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第7讲　力的合成与分解
基础 满分练
课前 自检自测·夯基固本
知识点一　共点力的合成
2个高考关键点
关键点1　合力与分力的关系
1.(2026广东广州模拟)如图所示,一个大人能提起一桶水并保持水桶静止,两个小孩也能共同提起一桶水并保持水桶静止,
下列说法正确的是(　　)[命题点 ]
A.大人提水时施加的一个力与小孩提水时施加的两个力产生了不同的作用效果
B.小孩对水桶施加的两个力与这两个力的合力同时作用在水桶上
C.若两个小孩对水桶施加的力分别为3 N和4 N,则其合力一定为7 N
D.分力与它的合力的作用对象为同一个物体
D
解析 一个大人或两个小孩都能提起一桶水并保持水桶静止,则大人提水时施加的一个力与小孩提水时施加的两个力产生了相同的作用效果,选项A错误;小孩对水桶施加的两个力与这两个力的合力等效,不是同时作用在水桶上,选项B错误;若两个小孩对水桶施加的力分别为3 N和4 N,则只有当两个分力方向相同时两个力的合力才为7 N,选项C错误;分力与它的合力的作用对象为同一个物体,都是水桶,选项D正确。故选D。
关键点2　力的合成运算法则
2.(2026黑龙江哈尔滨模拟)一物体受到三个力的作用,其中物体受力平衡的是(　　)[命题点 ]
D
解析 根据平行四边形定则可知,A图中三个力的合力大小为2F3,A错误;B图中三个力的合力大小为2F1,B错误;C图中三个力的合力大小为2F3,C错误;D图中三个力的合力大小为0,D正确。故选D。
3.(2023重庆卷)矫正牙齿时,可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F,夹角为α(如图所示),则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)[命题点 ]
A.2Fsin 　 B.2Fcos
C.Fsin α D.Fcos α
B
解析 根据平行四边形定则可知,该牙所受两牵引力的合力大小为F合=2Fcos ,故选B。
回归基础·考教衔接
一、合力与分力[ ]
1.定义:如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同,这个力叫作那几个力的合力,那几个力叫作这个力的分力。
2.合力与分力的关系
二、力的合成
1.定义:求几个力的合力的过程。
2.运算法则
平行四边形定则:求两个互成角度的分力的合力,可以用表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形,这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示,F1、F2为分力,F为合力。
三角形定则:把两个矢量的首尾顺次连接起来,第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段为合矢量。如图乙所示,F1、F2为分力,F为合力。
[ ]标量的运算法则是代数运算,矢量的运算法则是平行四边形定则。应用平行四边形定则时,要将几何形状和三角函数结合。
特别提示　几何形状与三角函数的关系
F=　F=F1=F2
知识点二　力的分解
4个高考关键点
关键点1　力的分解方法
4.(原创+教材改编)如图所示,光滑固定斜面的倾角为θ,有两个相同的小球1、2,分别用光滑挡板A、B挡住。
挡板A沿竖直方向,挡板B垂直于斜面。[命题点 ]
(1)分别将小球所受的重力按效果进行分解;
(2)求球1对挡板和斜面的压力大小;
(3)求球2对挡板和斜面的压力大小。
答案 (1)见解析　(2)Gtan θ　　(3)Gsin θ　Gcos θ
解析 (1)球1和球2所受的重力按效果分解如图甲、乙所示。
(2)球1对挡板的压力大小F1=Gtan θ,球1对斜面的压力大小F2=。
(3)球2对挡板的压力大小F3=Gsin θ,球2对斜面的压力大小F4=Gcos θ。
甲
乙
关键点2　不同效果下力的分解
5.如图所示,小球被轻绳系住,静止在光滑斜面上。若按力的实际作用效果来分解小球受到的重力G,分别对绳子和斜面产生作用效果,则G的两个分力的方向分别是图中的(　　)[命题点 ]
A.1和2 B.1和3 C.2和3 D.1和4
A
解析 小球重力产生两个效果,一是使绳子拉伸,二是使斜面受压,故应按此两个方向分解,分别是1和2。故选A。
关键点3　正交分解法的应用
6.(原创+体育运动融通)运动会上,运动员正在进行射箭项目比赛,如图甲所示。释放箭的瞬间,若弓弦的拉力为100 N,如图乙中的F1和F2所示。弓弦对箭产生的作用力为120 N,如图乙中的F所示,则弓弦的夹角α应为
(cos 53°=0.6)(　　)[命题点 ]
A.106° B.74° C.143° D.127°
A
解析 由图可知,F1、F2、F构成了一个菱形,根据力的分解可知=cos=0.6,所以=53°,则α=106°,故选A。
关键点4　有限制条件的力的分解问题
7.(2026浙江杭州模拟)如图所示,将力F(大小已知)分解为两个分力F1和F2,F2和F的夹角为θ(θ小于90°)。则关于分力F1,以下说法正确的是(　　)
[命题点 ]
A.当F1>Fsin θ时,肯定有两组解
B.当Fsin θC.当F1D.当F1D
解析 如图所示,当F>F1>Fsin θ时,根据平行四边形定则,有两组解;若F1>Fsin θ,当F1>F时,只有一组解,A、B错误。当F1=Fsin θ时,两分力和合力恰好构成三角形,有唯一解;当F1回归基础·考教衔接
三、力的分解
1.定义:求一个已知力的分力的过程。力的分解是力的合成的逆运算。
2.运算法则:平行四边形定则。
3.分解方法[ ]
特别提示　1.一般来说,当物体受到三个或三个以下的力时,常按效果进行分解。若三个力中,有两个互相垂直,优先选用正交分解法。
2.应用效果分解法时,要分析研究物体与其他物体的接触点,在接触点处往往存在对其他物体作用的效果。
四、力的分解的情形
1.一个力分解为两个力,从理论上讲有无数组解。如图甲、乙所示。
由图乙可知,将已知力F分解为两个等大的分力时,两分力间的夹角越大,两分力越大。
[ ]两个分力等大时,构成的平行四边形为菱形,对角线相互垂直。
2.有限制条件的力的分解
(1)已知合力和两个分力的方向时,有唯一解。
(2)已知合力和一个分力的大小和方向时,有唯一解。
(3)已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时,若F与F1的夹角为α,当Fsin α[ ]一个已知力的分力到底有几组解,要根据平行四边形的形状和位置来判断。
考点一　共点力的合成
能力 高分练
课中 关键能力·可视思维
角度一　共点力的合力范围的确定
例1 (2026陕西西安模拟)如图所示,两个共点力F1、F2的大小一定,夹角θ是变化的,合力为F,在θ角从0°逐渐增大到180°的过程中,合力F的大小变化情况为(　　)
A.从最小逐渐增大到最大
B.从最大逐渐减小到零
C.从最大逐渐减小到最小
D.先增大后减小
C
解析 当θ=0°时,合力最大,F=F1+F2,当θ=180°时,合力最小,合力等于F1、F2差的绝对值,所以,在θ角从0°逐渐增大到180°的过程中,合力F的大小从最大逐渐减小到最小。故选C。
解题精要
1.两个共点力的合力大小范围:|F1-F2|≤F合≤F1+F2。
2.三个共点力合力大小的范围。
(1)最大值:三个力同向时,合力最大,为Fmax=F1+F2+F3。
(2)最小值:如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内,则其合力的最小值为零,即Fmin=0;如果一个力的大小不处于另外两个力的合力大小范围内,则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和,即Fmin=F1-(F2+F3)(F1为三个力中最大的力)。
角度二　共点力的合成方法
例2 (2026重庆模拟)同时作用在质点O上的三个共点力F1、F2、F3,已知F1=F2=2 N,F3=4 N,它们的方向分别沿着正六边形两条边和一条对角线,如图所示,则这三个力的合力大小等于(　　)
A.6 N B.8 N C.10 N D.12 N
A
解析 已知F1=F2=2 N,F3=4 N,由题图可知,F1、F2的夹角的大小为120°,根据平行四边形定则可知,F1、F2的合力的大小为2 N,方向沿F3的方向,所以F1、F2、F3的合力的大小为F=4 N+2 N=6 N,A正确,B、C、D错误。故选A。
破题思维链
解题精要
多个力合成时可以先合成任意两个力,再把这两个力的合力与第三个力相合成,直到把所有的力都合成进去,即可求得最后的合力。
角度三　用正交分解法求合力
例3 (2025湖北武汉模拟)如图所示,一物体受到两个力作用,其中F1=10 N,F2=20 N,F1与x轴正方向夹角为45°,F2沿y轴负方向,则这两个力的合力大小与方向分别为(　　)
A.20 N,方向沿x轴正方向
B.20 N,方向沿y轴正方向
C.10 N,方向与x轴正方向夹角为45°
D.10 N,方向与x轴负方向夹角为45°
C
解析 正交分解F1,x轴两个力的合力为Fx=F1cos 45°=10 N,y轴两个力的合力为Fy=F2-F1sin 45°=10 N,沿y轴负方向。故这两个力的合力大小F==10 N,方向与x轴正方向夹角为45°。故选C。
破题思维链
解题精要
正交分解法求合力的运算关系式:把各力向相互垂直的x轴、y轴分解,分别求得x轴、y轴方向的合力Fx、Fy,则合力大小F=
。
考点二　力的分解
角度一　按作用效果分解力的方法
例4 (2025黑龙江大庆模拟)图甲为古代榨油场景,图乙是简化原理图,快速撞击木楔便可将油榨出。若木楔可看作顶角为θ的等腰三角形,撞击木楔的力为F,则下列说法正确的是(　　)
A.为了增大木块对油饼的压力,
θ通常设计得较小
B.木楔对每个木块的压力均为
C.木块对最右侧的油饼有挤压作用
D.木块加速挤压油饼过程中,木块对
油饼的压力大于油饼对木块的压力
A
解析 将F分解如图所示,由图可知F1=,θ设计得较小且F不变时,木楔对每个木块的压力F1越大,木块对油饼的压力也会越大,A正确,B错误;木块与最右侧油饼不接触,则对最右侧的油饼没有挤压作用,C错误;由牛顿第三定律可知,木块对油饼的压力与油饼对木块的压力等大反向,D错误。故选A。
破题思维链
解题精要
1.若物体受三个力作用并处于平衡状态,确定其中一个力的实际作用效果时,可先作出物体所受的三个力的示意图,其中一个力的两个实际作用效果的方向一定在其余两个力的反向延长线上。
2.三种实例的分解图
角度二　力的正交分解法的应用
例5 (2026辽宁朝阳模拟)如图所示,一物体受四个力的作用:重力G=100 N、与水平方向成37°角的拉力F=60 N、水平地面的支持力FN=64 N、水平地面的摩擦力Ff=16 N,已知sin 37°=0.6, cos 37°=0.8,求:
(1)力F在竖直方向的分力大小和水平方向的分力大小;
(2)物体所受到的合力大小及方向。
答案 (1)36 N　48 N　(2)32 N　方向水平向右
解析 (1)力F在竖直方向的分力和水平方向的分力Fy=Fsin θ=60 N×0.6= 36 N,Fx=Fcos θ=60 N×0.8=48 N;(2)竖直方向上Fy+FN-G=0,水平方向上Fx-Ff=32 N,物体所受到的合力大小F合=32 N,方向水平向右。
破题思维链
解题精要
应用正交分解法时建立坐标轴的原则:在力的平衡中,以少分解力和分解已知力为原则;在动力学中,往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
考点三　“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”模型
角度一　“活结”与“死结”模型的分析方法
例6 (2026福建福州模拟)如图,悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处,绳的一端固定在墙上,另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等,系统平衡时,O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α=50°,则β等于(　　)
A.70° B.65°
C.50° D.40°
B
解析 甲物体是拴牢在O点,属于死结,且甲、乙两物体的质量相等,乙绳绕过定滑轮,属于活结,则甲、乙绳的拉力大小相等,O点处于平衡状态,则左侧绳子拉力的方向在甲、乙绳子的角平分线上,如图所示,根据几何关系有180°=2β+α,解得β=65°,A、C、D错误,B正确。故选B。
破题思维链
解题精要
1.“死结”两侧的绳因“结”而变成了两根独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
2.“活结”两侧的绳子是同一根绳,所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等。
角度二　“动杆”与“定杆”模型的分析方法
例7 (2026广东广州检测)四个相同的物块用轻绳系住,绕过光滑的轻质滑轮,并将绳子另一端系在墙壁上。甲、乙图中两杆固定在墙壁上,丙、丁图中两杆带有铰链并固定于墙壁上。轻杆、轻绳与水平方向夹角如图所示。四幅图中,能够保持静止且杆的作用力方向相同的是(　　)
A.甲和乙 B.乙和丙
C.甲和丁 D.乙和丁
D
解析 轻杆的作用力与两绳对滑轮的合力等大反向,甲、乙两图为定杆,甲图杆的力与竖直方向成30°向右上;乙图杆的力与竖直方向成60°向右上;丙、丁两图为动杆,丙图杆不能保持静止;丁图杆的力与竖直方向成60°向右上,故乙和丁的相同。故选D。
破题思维链
解题精要
1.动杆的分析方法:如图甲所示,轻杆OB静止时,轻绳ABC对轻杆OB的作用力一定要沿BO方向,否则轻杆将会绕光滑轴O发生转动,与已知轻杆静止产生矛盾。
2.定杆的分析方法:图乙中,轻杆是插入墙中的,这时A'B'C'对轻杆O'B'的作用力就不一定沿B'O'方向。第7讲　力的合成与分解
基础·满分练
命题角度一　求合力的方法
1.如图所示等边三角形ABC,边长为a。如果作矢量AB、AC、BC,分别表示三个力,三个力的方向如图中箭头所示,则这三个力的合力大小为(　　)
A.3a B.2a
C.a D.0
2.(多选)(2026广东深圳期中)图示F1、F2合力方向竖直向下,若保持F1的大小和方向都不变,同时保持F2的大小不变,将F2的方向在竖直平面内沿顺时针方向转过60°角,合力的方向仍竖直向下,则下列说法正确的是(　　)
A.F1一定大于F2
B.F1的大小可能为5 N
C.F2的方向与水平面成30°角
D.F1的方向与F2'的方向成60°角
命题角度二　按作用效果分解力的方法
3.(多选)(2026湖南永州模拟)将一个已知力F分解成两个分力,有多种不同的分解方法。如图所示,分解为F1、F2是一种分解方法,分解为F1'、F2'是另一种分解方法。由图可得出结论(　　)
A.分力可能大于F
B.两分力可能相等
C.分力一定小于F
D.分力一定大于F
4.(2026广东茂名期末)如图所示是千斤顶,当摇动把手时,螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢,从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N,此时千斤顶两臂间的夹角为120°,则下列判断正确的是(　　)
A.此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N
B.此时千斤顶对汽车的支持力大小为2.0×105 N
C.若继续摇动把手,将汽车顶起,两臂受到的压力将增大
D.若继续摇动把手,将汽车顶起,两臂受到的压力不变
5.(2025山东威海模拟)生活中经常用斧头来劈开物体。如图是斧刃的横截面,F是作用在斧背上的力,若斧刃的横截面是等腰三角形,斧刃两侧面的夹角为θ,忽略斧头所受的重力,则斧头劈物体时对物体的侧向推力FN的大小为(　　)
A. B.
C.Fcos D.
命题角度三　力的正交分解法的应用
6.(2026江苏南通期中)如图所示,水平地面上质量为m的木箱,小明用与水平方向成θ角的斜向上的力F拉木箱,使其向右运动,已知木箱与地面间的动摩擦因数为μ,则下列关于摩擦力Ff的表达式一定正确的是(　　)
A.Ff=Fcos θ
B.Ff=μmg
C.Ff=μ(mg-Fsin θ)
D.Ff=μFsin θ
命题角度四　“活结”与“死结”模型、“动杆”与“定杆”模型的分析方法
7.(多选)(2026四川成都期中)如图所示,轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为m的物体,∠ACB=30°(BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计),则下列说法正确的是(　　)
A.轻绳AC段的拉力为mg
B.BC杆对滑轮的作用力为
C.若将绳A端沿墙下移,使之再次平衡,则BC杆所受作用力变大
D.若将绳A端沿墙下移,使之再次平衡,则BC杆所受作用力变小
8.(多选)(2026黑龙江哈尔滨模拟)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上,另一端O光滑,一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物,OB水平;图乙中轻杆O'A'可绕A'点自由转动,另一端O'光滑;一端固定在竖直墙壁B'点(比B点稍高)的细线跨过O'端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA=30°,重力加速度为g,以下说法正确的是(　　)
A.图甲轻杆中弹力大小为mg
B.图乙轻杆中弹力大小为mg
C.图甲轻杆中弹力与细线OB拉力的合力方向一定沿竖直方向
D.图乙中细线对轻杆弹力可能不沿杆
能力·高分练
9.如图所示,将一块蹄形磁铁静置于铁质教室讲桌的倾斜面上。关于该磁铁的受力情况,以下说法正确的是(　　)
A.蹄形磁铁共受到5个力的作用
B.桌面对磁铁的支持力是由桌面的形变而产生的
C.桌面对磁铁的摩擦力为静摩擦力,其大小与接触面的粗糙程度有关
D.磁铁所受重力按效果一定分解为水平分力和对桌面的压力
10.(2026湖南常德模拟)某兴趣小组利用一根橡皮筋和一个量角器,测量一个瓶子的质量,该同学现将橡皮筋两端固定,两固定点间的距离恰好等于橡皮筋的原长,用轻质细绳将瓶子悬挂在橡皮筋的中点,静止后用量角器量出橡皮筋与水平方向夹角θ1=37°,将瓶子装满水,仍悬挂在橡皮筋中点,静止后用量角器量出橡皮筋与水平方向夹角为θ2=53°,利用瓶子上标注的容积和水的密度算出瓶中水的质量为0.23 kg,则瓶子的质量为(　　)
A.0.06 kg B.0.09 kg
C.0.27 kg D.0.32 kg
11.(12分)(2026江西九江模拟)如图所示,一条小船在河中向正东方向行驶,船上挂起一风帆,帆受侧向风作用,风力大小F1为100 N,方向为东偏南30°,为了使船受到的合力能恰沿正东方向,岸上一人用一根绳子拉船,绳子取向与河岸垂直,求出风力和绳子拉力的合力大小及绳子拉力F2的大小。
素养·提升练
12.(2026江苏宿迁模拟)在探究两个互成角度的力的合成规律实验中,如图所示平面内,保持合力F不变,分力F1的大小不变,改变F1的方向,则分力F2箭头端的轨迹为(　　)
答案：
1.B　解析 根据三角形定则可知,AB、BC的合力等于AC,所以AB、AC、BC三个力的合力等于2倍的AC,则合力大小为2a,故选B。
2.ABC　解析 由于合力始终向下,可知F2与F2'的水平分力相同,故F2与F2'关于水平方向对称,所以F2与水平方向成30°角,设F1与竖直方向成α角,对各力进行分解可得F1sin α=F2cos 30°,F1cos α>F2sin 30°,两式平方相加可得,则F1>F2,由上述分析可知F1的大小可能为5 N,且F1的方向与F2'的方向夹角大于60°。故选ABC。
3.AB　解析 分力可能大于F,也可能小于F,也可能等于F,选项A正确,C、D错误;两分力可能相等,选项B正确。故选AB。
4.A　解析 对汽车受力分析,由平衡条件2Fcos 60°=FN,可得两臂对汽车的支持力大小均为F=1.0×105 N,由牛顿第三定律可得此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N,A正确;由牛顿第三定律可知,千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105 N,B错误;若继续摇动把手,两臂间的夹角减小,而合力不变,故两分力减小,即两臂受到的压力将减小,C、D错误。故选A。
5.B　解析 根据平行四边形定则将力F分解,如图所示,由几何知识得,侧向推力的大小为FN=,A、C、D错误,B正确。
6.C　解析 受力情况如图所示,由于木箱不一定做匀速直线运动,故不能根据共点力的平衡求解摩擦力,A错误;在竖直方向上FN+Fsin θ=mg,根据Ff=μFN=μ(mg-Fsin θ),B、D错误,C正确。故选C。
7.AC　解析 物体处于平衡状态,根据平衡条件可判断,与物体相连的细绳拉力大小等于物体的重力,同一条绳上拉力相等,所以轻绳AC段的拉力为mg,A正确;取C点为研究对象,进行受力分析如图所示,根据几何关系可得FC=FAC=mg,方向和水平方向成30°向斜右上方,即BC杆对滑轮的作用力为mg,B错误;若将绳A端沿墙下移,使之再次平衡,悬挂物体质量不变,绳上的拉力不变,两端绳之间的夹角变小,由平行四边形定则可知,则绳对BC杆的作用力变大,C正确,D错误。故选AC。
8.AC　解析 由于图甲轻杆OA为“定杆”,其O端光滑,可以视为活结,两侧细线中拉力大小相等,都等于mg,由力的平衡条件可知,图甲轻杆中弹力大小为F甲=2mgcos 45° =mg,故A正确;图乙中轻杆O'A'可绕A'点自由转动,为“动杆”,另一端O'光滑,可以视为活结,O'两侧细线中拉力相等,“动杆”中弹力方向一定沿“动杆”方向,“动杆”O'A'中弹力大小等于O'两侧细线中拉力的合力大小,则轻杆中弹力大小不等于mg,B、D错误;根据共点力平衡条件,图甲中轻杆弹力与细线OB中拉力的合力方向一定与竖直细线的拉力方向相反,即竖直向上,C正确。故选AC。
9.B　解析 蹄形磁铁受重力、桌面的支持力、桌面的摩擦力和桌面的吸引力(磁力),共4个力作用,A错误;桌面对磁铁的支持力的施力物体是桌面,是由桌面的形变而产生的,B正确;桌面对磁铁的摩擦力为静摩擦力,其大小始终等于磁铁沿桌面向下的分力大小,与接触面的粗糙程度无关,C错误;磁铁所受重力按效果可分解为沿桌面向下的力和垂直于桌面向下的力,D错误。故选B。
10.B　解析 设橡皮筋的原长为L,劲度系数为k,空瓶子质量为m0,根据平衡条件和胡克定律可知2ksin θ1=m0g,注入水后,根据平衡条件2ksin θ2=(m0+m)g,联立解得m0=0.09 kg。故选B。
11.50 N　50 N
解析 根据题意,以F1、F2为邻边作平行四边形,使合力F沿正东方向,如图所示,则有F=F1cos 30°=50 N,F2=F1sin 30°=50 N。
12.B　解析 若以O点为坐标原点,以F的方向为x轴正向建立坐标系,设F与F1的夹角为θ,则分力F2的箭头的坐标满足x+F1cos θ=F,y=-F1sin θ,联立化简得(x-F)2+y2=,因保持合力F的大小和方向不变,分力F1的大小不变,则使F1与F的夹角从0逐渐增大到360°的过程中,F2的箭头的轨迹图形为圆,即B选项符合。故选B。
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