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(共25张PPT)
第9讲动态平衡及平衡中的临界极值问题
考点一　动态平衡问题
能力 高分练
课中 关键能力·可视思维
角度一　“一力恒定,另一力方向不变”的动态平衡问题
例1 (2026山东潍坊测试)如图所示,轻质细线一端连接一质量为m的小球,另一端悬挂于天花板上的O点,在外力F、重力G和细线拉力FT的作用下处于平衡状态。初始时F水平,且细线与竖直方向的夹角为θ,与F的夹角为α。甲同学保持小球位置及θ角不变,缓慢减小α角至F竖直向上;乙同学保持F水平,逐渐缓慢增大θ角。
则在两种情况下分析正确的是(　　)
A.甲同学的外力F一直增大
B.甲同学的外力F先增大后减小
C.乙同学的外力F逐渐增大,绳子拉力FT逐渐增大
D.乙同学的外力F逐渐增大,绳子拉力FT逐渐减小
C
解析 甲同学保持小球位置及θ角不变,缓慢减小α角至F竖直向上,根据三角形定则进行动态分析,如图甲所示,由于保持小球位置及θ角不变,缓慢减小α角至竖直向上,F先减小后增大,A、B错误;乙同学保持F水平,逐渐缓慢增大θ角,根据三角形定则进行动态分析,如图乙所示,由于保持F水平,逐渐缓慢增大θ角,则F逐渐增大,FT逐渐增大,C正确,D错误。故选C。
甲
乙
解题指导
1.图解法解决动态平衡问题的求解思路
(1)先找恒力。
(2)再找方向不变的力。
(3)再画大小、方向均变的力,从而明确两个变力的变化情况。
2.解析法解决动态平衡问题的求解思路
(1)对研究对象进行受力分析,先画出受力示意图。
(2)再根据物体的平衡条件,应用正交分解的方法列方程,得到因变量与自变量的关系表达式。
(3)根据自变量的变化确定因变量的变化。
角度二　“一力恒定,另两力方向均变化”的动态平衡问题
例2 (多选)如图,柔软轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一重物,用手拉住绳的另一端N,初始时,OM竖直且MN被拉直,OM与MN之间的夹角为α。现将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)
A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小
AD
解析 利用矢量圆,如图所示,重力保持不变,是矢量圆的一条弦,FOM与FMN夹角即圆周角保持不变,由图知FMN一直增大到最大,FOM先增大再减小,当OM与竖直方向夹角为θ=α-90°时FOM最大。
破题思维链
解题精要
辅助圆模型的应用技巧
画出三力的矢量三角形的外接圆,不变力为一固定弦,因为固定弦所对的圆周角大小始终不变(圆周角的两个边对应两个变力),改变一力的方向,另一力大小方向变化情况可得。基本矢量图,如图所示。
角度三　相似三角形模型
例3 (跨学科融通)(2026黑龙江哈尔滨检测)如图所示,圆心为O、半径为R=1 m的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上,在O点正上方有一光滑的小定滑轮C,小定滑轮到轨道最高点B的距离为1.5 m,轻绳的一端系一质量为1 kg的小球(小球和小定滑轮均可视为质点),靠放在光滑圆形轨道上的A点,A点到小定滑轮的距离为2 m,另一端绕过小定滑轮后用力拉住。
重力加速度大小g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
A.小球静止在A点时,圆形轨道对小球的支持力大小FN=5 N
B.缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B,该过程中小球所受支持力大小不变
C.小球静止在A点时,绳对小球的拉力大小FT=10 N
D.缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B,该过程中绳子拉力先变小后变大
B
解析 小球受力如图所示,由平衡条件可知,力的矢量三角形与几何△AOC相似,则有,解得FN==4 N,FT==8 N,A、C错误;缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B,根据FN=,FT=,其中mg、R、h均不变, L逐渐减小,则由上式可知,FN不变,FT变小。B正确,D错误。故选B。
破题思维链
解题精要
相似三角形模型的应用技巧
力的三角形与几何三角形相似,进而由力的矢量三角形
与几何三角形对应边成比例,判断未知力的大小和方向。
基本矢量图,如图所示。
基本关系式(小球视为质点时):。
角度四　晾衣杆模型
例4 (多选)如图所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的A、B两点,悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件,当衣架静止时,
下列说法正确的是(　　)
A.绳的右端上移到B',绳子拉力不变
B.将杆N向右移一些,绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移
AB
解析 如图所示,由几何关系可知∠1=∠5=∠2=∠4,若绳子的端点B向上移至B',绳的夹角大小不变,故晾衣绳拉力不变,故A正确。杆N右移,绳长不变,两段绳的夹角变大,但合力大小、方向均不变,故绳的拉力变大,故B正确。只要杆M、N间距不变,如图所示,无论移动哪个端点,绳的拉力始终保持不变,故C错误。若要换挂质量更大的衣服,只是衣服所受的重力增大,绳与竖直方向的夹角θ不变,则衣架悬挂点不变,故D错误。
破题思维链
解题精要
晾衣杆模型的应用技巧
明确两竖直杆间距是否变化:间距变,两绳夹角变;间距不变,无论悬点在杆上如何变化,两绳夹角均不变。
考点二　平衡中的临界极值问题
角度一　临界问题
例5 (2026河北邯郸测试)如图所示,物块P与Q间的滑动摩擦力为5 N,Q与地面间的滑动摩擦力为10 N,R为定滑轮,其质量及摩擦均可忽略不计,现用一水平拉力F作用于P上并使P、Q发生运动,则F至少为(　　)
A.5 N B.10 N
C.15 N D.20 N
D
解析 设即将要使P、Q 发生运动时,滑轮上绳子的拉力为T,P受到向左的拉力T、向左的摩擦力5 N、向右的拉力F,Q受到向左的拉力T、上表面向右的摩擦力5 N、下表面向右的摩擦力10 N,根据平衡条件得,T+5 N=F, T=5 N+10 N=15 N,解得F=20 N,即至少20 N,D正确;A、B、C错误。故选D。
破题思维链
角度二　极值问题
例6 (跨学科融通)(多选)(2026辽宁大连模拟)水平地面上有一质量为m的木箱,木箱与地面间的动摩擦因数为。现对木箱施加一拉力F,使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平地面的夹角为θ,如图所示,在θ从0°逐渐增大到接近90°的过程中,木箱的速度始终保持不变,重力加速度为g。下列判断正确的是(　　)
A.θ=30°时拉力F最小,最小值为mg
B.θ=60°时拉力F最大,最大值为2mg
C.木箱受到的摩擦力逐渐减小
D.拉力F与重力mg的合力方向保持不变
CD
解析 依题意,对木箱受力分析如图所示,根据平衡条件可得,Fcos θ=Ff=
μ(mg-Fsin θ),得F=,令sin α=,cos α=,即tan α=,可得F=,因为μ=,所以可得α=60°,F=,当θ=30°时,拉力F最小,最小值为mg,θ=90°时,拉力F最大,最大值为mg, 选项A、B错
误;根据平衡条件可知,拉力F与重力mg的合力方向与支持
力和摩擦力的合力方向相反,由于Ff=μFN,可知支持力和
摩擦力的合力方向始终保持不变,则拉力F与重力mg的合
力方向不变,D正确;将摩擦力和支持力的合力看成一个力,
且方向不变,根据三力动态平衡特点,用作图法可知,合力逐
渐减小,即摩擦力逐渐减小,选项C正确。
破题思维链第9讲动态平衡及平衡中的临界极值问题
基础·满分练
命题角度一　解析法、图解法解决动态平衡问题
1.(2026浙江台州期末)如图所示,围棋比赛时的评析棋盘是倾斜的,棋盘内是铁板,而每个棋子都是一个小磁铁,棋子静止在磁性棋盘上,下列有关受力的说法正确的是(　　)
A.磁性越强的棋子,所受摩擦力越大
B.棋子所受重力与支持力是一对平衡力
C.棋子对棋盘的压力是由于棋盘的形变产生的
D.若棋盘与竖直方向的夹角增大一点,棋子与棋盘间的弹力将变大
2.如图甲所示,某人借助瑜伽球锻炼腿部力量,她曲膝静蹲,背部倚靠在瑜伽球上,瑜伽球紧靠竖直墙面,假设瑜伽球光滑且视为均匀球体,整体可简化为图乙。在人缓慢竖直站立的过程中,人的背部与水平面的夹角θ<,下列说法正确的是(　　)
A.墙面对球的力保持不变
B.人受到地面的摩擦力变大
C.地面对人的支持力变大
D.球对人的压力先增大后减小
命题角度二　数学方法解决动态平衡问题
3.(跨学科融通)(多选)如图所示,工地上工人用小推车运送光滑的圆柱形材料,车的上表面OA前端O固定有挡板OB,∠AOB为钝角,到达目的地后工人抬起小推车的把手,使挡板OB由图示位置缓慢沿逆时针方向转至水平。设圆柱形材料对OA、OB压力的大小分别为F1、F2,则在此过程中(　　)
A.F1一直减小 B.F1先增大后减小
C.F2一直增大 D.F2先减小后增大
4.(2026四川广安模拟)某智能机械臂应用模型如图所示,机械臂通过不可伸长的吊索OB和可以伸缩的液压杆OA吊起重物,其中A点通过铰链与竖直墙面连接。现缓慢调整液压杆OA,使吊索OB逐渐趋近水平,在此过程中(　　)
A.OA的支持力逐渐增大,OB的拉力大小不变
B.OA的支持力先减小后增大,OB的拉力大小不变
C.OA的支持力逐渐增大,OB的拉力逐渐减小
D.OA的支持力大小不变,OB的拉力逐渐减小
命题角度三　临界、极值问题
5.(2025河北卷)如图所示,内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上,左右边沿等高。该截面内,一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球,一端固定于凹槽左边沿,另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径,所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点,则F的最大值为(　　)
A.G B.G
C.G D.G
6.(2026陕西西安模拟)如图所示,要使物块静止在斜面上必须在物体上施加一平行于斜面向上的拉力F,已知F的最大值为a,最小值为b,则物块所受的最大静摩擦力为(　　)
A. B.
C. D.
7.(10分)(2026广东汕头期末)如图所示,质量为m的物体甲通过三段连接于O点的轻绳竖直悬挂,OB水平且B端与放置在水平桌面上的物体乙相连,OA与竖直方向夹角θ=37°,甲、乙均处于静止。已知重力加速度g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8:
(1)求轻绳OA、OB各自的拉力大小;
(2)若物体乙的质量为m'=3 kg,与桌面间的动摩擦因数为μ=0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。欲使乙不滑动,求甲质量的最大值。
能力·高分练
8.在楼房维修时,工人使用如图所示的装置提升建材,为防止碰撞阳台,跨过光滑定滑轮的a绳和b、c绳连结在O点,甲在固定位置拉动绳的一端使建材上升,乙在地面某固定位置用力拉着足够长的b绳。在建材沿竖直方向匀速上升过程中,下列说法正确的是(　　)
A.甲受到的支持力FN甲变大,乙受到的支持力FN乙变大
B.甲受到的支持力FN甲变小,乙受到的支持力FN乙变小
C.甲受到的摩擦力Ff甲变大,乙受到的摩擦力Ff乙变小
D.甲受到的摩擦力Ff甲变小,乙受到的摩擦力Ff乙变大
9.如图所示,右侧面光滑的斜面体固定在水平面上,质量相等的物块M、N分别放在斜面体的左右两个面上,M、N连接在跨过光滑定滑轮的轻质细绳两端,整个系统处于静止状态。现对N施加一始终与右侧细绳垂直的拉力F,使N缓慢移动至右侧细绳水平,该过程M保持静止。下列说法正确的是(　　)
A.拉力F逐渐增大
B.细绳的拉力先减小后增大
C.M所受摩擦力先增大后减小
D.斜面对M的作用力先增大后减小
10.(跨学科融通)(多选)如图所示,一辆卡车卸货前,已经将车斗倾斜(倾角为30°),有一挡板未撤下且处于竖直状态。车斗里装了n根钢管(n>3),钢管质量均为m,忽略钢管与车斗底面、挡板之间的摩擦,各钢管均处于静止状态。下列说法正确的是(　　)
A.钢管1对挡板的弹力大小为nmg
B.钢管1对钢管2的弹力大小为mg
C.钢管1对车斗底面的压力大小为mg
D.若将挡板绕下端点缓慢顺时针转30°,则转动过程中车斗底面对所有钢管的支持力均减小
11.如图所示,两根半圆柱体静止于粗糙程度处处相同的水平地面上,紧靠但无相互作用力。现将一根圆柱体轻放在这两根半圆柱体上,三者均静止。已知圆柱体和两半圆柱体的材料、长度、半径、密度均相同,不考虑它们之间的摩擦,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为(　　)
A. B.
C. D.
素养·提升练
12.中国古代建筑的门闩凝结了劳动人民的智慧。如图是一种竖直门闩的原理图,当在水平槽内向右推动下方木块A时,木块B沿竖直槽向上运动,方可启动门闩。水平槽、竖直槽内表面均光滑,A、B间的接触面与水平方向成45°,A、B间的动摩擦因数为0.2,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知B的质量为m,重力加速度大小为g。为了使门闩刚好能被启动,则施加在A上的水平力F最小应为(　　)
A.mg B.mg
C.mg D.mg
答案：
1.D　解析 磁性棋盘是倾斜放置的,棋子静止在上面时受到重力、弹力、磁力及静摩擦力,静摩擦力始终等于重力沿斜面向下的分力,与棋子的磁性无关,A错误。由于棋盘是倾斜的,棋子所受重力与支持力互成一定的夹角,不是一对平衡力,B错误。棋子对棋盘的压力是由于棋子的形变产生的,C错误。棋盘竖直时,棋子与棋盘间的弹力最小;若棋盘与竖直方向的夹角增大一点,棋子的重力垂直棋盘的分力增大,则棋子与棋盘间的弹力将变大,D正确。
2.B　解析 对瑜伽球受力分析如图(a)所示,由平衡条件可知F1=mgtan θ,F2=,人缓慢竖直站立的过程中,人的背部与水平面的夹角逐渐变大,则墙面对球的力F1增大,人对球的支持力增大,根据牛顿第三定律可知球对人的压力增大,故A、D错误;对整体受力分析如图(b)所示,由平衡条件可知,FN=(m+m')g,Ff=F1,则人受到地面的摩擦力变大,地面对人的支持力不变,故B正确,C错误。
3.AC　解析 如图所示,由平衡条件结合牛顿第三定律可以作出平衡时的矢量三角形,各角度如图所示,则θ=∠AOB,由正弦定理得,使挡板OB由图示位置缓慢沿逆时针方向转至水平,过程中α减小,β增大且不超过90°,故sin α减小,sin β增大,F1一直减小,F2一直增大,选项A、C正确。
4.A　解析 对O点受力分析如图所示,根据相似三角形关系可知,缓慢调整液压杆OA,使吊索OB逐渐趋近水平,在此过程中OA变大,OB不变,可知FAO变大,FOB不变。故选A。
5.B　解析 如图为小球的受力分析图,小球静止,合力为0,则有2Fcos θ+FN=G,其中θ=45°,当FN=0时,F有最大值,最大值Fmax=G,B项正确。
6.A　解析 根据题意,当F最大时,有Fmax=mgsin θ+Ffmax=a,当F最小时,有Fmin+Ffmax=b+Ffmax=mgsin θ,联立可得Ffmax=。故选A。
7.(1)mg　mg　(2)2 kg
解析 (1)结点O受力如图所示,由平衡条件得
轻绳OA的拉力为FTA=mg,轻绳OB的拉力为FTB=mgtan 37°=mg;
(2)当乙恰好不滑动时,轻绳OB的拉力最大,对应甲的质量为最大值。对乙物体由平衡条件得FTB=Ffmax,而Ffmax=μm'g,由(1)知FTB=mg,联立解得m=2 kg。
8.B　解析 建材沿竖直方向匀速上升,O点受到c绳的拉力大小等于建材的重力,受力分析如图所示,当建材上升时,a绳与竖直方向的夹角变大,b绳与竖直方向的夹角变小,根据平行四边形定则可知ab绳中的拉力都变大。对甲分析可知,甲手中的绳子与竖直方向的夹角不变,设夹角为θ,则有Facos θ+FN甲=G甲,故随着Fa变大,FN甲变小;对乙分析可知,乙手中的绳子与竖直方向的夹角变小,设夹角为α,则有Fbcos α+FN乙=G乙,故随着Fb变大,α变小,FN乙变小,故A错误,B正确。根据前面分析可知对工人甲水平方向Fasin θ=Ff甲,故随着Fa变大,Ff甲变大;对建材和乙整体分析,水平方向上根据平衡条件可知,工人乙水平方向上受到地面的摩擦力等于a绳沿水平方向上的分力,所以工人乙受到地面的摩擦力变大,故C、D错误。
9.A　解析 N离开斜面后,设F与竖直方向的夹角为θ,有FT=mgsin θ,F=mgcos θ,θ逐渐减小,所以细绳拉力逐渐减小,F逐渐增大,故A正确,B错误;力F作用之前,有mgsin 30°+Ff=mgsin 60°,所以原来M所受摩擦力沿斜面向下,随着细绳拉力的减小,M受到的摩擦力逐渐减小,当右侧细绳水平时,细绳拉力为零,则M受到的摩擦力沿斜面向上,所以M受到的摩擦力先沿斜面向下减小,再沿斜面向上增大,故C错误;斜面对M的作用力为斜面的支持力及摩擦力,因为支持力不变,所以当摩擦力先减小再增大时,斜面对M的作用力先减小后增大,故D错误。
10.AB　解析 n根钢管为整体,由平衡条件可得,挡板对整体的弹力大小为F挡=nmgtan 30°=nmg,可知钢管1对挡板的弹力大小为nmg,故A正确;以除了钢管1外的所有钢管为整体,由平衡条件可得,钢管1对钢管2的弹力大小为FN12=(n-1)mgsin 30° =mg,故B正确;对钢管1受力分析,在垂直斜面的方向上,由平衡条件可得FN斜=mgcos 30°+F挡sin 30°=mg,可知钢管1对车斗底面的压力大小为mg,故C错误;若将挡板绕下端点缓慢顺时针转动30°,则转动过程中车斗底面对除了钢管1外的其他钢管的支持力是减小的,当挡板转30°时,对钢管1,有FN1=mgcos 60°+nmgtan 60°sin 60°=mg,又n>3,则FN1>FN斜,故D错误。
11.B　解析 设圆柱体的质量为m,则半圆柱体的质量为,设圆柱体与半圆柱体之间的弹力大小为F,对圆柱体进行受力分析,根据平衡条件有2Fcos 30°=mg,解得F=mg;设地面对一个半圆柱体的支持力为FN,结合对称性,对圆柱体与半圆柱体整体有2FN=g,解得FN=mg,三者始终处于静止状态,则有Fsin 30°≤μFN,解得μ≥,即半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为,故选项B正确。
12.B　解析 分别对A、B受力分析如图所示,门闩刚好启动时,对A在水平方向上有F=FNsin 45°+Ffcos 45°,对B在竖直方向上有FNcos 45°=mg+Ffsin 45°,A、B间最大静摩擦力为Ff=μFN,则施加在A上的水平力F最小应为F=mg,故选项B正确。
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