资源简介

卷首导言
目的：本卷所有题目来自2026年5月全国卷地区模考、联考(参见卷末逐题来源表)，专攻会但不熟、有思路但卡壳的中档题.通过关键步骤重复训练，将其转化为稳定得分点.
选题范围：
解析几何：联立、判别式、韦达定理
导数：求导、因式分解、讨论分界点
立体几何：建系、标坐标、求法向量
选填中档题：耗时过长或看过答案才做对的题
大题步骤：会做但过程分总拿不全的题
方法：
1. 只练卡点.每道题不做完整过程，只反复练卡住的那一步.
2. 做完即对.练完一步立刻对照答案，确认是否正确.
3. 一句话总结.每道题旁标注卡壳原因，如“判别式忘检验”“因式分解漏项”.
自查标准：
同一卡点连续3次不出错，视为攻克.
仍出错的，保留至下一轮继续训练.
注意：本卷不追求限时完成，不练压轴难题.目标是把“差一点就对了”变成“想都不用想”.
一、单选题
1.（极值与最值计算）
某乡村振兴项目计划建造一个圆柱形粮食储存仓的钢筋骨架，用于存储当地特色农产品. 现有总长度为240米的钢筋，截成10段制作骨架. 其中两段分别围成圆形作为上下底面的钢筋圈，剩余8段作为粮食储存仓的竖向支撑筋. 此粮食储存仓体积最大时，底面半径的值为（单位：米）（ 　　）
A. B. C. D.
2.（单调性讨论与分界点）
“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（ 　　）
A. B. C. D.
3.（建系与坐标确定）
已知双曲线的左、右焦点分别为、，分别过、作斜率为、的直线、，若和的交点在双曲线上，则的离心率为（ 　　）
A. B. 2 C. D. 3
4.（联立与韦达定理）
已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于两点，过点分别向C的准线作垂线，垂足为，若，AB中点的纵坐标为2，则C的方程为（ 　　）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
5.（恒成立与存在性问题）
记为等差数列的前项和.已知，，若长为的线段能构成三角形，则可以构成三角形的个数为（ 　　）
A. 24 B. 25 C. 26 D. 27
6.（三角恒等变换方向选择）
已知，，则（ 　　）
A. B. C. D.
7.（新定义问题理解与转化）
在简单经济模型中，当需求量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在需求量为m时的点弹性为. 现在某简单经济模型中，当需求量为3时的点弹性为，则当需求量为6时的点弹性为（ 　　）
A. B. C. 1 D. 2
8.（解不等式易错点）
已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
二、多选题
9.（定点定值推导）
已知点A在直线上，点B,C在圆上，若，且，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 当时，直线与圆O相切.
B. 直线OA倾斜角为.
C. 当时，可能为.
D. 若，则r的取值范围为.
10.（数列递推构造）
记为数列的前n项和，若，则（ 　　）
A. B. 为等比数列
C. D. 为等差数列
三、填空题
11.（抽象函数性质运用）
已知函数的定义域为，是偶函数，，，则___________.
四、解答题
12. （解三角形边角互化）（训练范围：第（1）问完整练习化简过程；第（2）问训练正余弦转换及恒等变换）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求.
13. （期望与方差计算）（训练范围：只练分布列与期望方差）
为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主题活动，现有来自剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗项目的传承人各1名，安排到剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗体验工坊进行授课，要求每个工坊安排1名传承人，每名传承人仅在一个工坊授课.
（2）在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为. 如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关. 在参与授课的4名传承人中，记在对应项目工坊授课的传承人数为，不在对应项目工坊授课的传承人数为.
（i） 求随机变量的分布列；
（ii） 求，并说明之间的线性相关关系.
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2026年高考数学考前冲刺四套卷：精准提分卷·参考答案
一、答案速查表
1 2 3 4 5
B B C C B
6 7 8 9 10
A C B ABC ACD
11 12 13
2 （1） 1；（2） （i）分布列见解析；（ii）-1，负相关关系
二、逐题详解
1.（极值与最值计算）
题目简述：已知钢筋总长及圆柱体截取方式，求圆柱体积最大时的底面半径.
卡点步骤：设圆柱的底面半径为米，则高为圆柱的体积对进行求导：，令（常见错误：支撑母线数量8段漏算或圆周长公式混淆，导致体积表达式错误）
后续步骤：解得(舍)，，此时圆柱体积最大.选B.
2.（单调性讨论与分界点）
题目简述：求三次函数在某动区间内存在最小值的充分不必要条件.
卡点步骤：导函数为，令解得或分析可知在单调递减，单调递增，时有极小值.令，解得或据此画出的大致图象，如图．要使在上存在最小值，则需包含极小值点且左侧端点不能低于极小值所在谷底，即（常见错误：区间端点大小比较时，漏掉左端点这一关键限制，忘了求的根）
后续步骤：解得其充分不必要条件可以是选B.
3.（建系与坐标确定）
题目简述：已知双曲线的焦点引两条直线交于曲线上一点，求离心率.
卡点步骤：由题意知直线方程：；直线方程：；联立可得交点坐标：因为交点在双曲线上，代入可得：；代入，两边同乘去分母可得：，两边同除，可得：（常见错误：联立两直线方程时消元出错，未能成功构造齐次式）
后续步骤：解得或；因为双曲线离心率，故选C.
4.（联立与韦达定理）
题目简述：已知抛物线焦点弦、准线垂距之和及中点纵坐标，求抛物线方程.
卡点步骤：设，则两式相减得，则直线AB的方程为令，得由抛物线的定义可知（常见错误：点差法易算错斜率；未将垂线距离利用定义转化为横坐标之和）
后续步骤：解得或，故C的方程为或选C.
5.（恒成立与存在性问题）
题目简述：求能使等差数列相邻三项构成三角形的组数.
卡点步骤：设等差数列首项，公差，解方程组得，通项若长为的线段能构成三角形，需满足任意两边之和大于第三边，即解得同时三角形的最短边必须，解得（常见错误：机械套用两边之和大于第三边，忘了隐藏前提：最短边必须大于0）
后续步骤：因为为正整数，所以，共25个值.选B.
6.（三角恒等变换方向选择）
题目简述：利用已知两角和与差的余弦值，求两角余弦平方和.
卡点步骤：，进一步凑角得 ，利用和差公式展开化简得 （常见错误：没有敏锐察觉降幂后二倍角与和差角的联系，盲目展开导致算式复杂无法收场）
后续步骤：代入数值得 选A.
7.（新定义问题理解与转化）
题目简述：理解新定义的“点弹性”模型并代入等差数列通项求解.
卡点步骤：显然，由题意代入公式，解得，于是（常见错误：被大段的经济学背景文字吓退，无法准确将文字描述的参数对应到代数式上）
后续步骤：故选C.
8.（解不等式易错点）
题目简述：求解一元二次不等式及分式不等式并求集合并集.
卡点步骤：由题知再与集合B求并集.（常见错误：解分式不等式时直接乘分母导致不等号方向失效；漏掉分母不能为0的隐含条件，导致边界点误取）
后续步骤：所以选B.
9.（定点定值推导）
题目简述：判断直线与圆相关倾斜角及圆切线性质的正确性.
卡点步骤：选项A，圆心到的距离为，相切.
选项B，如下图，取BC的中点H，由垂径定理知，又，故，故A,O,H三点共线.∵，，∴，可知直线OA倾斜角为
选项C，可得，当时，不妨设AB与圆O相切，由，可知为等腰直角三角形，
选项D，如下图，当AB,AC都与圆O相切，且，则，此时半径不符合.（常见错误：未能利用好图形的对称性与辅助线构造，几何关系代数化不彻底）
后续步骤：故选ABC.
10.（数列递推构造）
题目简述：已知与的关系，判断数列性质.
卡点步骤：当时，；当时，，化简得，∴（常见错误：未对进行特判验证，错误认为整个数列是等比数列，从而误判选项）
后续步骤：，，故A、C、D均正确.选ACD.
11.（抽象函数性质运用）
题目简述：根据抽象函数的奇偶性与对称性推导周期并求特定项.
卡点步骤：由于是偶函数，可知是偶函数，则的图象关于直线对称；由，可知的图象关于点对称，故是的周期.（常见错误：在处理平移后的函数奇偶性时，代换坐标求对称轴及对称中心极其容易出错）
后续步骤：由，可得，计算得2.
12. （解三角形边角互化）
题目简述：利用正余弦定理化简三角等式并求解边长.
卡点步骤：（1）由两角差的正弦公式结合正弦定理可得：，由余弦定理代入可得：（常见错误：边角互化时未结合余弦定理去消项）
（2）由两边平方得:∴，利用辅助角公式求得由（1）知，∴由得结合正弦定理得，又知代入面积等式求（常见错误：平方后未注意判断角的范围导致求错；方程消元方向不对导致死胡同）
后续步骤：
（1）；
（2）化简得，即
13. （期望与方差计算）
题目简述：求特定分配方案下的分布列及协方差.
卡点步骤： （i） 总分配方案数为当时，从4人中选2人在对应工坊，有种选法，剩下两人都不在对应工坊只有1种排法，故；同理求得排法为，
（ii） 由题意得，由上可得，，则（常见错误：全排列或错排问题中漏乘组合数；未能灵活运用的线性关系化简协方差）
后续步骤：分布列概率分别为；协方差为-1，负相关关系.
三、逐题来源
本卷题号 试题来源 原卷题号
1 2026·黑龙江哈尔滨第三中学·第三次模拟考试 4-6
2 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-6
3 2026·重庆市·南开中学·临考预测A卷 1-5
4 2026·山西晋中·高三下学期5月三模 5-8
5 2026·重庆市·南开中学·临考预测A卷 1-6
6 2026·重庆市·南开中学·临考预测A卷 1-4
7 2026·衡水金卷·5月学情调研 2-5
8 2026·黑龙江哈尔滨第三中学·第三次模拟考试 4-2
9 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-10
10 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-9
11 2026·山西晋中·高三下学期5月三模 5-13
12）） 2026·重庆市·南开中学·临考预测A卷 1-16
13） 2026·黑龙江哈尔滨第三中学·第三次模拟考试 4-16卷首导言
目的：本卷所有题目来自2026年5月全国卷地区模考、联考(参见卷末逐题来源表)，选取难度在当前水平之上的压轴题。目标是学会拆解得分步骤，在无法完整求解的情况下，稳定获取步骤分。
选题范围：
导数压轴：含参讨论、不等式证明
解析几何压轴：定点定值、范围最值
选填压轴：抽象函数、动态几何、新定义问题
方法：
1. 不做，只观摩。每道题直接看标准答案，圈出得分点。
2. 拆解保底步骤。导数题锁定“定义域+求导+因式分解”，解析几何锁定“设直线+联立+韦达定理”。无论题目难度如何，均需写出上述内容。
3. 独立复现。盖住答案，能规范写出保底步骤即可，后续部分不作要求。
自查标准：
每类压轴题的保底步骤，能在2分钟内规范写出，无遗漏。
能判断一道压轴题中哪些步骤属于可得的保底分，哪些属于需放弃的冲刺分。
注意：本卷只观摩，不要求完整解答。目标是让每道压轴题从“0分”变为“3-5分”，不追求理解全部过程，不深究复杂技巧。
一、导数压轴
1. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间.（本题为中档题，因第（2）问依赖其结论，故入选）
（2）设的极值点从小到大依次为.
（i）当时，记数列的前项和为，的前项和为，证明：；
（ii）当时，证明：.
2. 已知函数.
（2） 设函数.
（i） 讨论的零点个数；
（ii） 若，的较大零点为，证明：.
3. 设函数.
（2） 当时.
（i） 求的值域；
（ii） 证明：.
二、解析几何压轴
4. 椭圆的右顶点为，过点A分别作斜率为的直线与斜率为的直线，分别与交于相异P,Q两点，且. 已知当时，.
（1） 求的方程；（本题为中档题，因第（2）问依赖其结论，故入选）
（2） 证明：直线PQ过定点；（本题为中档题，因第（3）问依赖其结论，故入选）
（3） 求线段PQ中点的轨迹方程.
三、选填压轴
5.已知函数的定义域为，，且，若，则正整数的最小值为（ 　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6.在中，，点D满足，则的内切圆半径为__________.
7.已知，且，，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B. 若在上单调递增，则
C. 对任意，都有
D. 若过点可以作曲线的两条切线，则
8.抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），向上的点数为1记为事件A，抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为，则______，______.
2026年高考数学考前冲刺四套卷：压轴观摩卷·参考答案
观摩说明
本卷不要求独立作答，所有题目答案仅供观摩学习.请先阅读题目，尝试思考自己可以写到哪一步，再对照下方的“观摩要点”和“逐题详解”，重点关注“保底步骤”的书写规范，确保考场上能稳定拿到步骤分.
一、导数压轴
1.
观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：求导数、求出极值点的表达式、化简两个极值的乘积、构造新函数并求导分析单调性.此部分约可得4分和3-4分.
▎保底步骤（必写，约7分）
① 对求导：.令解得极大/极小值分界点方程：.（2分）
② 解出（i）中的一般表达式为.计算得.（2分）
③ 对（ii）中含有参数的函数求导：，令其为0解得极值点，.（2分）
④ 代入极值点表达式，化简得出两个极值乘积的形式，准备构造新函数.（1分）
▎冲刺步骤（选看，得满分需完成）
（1）由，解得；当时单调递减；当时单调递增，由于，写出最终单调区间.
（2）（i）由得；利用恒成立不等式放缩：，即证.
（ii）化简后，两边取对数.要证大于1，即证.构造函数，求导得，分析极限时，证明下界.分析时的范围界限，证明上界即可.
2.
观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：对新函数求导，确定参数分界点.此部分约可得3分.
▎保底步骤（必写，约3分）
① 写出的表达式，并对其求导：.（1分）
② 对导数因式分解得：.（1分）
③ 找出使导数为0的极值分界点：令，可得或，明确下一步需要对与1的大小关系进行讨论.（1分）
▎冲刺步骤（选看，得满分需完成）
（i）分类讨论：
若，分析单调性知，且时，得两个零点；
若，单调递增，，有一个零点；
若，分析单调性知，且时，得两个零点.
（ii）由（i）和知，只需证.令，构造函数，求导证明单调性，代入端点即可证得.
3.
观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：利用偶函数性质缩小定义域，构造新导函数.此部分约可得3-4分.
▎保底步骤（必写，约4分）
① 观察出内部函数为偶函数，指出只需考虑的情况.（1分）
② 对内部函数求导：，再次构造二阶导数：设.（2分）
③ 分析二阶导得出，从而得出的单调性，代入端点计算出值域.（1分）
▎冲刺步骤（选看，得满分需完成）
（i）由得在递增，代入得，故递增，由偶函数对称性得出值域为.
（ii）由奇偶性只需证的情况.构造函数，求导证得单调递增，从而得到.再构造，连求两阶导数，层层反推单调性得，不等式链合并即证.
二、解析几何压轴
4.
观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：设直线方程代入椭圆，求出基本量关系；联立方程，写出韦达定理，化简斜率和的表达式；利用点差法列出等式，代入中点坐标求方程.此部分约可得10-12分.
▎保底步骤（必写，约11分）
① 利用右顶点得.由时写出此时直线方程：并与椭圆方程联立，求出Q点坐标表达式，代入两点间距离公式.（3分）
② 解答第（2）问，设直线方程，代入椭圆方程得，列出判别式和韦达定理：，.（4分）
③ 写出斜率和的代数表达：并通分化简.（2分）
④ 解答第（3）问，设P,Q坐标及中点，分别代入椭圆方程两式相减得，代入中点得.（2分）
▎冲刺步骤（选看，得满分需完成）
（1） 将Q点坐标带入距离公式得，解得，写出椭圆方程.
（2） 将韦达定理代入通分化简后的斜率式，分子分母展开后，得，解得，代回直线方程得，知定点.
（3） 将定点坐标形式的斜率代入点差法结果中，化简得中点轨迹圆的方程.再利用第（2）问直线与椭圆相交判别式求得，进而利用中点横坐标公式讨论并确定的取值范围.
三、选填压轴
5.
观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：代入特殊值求f（1），利用赋值法求递推公式.此部分约可得2-3分（若为大题）.
▎保底步骤（必写，约3分）
① 看到抽象函数，首先令代入原式得，结合条件解出.（1分）
② 接着令代入原式：.（1分）
③ 将代入②中化简得出的具体表达式：.（1分）
▎冲刺步骤（选看，得满分需完成）
代入求和式得，这是一个典型的差比数列求和，利用错位相减法求出.分析数列的单调性，计算，由得出最小值为8.选C.
6.
观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：利用向量关系推导线段比例，利用余弦定理列式.此部分约可得2分（若为大题）.
▎保底步骤（必写，约2分）
① 根据及，推出线段长度.由于，得.（1分）
② 在等腰和等腰中梳理角度关系，由，利用等腰三角形及外角性质，列出余弦定理关系式求解.（1分）
▎冲刺步骤（选看，得满分需完成）
设，由外角性质推导得，可得.作高线由等腰直角性质得，进而余弦定理求出.利用降幂公式求出，代入三角形面积公式求解内切圆半径.
7.
观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：依据条件求出函数解析式，分析单调性并求最值.此部分约可得3分（若为大题）.
▎保底步骤（必写，约3分）
① 对两边求导，将代入导函数得出，从而化简.（1分）
② 将条件代入求出的导数表达式，解出，得到具体函数解析式.（1分）
③ 分析选项D：设切点坐标，列出切线方程与曲线方程的点斜式联立组.（1分）
▎冲刺步骤（选看，得满分需完成）
对A：已求得正确.对B：对求导，令其恒大于0，得出，进而得出，此时选项中缺少等号错误.对C：求，判断出凸函数性质，此选项等式恒成立正确.对D：由切点方程组解得，构造函数求导分析单调性，画出图像判断两个交点的情况，得出正确.选ACD.
8.
观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：枚举前几项建立递推关系式，构造等比数列.此部分约可得3分（若为大题）.
▎保底步骤（必写，约3分）
① 列出每次事件A发生概率，不发生为.利用二项分布公式计算出.即.（1分）
② 分析第n次和第n-1次的关系，分“前n-1次奇，第n次偶”和“前n-1次偶，第n次奇”两种情况，列出全概率公式：.（1分）
③ 将递推式整理为，利用特征根法或待定系数法向等比数列构造：.（1分）
▎冲刺步骤（选看，得满分需完成）
得出是以为首项，为公比的等比数列，写出通项公式，代入即得结果.
逐题来源
本卷题号 试题来源 原卷题号
1 2026·重庆市·南开中学·临考预测A卷 1-19
2 2026·山西晋中·高三下学期5月三模 5-18
3 2026·衡水金卷·5月学情调研 2-18
4 2026·衡水金卷·5月学情调研 2-19
5 2026·重庆市·南开中学·临考预测A卷 1-8
6 2026·衡水金卷·5月学情调研 2-14
7 2026·黑龙江哈尔滨第三中学·第三次模拟考试 4-11
8 2026·黑龙江哈尔滨第三中学·第三次模拟考试 4-14
第 2 页，共 17 页卷首导言
目的：本卷所有题目来自2026年5月全国卷地区模考、联考(参见卷末逐题来源表)，按知识模块组织.通过同一考点在不同试卷中的对比训练，强化各模块核心解法的掌握，并呈现新出现的设问方式.
编排逻辑：各模块为高中数学核心知识板块.每道题题号后标注考法类型及其在五套卷中的出现次数，直观反映命题特点.每个模块开头的“命题观察”简要说明该组题的训练重点.
方法：
1. 按模块顺序使用，先阅读命题观察，明确训练重点.
2. 逐题完成，之后对比同模块内不同考法的题目在解法、设问上的异同.
3. 总结每类考法的通用解法，记录在批注栏.
自查标准：完成本卷后，能熟练运用各模块的核心解法，并对新出现的设问方式形成基本应对思路.
一、概率与统计
命题观察：本模块在5套卷中表现出极高的稳定性，其中“求二项分布事件发生概率最大时的参数值”的设问在2套卷中连续出现.此外，结合统计图表考查数字特征和引入大学统计指标（如协方差）作为新定义，也是必须重点关注的核心考向.
1. （考法一：折线图数字特征判断，5卷2考）
某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市A和B两个景区的日接待人数的数据(单位：万人)，绘制了如下折线图，则（ 　　）
A. 景区A这7日数据的第80%分位数是8.7
B. 景区B这7日数据的极差是1.7
C. 景区A这7日数据的平均数比景区B的两倍小
D. 景区B这7日数据的方差比景区A的大
2. （考法二：直方图与四分位数，5卷2考）
某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（ 　　）
A. 续航里程在区间内的频率为0.4
B.
C.
D.
3. （设问一：二项分布概率最大项参数求解，5卷2考）
某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次．抽奖规则如下：箱中共有4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不少于2个则中奖，否则不中奖．各次抽奖互不影响．
（1）求抽奖一次中奖的概率；
（2）商场规定每中奖一次，返现10元．设某顾客在活动期间消费M元，按规定返现Y元．若事件“”的概率最大，求M的最小值．
4. （设问一：二项分布概率最大项参数求解，5卷2考）
“十四五”期间，我国的机器人产业大爆发，实现了从“低端制造”到“高端突破”的历史性转变. 某学校的兴趣小组在校内随机调查了100名学生，统计其关注的机器人类型，得到如下的统计表：
类型 医疗机器人 特种机器人 表演机器人 服务机器人 工业机器人
人数 10 40 30 10 10
（1） 先按比例用分层随机抽样的方法从上面100名学生中随机抽取10人.
（i） 分别求抽取的10人中关注“特种机器人”和关注“表演机器人”的人数；
（ii） 再从这10人中随机抽取3人，记抽到关注“特种机器人”的人数为X，关注“表演机器人”的人数为Y，设，求Z的分布列.（本小题为中档题，因第（2）问的背景依赖其题干框架，故完整入选）
（2） 该兴趣小组调查某款表演机器人，得知输入动作指令后其能准确完成指令的概率为，若输入n次动作指令，其能准确完成指令的次数为W，记事件的概率为，假设每次输入指令相互独立，且，则当n为何值时，的值最大？
5. （新定义：协方差与相关性分析，5卷1考）
为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主题活动，现有来自剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗项目的传承人各1名，安排到剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗体验工坊进行授课，要求每个工坊安排1名传承人，每名传承人仅在一个工坊授课.
（1） 求在剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课的条件下，皮影项目的传承人不在皮影工坊授课的概率；
（2） 在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为. 如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关. 在参与授课的4名传承人中，记在对应项目工坊授课的传承人数为，不在对应项目工坊授课的传承人数为.
（i） 求随机变量的分布列；
（ii） 求，并说明之间的线性相关关系.
二、立体几何
命题观察：本模块中“平面沿内部垂线翻折”的动态立体几何模型在5套卷中出现了2次.同时，命题者倾向于结合生活真实情境（如西瓜性价比）或引入新定义（如投影偏差率）来增加设问的新颖性，重点考查空间几何建模与代数转化的结合能力.
6. （考法一：平面图形翻折构型，5卷2考）
如图1，在梯形ABCD中，，，，于P，．将沿BP翻折至，使得，如图2．
（1）证明：平面BCDP；
（2）已知四棱锥的体积为，若点Q在线段A'C上，且二面角的大小为，求直线A'D与平面QPD所成角的正弦值．
7. （考法二：翻折模型中的动点与最值，5卷2考）
如图，在直角梯形ABCD中，，E为AB的中点，连接DE，将沿DE折起到的位置，得到四棱锥.
（1） 求证：.
（2） 设二面角的平面角为，且.
（i） 求直线BD与平面所成角的正弦值；
（ii） 求四面体体积的最大值.
8. （新情境：几何体积比值建模，5卷2考）
某超市在售的西瓜均可视为实心球体，且瓜皮厚度均匀相等．已知大、小两种西瓜的售价分别为80元/个、10元/个，且半径之比约为2:1．若以西瓜瓜瓤的体积与其售价的比值作为西瓜的性价比，则（ 　　）
A. 大西瓜的性价比高
B. 小西瓜的性价比高
C. 大、小西瓜的性价比一样
D. 大、小西瓜的性价比的高低不确定
9. （新定义：空间角转化为三角代数运算，5卷1考）
如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角.
（1） 当时，求证：；
（2） 定义：过点作垂直底面ABC于O，且O在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率.
（i） 当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面ABC夹角的余弦值；
（ii） 关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：.
三、解析几何
命题观察：本次5套卷中解析几何以定点定线为绝对主流（4卷考查），但也出现了点差法求轨迹方程以及二次曲线上四点共圆的存在性探究.这反映出除了常规计算外，代数变形技巧及开放性思维也是本模块的核心拉分点.
10. （考法一：定点定线证明，5卷4考）
已知分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，且.
（1） 求双曲线C的方程；
（2） 已知过点的直线，交双曲线C的左、右两支于两点（异于）.
（i） 求的取值范围；
（ii） 设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.
11. （考法二：点差法求轨迹方程与范围，5卷2考）
椭圆的右顶点为，过点A分别作斜率为的直线与斜率为的直线，分别与交于相异P,Q两点，且. 已知当时，.
（1） 求的方程；
（2） 证明：直线PQ过定点；
（3） 求线段PQ中点的轨迹方程.
12. （设问一：二次曲线存在性探究，5卷2考）
已知椭圆分别与y轴正半轴、x轴正半轴交于A,B两点．
（1）求直线AB的方程；
（2）设为椭圆上的两个动点，在四边形AMNB中，．
（i）证明：直线AM与BN的斜率之积为定值；
（ii）设O为坐标原点，过O的直线交C于P,Q两点，，其中．判断是否存在直径为3的圆经过四点？若存在，求；若不存在，说明理由．
四、函数与数列
命题观察：本模块在客观题部分显著增加了新情境与新定义的考查力度，5套卷中有2卷分别引入了经济学模型和抽象函数的赋值演算法则，重点考查现场提取信息并迅速向等差/等比数列或特定求和公式转化的能力.
13. （新情境：经济模型向数列转化，5卷2考）
在简单经济模型中，当需求量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在需求量为m时的点弹性为. 现在某简单经济模型中，当需求量为3时的点弹性为，则当需求量为6时的点弹性为（ 　　）
A. B. C. 1 D. 2
14. （新定义：抽象函数赋值与求和，5卷2考）
已知函数的定义域为，，且，若，则正整数的最小值为（ 　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
五、跨板块综合题
命题观察：跨板块融合是本次5套卷拉开区分度的终极杀器.“数列+导数放缩恒成立”与“导数+三角复合极值”两类高难度综合分别出现了2次.这类题目要求在数列不等式证明或三角放缩中灵活借用导数和极值工具，体现了极强的融会贯通属性.
15. （组合一：数列与导数复合放缩证明，5卷2考）
已知函数，其中，数列满足，．
（1）设，若，求的最大值；
（2）证明：若，当时，；
（3）当时，，求k的取值范围．
16. （组合一：数列与导数复合恒成立，5卷2考）
已知，，满足.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 若对恒成立，求整数k的最大值；
（3） 令，对于，当时，恒成立，求实数的最小值.
17. （组合二：导数与三角函数复合极值放缩，5卷2考）
已知函数.
（1）当时，求的单调区间.
（2）设的极值点从小到大依次为.
（i）当时，记数列的前项和为，的前项和为，证明：；
（ii）当时，证明：.
18. （组合二：奇偶性与三角复合函数多阶求导，5卷2考）
设函数.
（1） 求曲线在处的切线方程；
（2） 当时.
（i） 求的值域；
（ii） 证明：.
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2026年高考数学考前冲刺四套卷：专题狙击卷·参考答案
答案速查表
1 2 3 4 5
C ABD （1）;（2）1200元 （1）4人,3人,分布列见解析;（2）9或10 （1）;（2）分布列见解析,负相关
6 7 8 9 10
（1）见解析;（2） （1）见解析;（2）, A （1）见解析;（2）0,,见解析 （1）;（2）见解析
11 12 13 14 15
（1）;（2）见解析;（3）方程见解析 （1）;（2）见解析 C C （1）0;（2）见解析;（3）
16 17 18
（1）;（2）5;（3） （1）区间见解析;（2）见解析 （1）;（2）值域见解析,证见解析
一、概率与统计
1. （考法一：折线图数字特征判断，5卷2考）
选项A：第6个数据为8.8，A错误；选项B：极差为2.2，B错误；选项C：景区A平均数为7.7，景区B平均数为4，，C正确；选项D：计算方差知景区A更大，D错误.选C.
通法提炼： 解读统计折线图时，需精准把握分位数、极差、平均数、方差的概念，直接从图中读取数据进行粗算对比.
2. （考法二：直方图与四分位数，5卷2考）
A正确（频率和为0.4）；B正确（利用面积和为1解得m=0.003）；C错误（求得分位数为375,1400/3,560）；D正确（计算不等式成立）.选ABD.
通法提炼： 频率分布直方图解题法门在于运用面积和为1求出未知矩形高度，再利用各组面积占比累加求得相关数字特征.
3. （设问一：二项分布概率最大项参数求解，5卷2考）
（1）摸出3个球，基本事件总数20.红球不少于2个含“2红1黑”或“3红”，共有16个基本事件，获奖概率.
（2）中奖次数X服从二项分布，要求最大，联立和，解得n=12.M最小值为1200元.
通法提炼： 探究二项分布概率最大项的参数，通用法则是令相邻项的概率比值分别大于等于1和小于等于1，解出不等式组.
4. （设问一：二项分布概率最大项参数求解，5卷2考）
（1）（i） 特种机器人4人，表演机器人3人.（ii） 分布列概率计算得，，，.
（2） ，令及相关条件，解得n=9或10.
通法提炼： 多次独立重复试验最大概率项的推导依赖于通项公式相邻项相除列不等式.
5. （新定义：协方差与相关性分析，5卷1考）
（1）设事件为剪纸人去剪纸，事件为皮影人不去皮影，，，∴；
（2）（i） 总分配方案数为24.，，，，写出分布列.
（ii） ，求得，.负相关关系.
通法提炼： 统计学新公式应用中，核心是利用排列组合列出分布列，并运用期望与方差法则计算新特征量.
模块通法汇总：
① 解读统计折线图时，需精准把握分位数、极差、平均数、方差的概念，直接从图中读取数据进行粗算对比.
② 频率分布直方图解题法门在于运用面积和为1求出未知矩形高度，再利用各组面积占比累加求得相关数字特征.
③ 探究二项分布概率最大项的参数，通用法则是令相邻项的概率比值分别大于等于1和小于等于1，解出不等式组.
④ 多次独立重复试验最大概率项的推导依赖于通项公式相邻项相除列不等式.
⑤ 统计学新公式应用中，核心是利用排列组合列出分布列，并运用期望与方差法则计算新特征量.
二、立体几何
6. （考法一：平面图形翻折构型，5卷2考）
（1）利用平面几何性质解得，再由，得，从而证明线面垂直.
（2）利用体积公式解得，以P为原点建立空间直角坐标系，设，利用法向量夹角公式由面面角60度解出，最后利用线面角公式求正弦值为.
通法提炼： 平面翻折问题的核心是寻找翻折前后不变的垂直关系与长度，利用不变量建立空间直角坐标系求解线面角.
7. （考法二：翻折模型中的动点与最值，5卷2考）
（1） 设DE中点O，证明且，从而平面，得出线线垂直.
（2） （i） 建立空间直角坐标系，求出平面法向量，利用向量法求线面角为.（ii） 求出体积，转化为求最大值，利用换元和基本不等式求出最大体积为.
通法提炼： 动态立体图形翻折中，求法向量后需利用三角函数的代数关系，或通过换元转化为常见单变量函数求最值.
8. （新情境：几何体积比值建模，5卷2考）
解法一：不妨设大、小西瓜的半径分别为2和1，瓜皮厚度，大西瓜的性价比为；小西瓜为；比值为，故大西瓜性价比高．
通法提炼： 生活情境题的关键是建立代数几何模型，通过表达式比值构造与放缩，快速剥离无关参数.
9. （新定义：空间角转化为三角代数运算，5卷1考）
（1）∵，∴.
（2）以A为坐标原点建系.（i）计算得，，则，求出法向量代入夹角余弦公式得.（ii），存在锐角使得，设，必有符号相反情况，化简得，得证.
通法提炼： 几何新定义往往能转化为空间向量运算，通过建系精准定位点坐标，代入定义的角度公式中化简并分类讨论.
模块通法汇总：
① 平面翻折问题的核心是寻找翻折前后不变的垂直关系与长度，利用不变量建立空间直角坐标系求解线面角.
② 动态立体图形翻折中，求法向量后需利用三角函数的代数关系，或通过换元转化为常见单变量函数求最值.
③ 生活情境题的关键是建立代数几何模型，通过表达式比值构造与放缩，快速剥离无关参数.
④ 几何新定义往往能转化为空间向量运算，通过建系精准定位点坐标，代入定义的角度公式中化简并分类讨论.
三、解析几何
10. （考法一：定点定线证明，5卷4考）
（1）根据求出（舍去），然后求出，得到双曲线方程.
（2）（i）联立双曲线和直线方程，结合根的判别式和得到或；（ii）得到，表达出直线AD与直线BE的方程，联立得到，代入化简得.
通法提炼： 证明交点在定直线上，通常设出两条直线的方程，联立求出横坐标或纵坐标表达式，利用韦达定理整体代换化简为常数.
11. （考法二：点差法求轨迹方程与范围，5卷2考）
（1） 设直线代入椭圆得出基本量，解得.
（2） 联立直线PQ的方程，利用韦达定理化简，解得，发现定点.
（3） 利用点差法得，代入定点形式斜率得轨迹方程，并结合判别式求得轨迹范围.
通法提炼： 求动弦中点轨迹，首选点差法得到斜率与中点坐标的等量代换，再利用判别式及根与系数关系严格限制轨迹范围.
12. （设问一：二次曲线存在性探究，5卷2考）
（1）直接求得.
（2）设方程联立椭圆，韦达定理代入斜率积化简得常数2；设圆心求出圆的半径式，发现与矛盾，证明不存在.
通法提炼： 探究二次曲线上的共圆或定值问题，通常设出目标方程，利用韦达定理化简，通过系数配比或判别式验证是否出现矛盾.
模块通法汇总：
① 证明交点在定直线上，通常设出两条直线的方程，联立求出横坐标或纵坐标表达式，利用韦达定理整体代换化简为常数.
② 求动弦中点轨迹，首选点差法得到斜率与中点坐标的等量代换，再利用判别式及根与系数关系严格限制轨迹范围.
③ 探究二次曲线上的共圆或定值问题，通常设出目标方程，利用韦达定理化简，通过系数配比或判别式验证是否出现矛盾.
四、函数与数列
13. （新情境：经济模型向数列转化，5卷2考）
显然，，解得，于是，故. 故选 C.
通法提炼： 含有新概念的题目，重点抓取其数学定义公式，将其与已知基础模型（如等差数列通项）联立代换求解.
14. （新定义：抽象函数赋值与求和，5卷2考）
令得，∵，则，令，得，故，∴，利用错位相减法求出，当时单调递增，∵，，则，最小值为8.
通法提炼： 抽象函数新定义通常采用赋值法求特殊值，再代入特定形式寻找规律并运用错位相减法求和.
模块通法汇总：
① 含有新概念的题目，重点抓取其数学定义公式，将其与已知基础模型（如等差数列通项）联立代换求解.
② 抽象函数新定义通常采用赋值法求特殊值，再代入特定形式寻找规律并运用错位相减法求和.
五、跨板块综合题
15. （组合一：数列与导数复合放缩证明，5卷2考）
（1）当时，，求导分析单调性得时取最大值0.
（2）利用（1）中，转化为，取对数放缩并累乘求和证明.
（3）分析必要条件得，再利用导数证明充分性：构造函数证明其小于0，从而利用单调性得证.
通法提炼： 处理数列与导数复合的放缩证明题，核心是将数列递推关系转化为函数不等式，利用导数研究单调性与极值，再结合对数化放缩与累乘求和.
16. （组合一：数列与导数复合恒成立，5卷2考）
（1）代入特殊值和作差解得.
（2）代入x=1寻找必要条件得k<6，验证k=5时因式分解或求导证明恒成立.
（3）代入写出，发现n=1时取得极小值函数，对进行因式分解求出零点.
通法提炼： 代数式系数与数列项相关的恒成立问题，关键在于代入特殊值寻找必要条件压缩参数范围，再验证充分性.
17. （组合二：导数与三角函数复合极值放缩，5卷2考）
（1）求导令其为0解得分界点方程，分段分析正负得单调区间.
（2）（i） 写出极值点表达式，化简极值，利用恒成立不等式完成放缩证明.（ii） 求导解出参数极值点表达式，代入化简两极值乘积.两边取对数后，构造新函数求导证明其单调递减，结合端点和极限完成上下界的证明.
通法提炼： 处理指数与三角函数乘积型极值问题，难点在于解三角方程找出极值点表达式，再利用超越函数求导放缩.
18. （组合二：奇偶性与三角复合函数多阶求导，5卷2考）
（1） 求导后代入x=0得切线.
（2） （i） 利用内部函数为偶函数缩小研究区间至，对内部函数连求两阶导数判断其单调递增，代入端点求得值域.（ii） 奇偶性缩小范围后，构造新函数求导证单调性，得出初步放缩结果.再构造含有的多项式连求两阶导数反推单调性完成最终不等式链证明.
通法提炼： 复合函数的单调性及不等式证明，常用策略是利用函数的奇偶性缩小研究区间，并通过多阶求导层层剥茧.
模块通法汇总：
① 处理数列与导数复合的放缩证明题，核心是将数列递推关系转化为函数不等式，利用导数研究单调性与极值，再结合对数化放缩与累乘求和.
② 代数式系数与数列项相关的恒成立问题，关键在于代入特殊值寻找必要条件压缩参数范围，再验证充分性.
③ 处理指数与三角函数乘积型极值问题，难点在于解三角方程找出极值点表达式，再利用超越函数求导放缩.
④ 复合函数的单调性及不等式证明，常用策略是利用函数的奇偶性缩小研究区间，并通过多阶求导层层剥茧.
逐题来源
本卷题号 试题来源 原卷题号
1 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-3
2 2026·重庆市·南开中学·临考预测A卷 1-9
3 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-16
4 2026·山西晋中·高三下学期5月三模 5-17
5 2026·黑龙江哈尔滨第三中学·第三次模拟考试 4-16
6 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-17
7 2026·山西晋中·高三下学期5月三模 5-19
8 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-7
9 2026·黑龙江哈尔滨第三中学·第三次模拟考试 4-18
10 2026·黑龙江哈尔滨第三中学·第三次模拟考试 4-17
11 2026·衡水金卷·5月学情调研 2-19
12 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-18
13 2026·衡水金卷·5月学情调研 2-5
14 2026·重庆市·南开中学·临考预测A卷 1-8
15 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-19
16 2026·黑龙江哈尔滨第三中学·第三次模拟考试 4-19
17 2026·重庆市·南开中学·临考预测A卷 1-19
18 2026·衡水金卷·5月学情调研 2-18卷首导言
目的：本卷所有题目来自2026年5月全国卷地区模考、联考(参见卷末逐题来源表)，均为必得分基础题.用于巩固知识、提速、发现疏漏.目标：满分.
方法：
1. 限时完成.整卷用时不超过30分钟.
2. 只写结果.小题不写过程，大题只列关键步骤和结论.
3. 一次做对.每题读完后直接作答，不回看、不改动.
自查标准：
超时的题，标记.
做错的题，标记并查明原因：知识模糊、审题失误、计算错误.
凡标记的题，整理到考前警示清单.
注意：本卷不讲方法技巧，只检验基本功.如失分，该题不再属于本卷，应归入“精准提分卷”专项突破.
一、单选题
1. 若复数在复平面内对应的点的坐标为，则的实部为（ 　　）
A. -5 B. 4 C. 5 D. -4
2. 已知集合，则（ 　　）
A. B. C. D.
3. 已知点，向量，若与直线垂直，则到的距离等于（ 　　）
A. 1 B. C. 2 D.
4. 若，则（ 　　）
A. B. C. D.
5. 在公差为2的等差数列中，成等比数列，则的前7项和为（ 　　）
A. 3 B. 5 C. 9 D. 21
6. 已知变量具有线性相关关系，根据一组观测数据利用最小二乘法建立了经验回归方程，若，则（ 　　）
A. 10 B. 5 C. 0.5 D. 0.1
二、填空题
7. 已知函数，，则___________．
8. 抛物线与x轴的交点为T，与y轴的交点为A,B，若，为等腰直角三角形，则__________.
三、解答题
9. 网络安全事关广大人民群众切身利益.某电脑遭遇病毒攻击时，该电脑的杀毒软件发现病毒的概率为0.9.若杀毒软件发现病毒，则自动启动杀毒，杀毒成功的概率为0.7；若杀毒未成功，则病毒使电脑变卡顿的概率为0.95.若杀毒软件未发现病毒，则病毒使电脑变卡顿的概率为0.95.
（1）若电脑遭遇病毒攻击，求杀毒软件杀毒成功的概率；
10. 已知椭圆的短轴长为2，一个焦点为，过点F且与坐标轴不垂直的直线与C交于A,B两点.
（1）求C的方程.
11. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，，平面平面ABCD.
（1） 证明：平面ABCD；
12. 已知的面积为6，且．
（1）若，求BC；
13. 如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角.
（1） 当时，求证：；
14. 已知，，满足.
（1） 求数列的通项公式；
15. 已知函数.
（1） 若，求的图象在点处的切线方程.
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2026年高考数学考前冲刺四套卷：信心固本卷·参考答案
答案速查表
1 2 3 4 5
A B B B D
6 7 8 9 10
D -4 3 0.63
11 12 13 14 15
证明见解析 证明见解析 ，
一、单选题
1. ∵由复数在复平面内对应的点的坐标为，得，∴实部为.
2. 由题意可得，故，∴.
3. 由题意，得的方向向量，∵，∴，解得，从而直线的方程为，∴A到的距离为．
4. 由题意可得，∴可得.
5. 设等差数列的首项为，，，，由可得，解得，∴．
6. 经验回归直线一定经过样本中心点，即，解得.
二、填空题
7. ∵为奇函数，，∴，∴．
8. 显然，由得，注意到由抛物线对称性必有，故，于是，得，而，故.
三、解答题
9. 记事件A:该电脑的杀毒软件发现病毒，事件B:杀毒软件杀毒成功，则，，由概率的乘法公式可知杀毒软件杀毒成功的概率为.
10. 由题意可知：，故；焦点，得；由得.∴椭圆C的方程为：.
11. 由平面PAD, 平面PAD得平面PAD，∵平面PAD得，（2分）由平面平面ABCD，平面平面平面PAB得平面ABC D. （5分）
12. ，（2分）由题意知，代入上式，解得 ．（4分）
13. ∵，∴即.
14. 时，，得；
时，，
解得，时也满足.
综上，，.
15. 当时，，则， （2分）
又∵，∴的图象在点处的切线方程为，即. （4分）
逐题来源
本卷题号 试题来源 原卷题号
1 2026·重庆市·南开中学·临考预测A卷 1-1
2 2026·衡水金卷·5月学情调研 2-1
3 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-2
4 2026·衡水金卷·5月学情调研 2-3
5 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-4
6 2026·山西晋中·高三下学期5月三模 5-3
7 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-12
8 2026·衡水金卷·5月学情调研 2-12
9 2026·重庆市·南开中学·临考预测A卷 1-15（1）
10 2026·重庆市·南开中学·临考预测A卷 1-18（1）
11 2026·衡水金卷·5月学情调研 2-16（1）
12 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-15（1）
13 2026·黑龙江哈尔滨第三中学·第三次模拟考试 4-18（1）
14 2026·黑龙江哈尔滨第三中学·第三次模拟考试 4-19（1）
15 2026·山西晋中·高三下学期5月三模 5-18（1）

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