再将分好的组全排列，安排到个社区，有种，
根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有种；
综上不同的安排方法有种；
甲、乙、丙分别安排到个社区，有种，
剩下的人每人都可以选择个社区中的任意一个，有种，
根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有种．
18.解：因为函数的定义域为，
所以，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
因为函数的极大值为，由知，
此时函数的极大值为，
所以，解得；
证明：，
则，
可知的定义域为，
构造，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
且当趋近于或时，趋近于，
可知在内值域为，
令，可得，则，
且，令，解得，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
由的单调性和值域可知关于的方程有个不同的实数根，，不妨设，
因为，，则有：
当时，则，可知在内单调递减；
当时，则，可知在内单调递增；
当时，则，可知在内单调递减；
当时，则，可知在内单调递增；
所以有两个极小值点，，
又因为，
则，，
所以．
19.解：由题得，
若时，，
曲线在点处的切线方程为，即；
在上单调递增，，，
由知，
，，，即在上恒成立，
，又，；
若时，在上恒成立，在上单调递增，
不存在极值，不合题意；
若时，，
若时，；
若时，，
在上单调递减，在上单调递增，
无极大值，不合题意；
当时，的定义域为，，
令，得，
若时，，
若时，，
在，上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，极小值为，且，不合题意；
当时，的定义域为，，且，
令，得，且，
若时，；
若时，；
若时，；
若时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，极小值为，且，
，
，
，
，符合题意，
综上所述，．
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