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分课时教学设计
第七课时《23.4 实际问题与一次函数（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是学生运用分段函数与一次函数解决多方案决策问题的综合应用课，也是单元知识体系的收官课．教材通过游泳馆年卡套餐、印刷厂收费等实际案例，引导学生建立多个一次函数模型，通过比较函数值大小确定最优方案，实现了“函数建模—分析比较—决策应用”的完整闭环．本课既是对分段函数、一次函数图象与性质、方程与不等式知识的综合巩固，也为后续解决更复杂的实际问题、培养优化决策思维奠定了方法基础，是初中阶段函数应用价值的集中体现，对提升学生的综合思维与问题解决能力具有重要作用．
学习者分析 学生已掌握分段函数解析式的书写、一次函数的图象与性质，能利用方程和不等式解决简单的函数问题，具备初步的建模与数形结合意识．但学生对多方案问题的建模思路不够清晰，难以将不同方案转化为对应的函数模型，对如何通过解方程、不等式或图象比较函数值大小、确定最优方案缺乏系统方法，容易忽略自变量的实际意义与取值范围．同时，学生的综合分析与决策能力仍需强化，需要通过典型案例引导，逐步掌握多方案问题的解决流程，提升知识综合应用能力．
教学目标 1．能建立多个一次函数模型表示不同方案费用． 2．会通过解方程、不等式或图象比较方案优劣． 3．能结合自变量范围确定最优方案．
教学重点 建立多个一次函数模型表示不同方案的费用，能通过解方程、不等式或函数图象比较方案优劣．
教学难点 结合自变量的实际取值范围，通过函数模型分析确定最优方案，理解不同方案的适用条件．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．能建立多个一次函数模型表示不同方案费用． 2．会通过解方程、不等式或图象比较方案优劣． 3．能结合自变量范围确定最优方案．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：说一说利用一次函数解决实际问题的思路？ 预设： 导言：做一件事情，有时有不同的实施方案，从中选择最佳方案是十分必要的．在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数．学生活动2： 学生认真听讲活动意图说明： 以“生活中多方案选择”的现实场景切入，点明本课核心——从数学角度优化决策；同时关联函数模型，为用一次函数分析不同方案搭建方法桥梁，自然引出“建立函数模型、比较方案优劣”的探究主线，激发学生用数学解决实际问题的兴趣．环节三：新知讲解教师活动3： 探究1：下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准． 套餐年卡费用/元套餐内游泳次数/次套餐外单次收费/元A6002040B12005040C1800不限次
选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？ 分析：设年游泳x次，则套餐A，B，C的游泳费用y1，y2，y3都是x的函数．在套餐C中，无论年游泳次数是多少，游泳费用都是1800元，因此，y3＝1800（x≥0）．若能得到y1，y2关于x的函数解析式，则利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象就能比较y1，y2，y3的大小，从而对年卡套餐作出选择． 在套餐A中，考虑游泳费用y1时，要把年游泳次数x分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式 化简，得 这个函数的图象如图所示． 类似地，可以得到刻画套餐B的游泳费用y2关于年游泳次数x的函数解析式 y2＝__________． 答案： 在图中画出y2，y3的图象， 答案： 结合函数图象与解析式，可知： 当年游泳次数______________时，选择套餐A能节省游泳费用； 当年游泳次数______________时，选择套餐B能节省游泳费用； 当年游泳次数______________时，选择套餐C能节省游泳费用． 答案：不超过35次，不少于35次，不超过65次， 不少于65次 归纳：一次函数方案选择类实际问题的解题步骤 （1）建模型：分析每个方案的收费 （或 费用）规则，设出自变量（如次数、数量），写出每个方案对应的函数解析式（注意分段函数要写清自变量范围） ． （2）找分界：令不同方案的函数值相等，解方程求出交点 （分界点），这个点是两种方案优劣的转折点． （3）分区间比较：以分界点为界，分情况讨论：自变量小于分界点时，哪个函数值更小 （或更大）？自变量大于分界点时，哪个函数值更小 （或更大）？ （4）定最优方案：结合自变量的实际取值范围（如非负整数、不超过某个数），确定每个区间内的最优方案．学生活动3： 学生先独立思考，再小组合作探究后班内汇报，然后认真听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过游泳馆年卡套餐案例，引导学生建立多个分段一次函数模型，掌握通过方程、不等式或图象比较函数值、确定最优方案的方法；练习以印刷厂收费问题巩固建模与决策流程，强化分类讨论与优化思维，提升综合应用能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：23.4实际问题与一次函数（第2课时）方案选择类 1.建模型 2.找分界 3.分区间比较 4.定最优方案教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）类5025类20020类40015
例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（ ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 答案：C 2．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 答案：x＞300 3．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 解：（1）根据题意得：，； （2）当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 选做题： 4．随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（ ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 答案：D 【综合拓展类练习】 5．项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 为响应科技强国、人工智能发展的社会热点，某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购智能机器人模型与科创文具作为奖品，激励积极参与科普活动的学生． 学校决定购买款智能机器人模型和款科创笔记本共件，已知款机器人模型单价元/件，款科创笔记本单价元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件款智能机器人模型，剩余奖品均为款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 解：（1）根据题意，得： ，其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． （2）当时，， 故当购买了件款智能机器人模型时，总费用是元． （3）由题意，得， 由（1）可知为， 且， 随的增大而增大， 当时，有最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是款智能机器人模型件，款科创笔记本件，总费用最少是元．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ） A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱 B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱 C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长 D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱 答案：B 2．春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲乙销售方案每盒优惠价元每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折
已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了________盒． 答案： 3．批发门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元，五一来临之际，该门市为促销制定了两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案一：卖一件甲种商品就赠送一件乙种商品； 方案二：按购买金额打八折付款 某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品件． (1)分别写出优惠方案一购买费用y（元）、优惠方案二购买费用y（元）与乙种商品x（件）之间的函数关系式； (2)当时，该公司选择哪一种方案更省钱？ 解：（1）根据题意得：优惠方案一购买费用， 优惠方案二购买费用． （2）当时，优惠方案一购买费用（元）， 优惠方案二购买费用（元）， ∵， ∴该公司选择方案二更省钱． 选做题： 4．某通信公司实行的部分套餐资费标准如下： 套餐类型月费 （元/月）套餐内包含内容套餐外资费国内数据流量（MB）国内主叫（分钟）国内流量国内主叫套餐11810000．29元/MB0．19元/分钟套餐22810050套餐33830050套餐44850050
小明每月大约使用国内数据流量200MB，国内主叫200分钟，若想使每月付费最少，则他应预定的套餐是（ ） A．套餐1 B．套餐2 C．套餐3 D．套餐4 答案：C 【综合拓展类作业】 5．暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 解：（1）学生数为人，甲旅行社收费为元，则， 即； 学生数为人，乙旅行社收费为元，则，即． 故答案为：；； （2）分三种情况比较费用： 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社．
教学反思 本课通过游泳馆套餐案例，学生基本掌握了多方案问题的建模与比较方法，能写出不同方案的函数解析式并进行优劣分析。但部分学生在解方程、不等式比较函数值时计算易出错，对图象交点与方案分界点的对应关系理解不够深入，忽略自变量取值范围的实际意义。后续需增加针对性练习，强化“建模—比较—决策”的完整流程训练，引导学生结合图象与代数方法综合分析，提升决策的严谨性与应用意识．
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同步探究学案
课题 23.4 实际问题与一次函数 （第2课时） 单元 第二十三章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．能建立多个一次函数模型表示不同方案费用． 2．会通过解方程、不等式或图象比较方案优劣． 3．能结合自变量范围确定最优方案．
重点 建立多个一次函数模型表示不同方案的费用，能通过解方程、不等式或函数图象比较方案优劣．
难点 结合自变量的实际取值范围，通过函数模型分析确定最优方案，理解不同方案的适用条件．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：说一说利用一次函数解决实际问题的思路？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助一次函数，研究方案选择类实际问题。 探究1：下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准． 套餐年卡费用/元套餐内游泳次数/次套餐外单次收费/元A6002040B12005040C1800不限次
选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？ 分析：设年游泳x次，则套餐A，B，C的游泳费用y1，y2，y3都是x的函数．在套餐C中，无论年游泳次数是多少，游泳费用都是1800元，因此，y3＝1800（x≥0）．若能得到y1，y2关于x的函数解析式，则利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象就能比较y1，y2，y3的大小，从而对年卡套餐作出选择． 在套餐A中，考虑游泳费用y1时，要把年游泳次数x分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式 化简，得 这个函数的图象如图所示． 类似地，可以得到刻画套餐B的游泳费用y2关于年游泳次数x的函数解析式 y2＝__________． 在图中画出y2，y3的图象， 结合函数图象与解析式，可知： 当年游泳次数______________时，选择套餐A能节省游泳费用； 当年游泳次数______________时，选择套餐B能节省游泳费用； 当年游泳次数______________时，选择套餐C能节省游泳费用． 归纳：一次函数方案选择类实际问题的解题步骤 （1）建模型：分析每个方案的收费 （或 费用）规则，设出自变量（如次数、数量），写出每个方案对应的函数解析式（注意分段函数要写清自变量范围） ． （2）找分界：令不同方案的函数值相等，解方程求出交点 （分界点），这个点是两种方案优劣的转折点． （3）分区间比较：以分界点为界，分情况讨论：自变量小于分界点时，哪个函数值更小 （或更大）？自变量大于分界点时，哪个函数值更小 （或更大）？ （4）定最优方案：结合自变量的实际取值范围（如非负整数、不超过某个数），确定每个区间内的最优方案．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）类5025类20020类40015
例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（ ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 2．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 3．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 选做题： 4．随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（ ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【综合拓展类练习】 5．项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 为响应科技强国、人工智能发展的社会热点，某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购智能机器人模型与科创文具作为奖品，激励积极参与科普活动的学生． 学校决定购买款智能机器人模型和款科创笔记本共件，已知款机器人模型单价元/件，款科创笔记本单价元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件款智能机器人模型，剩余奖品均为款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ） A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱 B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱 C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长 D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱 2．春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲乙销售方案每盒优惠价元每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折
已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了________盒． 3．批发门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元，五一来临之际，该门市为促销制定了两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案一：卖一件甲种商品就赠送一件乙种商品； 方案二：按购买金额打八折付款 某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品件． (1)分别写出优惠方案一购买费用y（元）、优惠方案二购买费用y（元）与乙种商品x（件）之间的函数关系式； (2)当时，该公司选择哪一种方案更省钱？ 选做题： 4．某通信公司实行的部分套餐资费标准如下： 套餐类型月费 （元/月）套餐内包含内容套餐外资费国内数据流量（MB）国内主叫（分钟）国内流量国内主叫套餐11810000．29元/MB0．19元/分钟套餐22810050套餐33830050套餐44850050
小明每月大约使用国内数据流量200MB，国内主叫200分钟，若想使每月付费最少，则他应预定的套餐是（ ） A．套餐1 B．套餐2 C．套餐3 D．套餐4 【综合拓展类作业】 5．暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由．
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第二十三章 一次函数
23.4 实际问题与一次函数
（第2课时）
1．能建立多个一次函数模型表示不同方案费用．
2．会通过解方程、不等式或图象比较方案优劣．
3．能结合自变量范围确定最优方案．
实际问题
建立数学模型
一次函数
y=kx+b(k≠0)
解析式
图象
性质
一次函数
问题的解
计算求解
实际问题
的答案
说一说利用一次函数解决实际问题的思路？
做一件事情，有时有不同的实施方案，从中选择最佳方案是十分必要的．在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数．
探究1：下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准．
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1200 50 40
C 1800 不限次
选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？
分析：设年游泳x次，则套餐A，B，C的游泳费用y1，y2，y3都是x的函数．在套餐C中，无论年游泳次数是多少，游泳费用都是1800元，因此，y3＝1800（x≥0）．若能得到y1，y2关于x的函数解析式，则利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象就能比较y1，y2，y3的大小，从而对年卡套餐作出选择．
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1200 50 40
C 1800 不限次
解：在套餐A中，考虑游泳费用y1时，要把年游泳次数x分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式
化简，得
这个函数的图象如图所示．
类似地，可以得到刻画套餐B的游泳费用y2关于年游泳次数x的函数解析式
y2＝__________．
在图中画出y2，y3的图象
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1200 50 40
C 1800 不限次
y2
50
y3
1 200，0≤x≤50，40x-800，x>50.
结合函数图象与解析式，可知：
当年游泳次数______________时，选择套餐A能节省游泳费用；
当年游泳次数___________________时，选择套餐B能节省游泳费用；
当年游泳次数______________时，选择套餐C能节省游泳费用．
不超过35次
不少于35次，不超过65次
不少于65次
一次函数方案选择类实际问题的解题步骤
（1）建模型：分析每个方案的收费 （或 费用）规则，设出自变量（如次数、数量），写出每个方案对应的函数解析式（注意分段函数要写清自变量范围） ．
（2）找分界：令不同方案的函数值相等，解方程求出交点 （分界点），这个点是两种方案优劣的转折点．
（3）分区间比较：以分界点为界，分情况讨论：自变量小于分界点时，哪个函数值更小 （或更大）？自变量大于分界点时，哪个函数值更小 （或更大）？
（4）定最优方案：结合自变量的实际取值范围（如非负整数、不超过某个数），确定每个区间内的最优方案．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
实际问题与一次函数
方案选择类
建模型
找分界
分区间比较
定最优方案
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】

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