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山东滨州市滨城区2026届高三二模数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知实数，，则“且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数在的图像大致为
A. B.
C. D.
5.某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对位参赛学生的综合表现进行评分学生得分的频率分布直方图如图所示，根据图中数据，估计得分的第百分位数为( )
A. B. C. D.
6.若，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
7.已知一个无盖的圆柱形容器忽略容器壁厚度，其底面半径为厘米，母线长为厘米，现在将该容器盛满水并缓慢倾斜，设圆柱形容器的母线与水平面所成角为，当剩下的水为原来的时，( )
A. B. C. D.
8.在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，且若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线，其中，则下列结论正确的是( )
A. 若，则是圆
B. 若，则是一条直线
C. 若，则是椭圆，其离心率为
D. 若，则是双曲线，其渐近线方程为
10.已知，，，若对任意实数都有，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 满足条件的有序实数组的组数为
11.已知无穷数列的前项和为，且对于任意，且，则下列结论正确的是( )
A. 存在，使得是常数列
B. 任意，有最大项，无最小项
C. 存在，使得是周期数列
D. 任意，不是递增数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，，则函数的最大值为 ．
13.已知变量和变量的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，经重新计算得到新回归直线的斜率为，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为 残差观测值预测值
14.有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中不放回地随机取球，若存在为整数，使得标有数字和的球均已被取出，则停止取球．记为取出的球的个数，则的数学期望 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，面积，且．
求；
若的角平分线交于，且，求．
16.本小题分
已知函数，．
若，求曲线在点处的切线方程；
若存在，使，求的取值范围．
17.本小题分
已知椭圆上顶点为，右焦点为，坐标原点为，且，，为椭圆上两个不同的点均不与重合．
求椭圆的方程；
若为的垂心，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四面体中，，是边长为的等边三角形，是的中点．

若，是点在平面内的投影，存在实数满足．
求的值；
若，求的值；
若，异面直线与所成角为，记四面体外接球的半径为，求证：当取最小值时，．
19.本小题分
已知是无穷数列给出两个性质：
对于中任意两项，，在中都存在一项，使
对于中任意项，在中都存在两项，，使得．
若，判断数列是否满足性质，说明理由
若，判断数列是否同时满足性质和性质，说明理由
若是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：为等比数列．
参考答案
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14.
15.解：，，
又，故，
故，又，故；
由中可知，，
，
，
又，，
故，
因为，，所以，，
故，
由正弦定理得，即，，
所以，
又，故，解得，
故．

16.解：若，则，，
则，，
所以过点的切线方程为，即；
函数的定义域为，
，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，函数有最小值，即，
若存在，使，则成立，
即，即，
令，
，
令，则，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，函数有最小值，即，
所以在区间恒成立，
所以函数在区间上单调递增，
因为，
所以当时，成立，故的取值范围为．

17.解：由题意，椭圆上顶点为，故，
又，故，从而
因此椭圆方程为：；
由可知，故，，
因为为的垂心，所以且，
则必有，设直线方程为：
联立直线与椭圆：得：
令，解得：，
由韦达定理：，
则，故，
即：
整理得：，
将代入化简得：，解得或
当时，直线过点，不符合题意，舍去
当时，满足，符合题意．
故直线方程为：，即．

18.解：由，得，
因为点平面，由共面向量定理知，得．
连接，
因为，所以，
所以，所以．
因为，是的中点，
所以在中，，
在中，，所以，
所以，
又，，
所以在中，，得，
所以．

因为，所以，
因为，，异面直线与所成角为，
所以，得，
设二平面角的平面角为，以点为坐标原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
设四面体外接球的球心为，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以，
又，且，
所以，解得，
所以，
令，则，所以，
令，，则，
由，即，解得，由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，即，故．


19.解：因为，，，
所以数列不具有性质．
因为，，，，，
所以，所以数列具有性质．
，，，，
所以，
所以数列具有性质．
假设数列中的项均为正数：
首先利用性质取，此时，
由数列的单调性可知，
而，故，
此时必有，，即，即，，成等比数列，不妨设，．
然后利用性质取，，则，
即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明，
否则，由数列的单调性可知，
在性质中，取，则，从而，
与前面类似的可知则存在，满足，
若，，则：，与假设矛盾
若，，则：，与假设矛盾
若，，则：，与数列的单调性矛盾
即不存在满足题意的正整数，，可见不成立，从而．
然后利用性质取，，则数列中存在一项，
下面我们用反证法来证明．
否则，由数列的单调性可知，
在性质中，取，则，从而，
与前面类似的可知则存在，满足，
即由可知：．
若，则，与假设矛盾
若，则，与假设矛盾
若，由于，为正整数，故，则，与矛盾．
综上可知，假设不成立，则．
同理可得：，，，从而数列为等比数列．
同理，当数列中的项均为负数时亦可证得数列为等比数列．
由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数．
从而题中的结论得证，数列为等比数列．
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