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广东茂名市2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等比数列满足若，则( )
A. B. C. D.
2.一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中单位：是小球相对于平衡点的位移，单位：为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.如图是的导函数的图象，则的极小值点的个数为( )
A. B. C. D.
5.曲线其中是自然对数的底数在点处的切线的斜率为
A. B. C. D.
6.若，，，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
7.( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共个节目，则下列结论正确的是( )
A. 若节目与节目相邻，则共有种不同的安排方法
B. 若节目与节目不相邻，则共有种不同的安排方法
C. 若节目在节目之前表演可以不相邻，则共有种不同的安排方法
D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加个节目，现有节目次序不变，则共有种不同的安排方法
10.如图，过原点斜率为的直线与曲线交于两点以下结论中正确的有( )
A. 的取值范围是
B. 函数有两个极值点
C. 当时先减后增且恒为负
D.
11.下列问题属于排列问题的是( )
A. 从人中选人分别去游泳和跳绳
B. 从人中选人去游泳
C. 从班上名男生中选出人组成一个篮球队
D. 从数字，，，中任取三个数组成没有重复数字的三位数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为 ．
13.已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 ．
14.若，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求证：；
设函数．
若时，函数单调递增，求的取值范围；
若函数无零点，求的取值范围．
16.本小题分
若数列的首项，且满足．
求证：是等比数列；
求的通项公式；
求的前项和．
17.本小题分
在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前项和满足．
求数列和的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
随着经济科技的发展，地铁作为绿色出行的交通工具不仅方便而且环保，很受市民的喜爱某城市地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如下表：
乘坐站数
票价元
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站．
若甲、乙两人共付车费元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？
若甲、乙两人共付车费元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？
19.本小题分
已知函数
求函数的单调区间和极值；
若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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12.
13.
14.
15.解：函数的定义域为，．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以在处取得极大值，即最大值，最大值为．
所以；
函数的定义域为，
．
若时，函数单调递增，则在上恒成立，
因为，所以，即在上恒成立．
令，则恒成立，
所以是增函数，所以．
所以的取值范围是；
当时，，所以在定义域上无零点；
当时，，
若，则，；
若，则，则．
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以在处取得极大值，即最大值，最大值为．
若函数无零点，则，所以．
当时，由，得；
又，所以恒成立，无零点．
综上所述，的取值范围是．

16.解：已知，则，
整理得：，
即，又因为首项，
因此是首项为、公比为的等比数列，得证．
由的结论可知，等比数列通项为：，
整理得：．
由可知，，
所以，，
相加整理得：．

17.解：设等差数列的公差为，且，
因为，且，，成等比数列，
所以，即，解得舍，
所以；
数列的前项和满足，
所以当时，，
当时，，
所以由得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
由可得，
所以，
，
由得
，
．

18.解：若甲、乙两人共付车费元，
则其中一人乘坐地铁站数不超过站，另外一人乘坐地铁站数超过站且不超过站，
共有种，
故甲、乙下地铁的方案共有种．
若甲、乙两人共付车费元，则甲比乙先下地铁的情形有两类：
第一类，甲乘地铁站数不超过站，乙乘地铁站数超过站且不超过站，有种
第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过站且不超过站，记地铁第五站至第九站分别为，，
易知甲比乙先下地铁有以下四种情形：
甲站下，乙下地铁方式有种
甲站下，乙下地铁方式有种
甲站下，乙下地铁方式有种
甲站下，乙只能从下地铁，共有种方式，
共有种，
依据分类加法计数原理，得种，
故甲比乙先下地铁的方案共有种．
19.解：，．
令，解得或．
递增 极大值 递减 极小值 递增
的单调递增区间为和，单调递减区间为，
的极大值为，的极小值为．
由可知的极大值为，的极小值为．
当，，作出的大致图象如下：
要使恰有一个实数解，则的图象与的图象有且仅有一个交点，
由图象可得的取值范围为．

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