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山东青岛市2025-2026学年高二年级部分学生调研检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列的前项和为，数列与函数满足：定义域为；与均单调递减；使则称与具有“关系”给出结论：
与具有“关系”
与具有“关系”
与具有“关系”的函数有有限个
与具有“关系”的函数有无限个
其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
2.桌面上有以下四种几何体，设是几何体表面上的一点，任意转动几何体始终与桌面保持接触，则点到桌面的距离最大的几何体是( )
A. 棱长为的正方体 B. 表面积为的球
C. 轴截面是边长为的正方形的圆柱 D. 体积为且轴截面为直角三角形的圆锥
3.设，，，则( )
A. B. C. D.
4.某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为，最大直径为，双曲线离心率为，则该花瓶的高为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 为奇函数 D. 为偶函数
6.已知，，若为虚数单位，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知平面向量且，则一定共线的三点是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
8.已知集合，，，则、、的关系满足( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某款公交车的车门打开和关闭时，车门在地板上扫过的痕迹边缘如图是一种被称为“星形线”的曲线．图中的曲线就是一条星形线，其方程为，则下列说法正确的是 ．
A. 在上任取一点，则的最小值为
B. 在上任取一点，点与点关于直线对称，点与点关于轴对称，则是等腰直角三角形
C. 若函数的最大值为，则点在该星形线上
D. 若上三点满足，则
10.已知曲线的方程为，则下列结论不正确的是( )
A. 当时，曲线为椭圆，其焦距为
B. 当时，曲线为双曲线，其离心率为
C. 存在实数，使得曲线为焦点在轴上的双曲线
D. 存在实数，使得曲线为焦点在轴上的椭圆
11.下列是四个关于多面体的命题，其中正确的是( )
A. 棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点
B. 四棱锥中，四边形的对角线交点为，若平面，则该四棱锥是正四棱锥
C. 任意一个棱柱的侧面都是矩形
D. 正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，且它的所有顶点在球的表面上，则球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正的边长，，分别为边，的中点，将沿直线翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为 ，此时分别过，作球的两个相切的平面，，设，相交所成的二面角大小为，则 ．
13.从，，，，这个数中随机抽取个互不相同的正整数，，，则能被整除的概率为
14.已知函数，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数，．
讨论函数的单调性；
在中，内角，，所对的边长分别为，，．
若，求的最小值；
证明：．
16.本小题分
已知抛物线上一点到它的准线的距离为若点，，都在抛物线上，且点，在轴右侧、点在轴左侧，的重心在轴上，直线交轴于点且满足，直线交轴于点记，，的面积分别为，，．
求的值及抛物线的准线方程；
求的取值范围．
17.本小题分
设函数．
证明：；
已知函数．
若，求；
若，，，求函数与及围成的曲边三角形的面积．
18.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，，分别为底面的中心和的中点．
求证：平面平面；
若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
19.本小题分
某公司调查员工使用工具熟练度，统计如下表：
熟练使用 不熟练使用
男员工
女员工
根据的独立性检验，能否认为性别与使用熟练度有关？
从男员工按是否熟练使用进行分层抽样，抽取人，再从中抽人，记不熟练人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，令，
所以，
当时，且，所以，所以在上是单调递减，
因为，
所以对于任意，都有，所以当时，，
所以在上单调递减，
当时，且，所以，
所以在上是单调递减，
因为，所以对于任意，有，所以，
所以在上单调递增．
不妨设，则，由可得在上单调递减，
则有，
即，由正弦定理可得，
所以有，
即，
即，整理可得，
当时取等号，故所求最小值为．
因为，，由排序不等式可得，
所以，
所以，
又由，，，
可得
，
可得，所以．

16.解：由题意得，，得，即抛物线方程为，
抛物线的准线方程为．
设点，，
，
因为点为的重心，且在轴上，
所以，且，
则，
由相似三角形可知，
所以
令，
因为，所以，故，
则，故．

17.解：令，则恒成立，
所以是增函数．
所以．
由，
得．
即．
因为，
所以，
所以，
所以．
因此若，则；
若将曲边三角形的边等分成份，则曲边三角形可以看成由个小矩形组成．
把等分成份，在每一个小区间上，取右端点值，对应的函数值为．
所以每个小矩形的面积为：，
所以所有小矩形的面积和为．
当时，，所以．
所以曲边三角形的面积为．

18.解：证明：连接、，
，分别为的中点和的中点，
，
，，
四点、、、共面，
，，且，、平面，
平面，
平面，
平面，
平面平面 ；
分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，
则，，，，
设平面的法向量，则
即，令，则，
，
设平面的法向量，则
即，令，则，，，
，
．

19.解：零假设：使用熟练度与性别无关．
由列联表可知，
根据小概率值的独立性检验，不能认为性别与使用熟练度有关．
从男员工按是否熟练使用进行分层抽样，抽取人，
则熟练使用的有人，不熟练使用的有人，
所以可能的取值为．
，，
，．
的分布列为
的数学期望．

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