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广东陆丰市2025-2026学年高一下学期期中教学质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简：( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则( )
A. B. C. D.
3.只需要把图象上 ，即可得到的图象．
A. 各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度
B. 各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度
C. 各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度
D. 各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度
4.下列函数中，是奇函数的是( )
A. B. C. D.
5.在中，点在线段上，且，则( )
A. B.
C. D.
6.已知是第四象限角，且，则( )
A. B. C. D.
7.在中，已知，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，当时，取得最大值，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若与是两个单位向量，则
B. 若是非零向量，为非零实数，则与的方向相同
C. 若，则与可以作为基底
D. 若，且与同向，则
10.水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征如图是一个半径为的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 当时，
D. 当时，点到水面的距离的最大值为
11.已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是( )
A.
B. 点是函数的一个对称中心
C. 不等式的解集为
D. 令，则方程在上有个解，且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则 ．
13.请写出一个周期为的函数： ．
14.如图所示，在中，为上一点，且满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量
若，求的值及的模；
在的条件下，是否存在实数，使得与垂直．
16.本小题分
已知，且，提示：求：
的值；
的值．
17.本小题分
已知函数，
求函数的最小正周期；
求函数的单调递减区间和对称中心；
若时，函数有三个零点，求的取值范围．
18.本小题分
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．
下面是某港口在某季节某天时间与水深单位：米的关系表：
时刻 ： ： ： ： ： ： ： ： ：
水深
请用一个函数近似地描述这个港口的水深与时间的函数关系；
一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为米或米以上认为是安全的船舶停靠时，船底只要不碰海底即可，某船吃水深度船底离地面的距离为米．
如果该船是旅游船，：进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间忽略进出港所需时间？
如果该船是货船，在：开始入港卸货，吃水深度以每小时米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，忽略出港所需时间？
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
设函数，试求的相伴特征向量；
记向量的相伴函数为，当时，求的值域；
已知为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 答案不唯一．
14.
15.解：由，
则，得．
即，所以，
所以；
在的条件下可知：
，
与垂直，所以，
解得，
但时，为零向量，
又因为零向量与任意向量均平行，所以与不垂直，
所以不存在实数使得与垂直．

16.解：
，又，
．
由题意得
，
又，所以．

17.解：
．
函数的最小正周期．
令，
解得，
的单调递减区间为，
令，解得，
函数的对称中心为．
，令．
函数有三个零点，
有三个解，即的函数图象与有三个交点，
与有三个交点，
图象如图所示：
在单调递增在单调递减在单调递增，
当时，时，
当时，时，
的取值范围为

18.； 个小时；为了安全，货船在整点时刻时必须停止卸货．
19.解：
的相伴特征向量；
向量的伴随函数为，
所以，
，，，
即，
所以的值域为．
由为的相伴特征向量，可得，
则，
设，，，
，．
又，，．
即．
，，，
又，当且仅当时，和同时等于，这时式成立．在的图象上存在点，使得．
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