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北京市海淀区教师进修学校2025-2026学年下学期第二学期期中高二数学试题
1.下列求导结果正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
3.下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数图象如下图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 是极大值点
C. 的图象在处的切线的斜率等于
D. 在区间内一定有个极值点
5.已知的展开式中，第项和第项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
6.随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们也不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活．已知某种型号的共享充电宝循环充电超过次的概率为，超过次的概率为，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过次，则其能够循环充电超过次的概率是( )
A. B. C. D.
7.等差数列的公差为，前项和，则“”是“数列为单调递增数列”的( )
A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.对于上可导的任意函数，若当时满足，则必有( )
A. B.
C. D.
9.已知函数，若是函数的唯一的一个极值点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.已知数列满足，则( )
A. 当时，存在使得
B. 当时，存在使得
C. 当时，存在正整数，当时，
D. 当时，存在正整数；当时，
11.函数的单调递增区间是 ．
12.已知，则 ； ．
13.已知，，是公比不为的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为 ．
14.函数；若存在实数，使得对于任意，都有，写出实数的一个取值是 ；若存在不相等的，满足，则实数的取值范围是 ．
15.已知函数，给出下列四个结论：
函数是奇函数；
，且，关于的方程恰有两个不相等的实数根；
已知是曲线上任意一点，，则；
设为曲线上一点，为曲线上一点若，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
16.在等差数列中，
求的通项公式；
若是公比为的等比数列，，求数列的通项及前项和．
17.为了解高二学生阅读时间的分配情况，随机抽取了名高二学生进行在线调查，得到了日平均阅读时间单位：小时，并将样本数据分成九组，绘制成频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
为进一步了解这名学生的时间分配情况，从三组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人．现从这人中随机抽取人，求在内的学生人数恰有人的概率；
从这名学生中随机抽取人，记所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，判断事件和是否互相独立，并说明理由．
18.设函数．
若，求曲线在处的切线方程；
求函数的单调区间：
当时，求零点的个数．
19.网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月号至号的网络搜索量单位：万次如下：
时间 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号
搜索量
时间 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号
搜索量
用频率估计概率．
从号至号中任取天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；
假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的在未来的日子里任取天，试估计这天该疾病搜索量的数据中既有高于万又有低于万的概率；
记表中天的搜索量的平均数为，去除搜索量中最大的个和最小的个后剩余个搜索量的平均数为，试给出与的大小关系结论不要求证明
20.已知函数，其中．
若曲线在点处的切线经过点，求的值；
证明：函数存在极小值；
记函数的最小值为，求的最大值．
21.对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，其中记设集合或，记为集合所含元素的个数．
对以下两个数表，，写出，，，的值；
若中恰有个正数，中恰有个正数．求证：；
当时，求的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】答案不唯一
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解： 设等差数列的公差为，
由题设，得
解得，，
所以．
因为是公比为的等比数列，且，，
所以，
所以，
所以
．
17.【答案】解：频率分布直方图中，每个小矩形的面积组距频率密度该组的频率，
所有小矩形面积之和等于．
各组组距均为，则：，
化简得：，解得：．
由题可知，样本总数为人，组距为，
则可计算得组频率为，人数为；
组频率为，人数为；
组频率为，人数为．
三组总人数为，
从中抽取人，所以抽样比例为．
计算可得组抽人；
组抽人；组抽人
从这人中随机抽取人，总基本事件数为：，
组有人，从中选人：，
其余人从另外两组共人中选：．
则从人中随机抽取人，其中内的学生人数恰有人的概率为：
．
已知频率密度，计算可得出各组频率为：
组频率为，组频率为，
组频率为，组频率为，
组频率为，组频率为，
组频率为，组频率为，
组频率为．
事件：阅读时间在内，包括和两组，．
事件：阅读时间在内，包括、、、四组，
．
事件：阅读时间同时满足和，即区间，．
若与独立，则．
计算可得，
因为，所以，
因此与互相独立．

18.【答案】解：若，则，则，
因为，所以曲线在处的切线方程为；
，令，解得，
因为，
所以，当，即时，在区间，，单调递减；
当时，在区间，，单调递增，
在区间，，单调递减；
综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是．
由可知，当时，在单调递增，在单调递减，
则，
令，则，
因为，所以，此时单调递减，则，
所以，
因为，且，所以在存在一个零点，
因为，
所以在存在一个零点，
故当时，有个零点．

19.【答案】解：记事件为“从号至号中任取天，且该天搜索量比其前后两日的搜索量都低”，
根据数据，知仅有，，，，号这天的搜索量比其前后两日的搜索量都低，
所以从号至号中任取天，该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率
记事件为“在未来的日子里任取天，且这天该疾病搜索量的数据中既有高于万又有低于万”，
根据数据，知在未来的日子里某天该疾病的搜索量高于万的概率可估计为，低于万的概率可估计为，
则，
所以在未来的日子里任取天，估计这天该疾病捜索量的数据中既有高于万又有低于万的概率为
，
最大的三个数为：，最小的三个数为：，
这个数之和为，
故，
故．

20.【答案】解：求导，得，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为，
将点代入切线方程，得．
函数的定义域为．
设函数，则，
由，得，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以存在唯一的，使得，即．
当变化时，与的变化情况如下：
极小值
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
故函数存在极小值．
由知，函数有最小值．
由，得．
所以．
设函数，则．
今，得舍或．
当变化时，与的变化情况如下：
极大值
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
所以当时，，即当时，．
结合，知当时，．
由函数的导数，知其在区间上单调递减，
故当且仅当时．
所以当时，取得最大值．

21.【答案】，；，．
由定义可知：将数表中的每个数变为其相反数，或交换两行列，，的值不变．
因为为奇数，，所以，均不为．
当或时，不妨设，即，．
若，结论显然成立；
若，不妨设，，则，，．
所以，结论成立．
当且时，不妨设，，，，
则当时，；当时，．
因为当，时，，，
所以．
所以．
同理可得：，，．
所以．
当时，的最小值为对于如下的数表，．
下面证明：．
设中恰有个正数，中恰有个正数，．
若或，不妨设，即，．
所以当时，．
由中所有数不全相同，记数表中的个数为，则，
且，．
所以．
由设且若或，不妨设，
则由中结论知：．
因为，
所以．
由设且．
若，则由中结论知：．
因为，
所以．
若，，不妨设，，，且，
由中结论知：所以．
若数表中存在为，将其替换为后得到数表．
因为，，
所以．
所以将数表中第行第列为的数替换为后值变小．
所以不妨设．
因为，，
所以，故的最小值为．

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