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湖北鄂州市华容高级中学等校2025-2026学年高二下学期4月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
2.函数的极值点之和为( )
A. B. C. D.
3.已知周期数列为，，，，，，，，，，若从该数列的前项中任选项，则这项都大于的概率为( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，已知点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
5.用个、个、个组成一个十位数，则个相邻的十位数的个数为( )
A. B. C. D.
6.记，则( )
A. B. C. D.
7.某人工智能实验室有名研究员，将他们分配到个不同的人工智能科研项目，若每名研究员只能加入个项目，且每个项目至少需要名研究员，则不同的分配方案数为( )
A. B. C. D.
8.若数列的前项和为，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列，分别是等差、等比数列，则必有( )
A. B.
C. D. ，，成等比数列
10.在四面体中，，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则( )
A. 当仅有一个零点时，
B. 当有三个零点时，
C. 当恰有两个零点，时，
D. 当有三个零点，，时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，，成等差数列，则 ．
13.若直线与曲线相切于点，则 ．
14.如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有 种．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求值；
求在上的极值．
16.本小题分
如图，在正四棱柱中，为的中点，．
当时，若直线与平面垂直，求直线与所成角的正弦值
设，证明：．
17.本小题分
在数列中，，，且．
证明为等比数列，并求的通项公式
设，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在边长为的菱形中，，将沿对角线折起，使点到达点的位置，连接，得到三棱锥，设二面角的大小为，且．
证明：．
若，的中点为，求的长．
若二面角的余弦值为，求的值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在其定义域内单调递增，求的取值范围；
若，且，，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：，
则．
当时，令，得，
令，得，则在上单调递减，
令，得，则在上单调递增，
所以在上的极小值为，在上无极大值．

16.【答案】解：以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，如图所示．
当时，，则，
则，．
因为直线与平面垂直，所以是平面的一个法向量，
所以直线与所成角的正弦值为．
在的坐标系中，，
则，，
所以，
则，
所以
．

17.【答案】解：因为，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，整理得，
解得，又，所以．
由得，
则，
所以，
得，
即，
整理得．

18.【答案】解：取的中点，连接，
四边形是菱形，，即，；
，；
，平面，平面，
平面，．
由知：，，为二面角的平面角，即．
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，以平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，
在菱形中，由，得：，，，
则，，，
由得：；
当时，，，
．
由知：，，
设平面的法向量为，
则，令，解得：，，
，
轴平面，平面的一个法向量，
，
，，解得：，
，，，，则．

19.【答案】解：当时，，则，
则．
因为，所以曲线在点处的切线方程为，
即．
的定义域为．
．
若在其定义域内单调递增，则对恒成立，
即对恒成立．
易知，当时，在上单调递增，所以满足题意．
当时，设，
则．
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
又，所以．
综上，的取值范围是．
由知，当时，在其定义域内单调递增，则在上单调递增，
则在上的最大值为．
由，得，
则．
设，则，当时，，当时，，
所以．
设，，
则，当时，，当时，，
所以．
由，
得，
解得，又，所以的取值范围是．

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