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第10讲　探究弹簧弹力与形变量的关系
1.(6分)(2025重庆卷)弹簧是熄火保护装置中的一个元件,其劲度系数会影响装置的性能。小组设计了如图甲所示的实验装置测量弹簧的劲度系数,其中压力传感器水平放置,弹簧竖直放在传感器上,螺旋测微器竖直安装,测微螺杆正对弹簧。
(1)某次测量时,螺旋测微器的示数如图乙所示,此时读数为　　　　 mm。
甲
乙
(2)对测得的数据进行处理后得到弹簧弹力F与弹簧长度l的关系如图丙所示,由图可得弹簧的劲度系数为　　　　 N/m,弹簧原长为　　　　 mm(均保留3位有效数字)。
丙
2.(6分)(2026广东广州模拟)在探究弹力和弹簧伸长量的关系时,某同学先按图(a)所示对弹簧甲进行探究,然后把等长的弹簧乙(直径小于甲)套在弹簧甲内,两弹簧悬挂在同一点按图(b)所示进行探究。在弹性限度内,将质量m=50 g的钩码逐个挂在弹簧下端,测得图(a)、图(b)中弹簧的长度L1、L2如下表所示。
已知重力加速度g取9.8 m/s2,计算弹簧甲的劲度系数k1=　　　　 N/m,弹簧乙的劲度系数k2=　　　　 N/m(结果保留3位有效数字)。
钩码个数 1 2 3 4
L1/cm 30.02 31.02 32.02 33.02
L2/cm 29.33 29.65 29.97 30.29
3.(8分)某实验小组为测量自动笔里面被压缩弹簧的劲度系数,设计了如图甲所示的实验:将自动笔活动端竖直置于电子秤上,当竖直向下按下约0.80 cm时(未触底且未超过弹簧弹性限度),稳定后电子秤上的读数增加了37.85 g(重力加速度大小g取10 m/s2)。
(1)此笔里的弹簧劲度系数为　　　　 N/m(结果保留3位有效数字),这支笔的重力对实验　　　　(选填“有”或“无”)影响。
(2)由于弹簧较短,施加适当外力时长度变化不太明显,于是他们将三根相同的弹簧串起来,竖直挂在图乙所示的装置中。小组成员通过测量,作出三根弹簧的总长度l与相应所挂重物重力即拉力大小F的关系图像如图丙所示,则一根弹簧的劲度系数为　　　　 N/m(结果保留3位有效数字)。
4.(9分)(2026辽宁沈阳模拟) 某同学做“探究弹簧弹力与形变量的关系”实验,测量弹簧原长时为了方便,他把弹簧平放在桌面上使其自然伸长,用直尺测出弹簧的原长L0=8 cm,然后把弹簧悬挂在铁架台上,将6个完全相同的钩码逐个加挂在弹簧的下端,如图甲所示,测出每次弹簧对应的伸长量x,得到弹簧的伸长量x与钩码质量m的关系图像如图乙所示,g取10 m/s2。
(1)由图可知弹簧的劲度系数k=　　　　 N/m。
(2)由于测量弹簧原长时没有考虑弹簧自身重力,使得到的图像不过坐标原点O,这样测得的劲度系数k　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
(3)该同学用这根弹簧和一把刻度尺做了一个简易的弹簧测力计,用来测量木块A和长木板B之间的动摩擦因数μ。首先,他把弹簧上端固定在铁架台上,弹簧的上端与刻度尺的0刻度平齐,下端用不可伸长的轻质细线连接木块A,稳定后弹簧的下端与刻度尺的对应位置如图丙,然后把木块A放在水平长木板B上,使细线绕过定滑轮与长木板平行,拉动长木板向左运动,当弹簧测力计读数稳定后,弹簧的下端与刻度尺的对应位置如图丁所示,则木块与木板之间的动摩擦因数μ= 　　　　。
5.(9分)(2025山东泰安模拟)实验小组利用图甲所示装置探究弹簧弹力与形变量的关系。重物放在水平放置的力传感器上面,轻质弹簧一端与重物相连,另一端与跨过处于同一水平高度的两个光滑定滑轮的细线的M端相连,调整滑轮1的位置,使其下方的细线处于竖直状态。初始时,细线各部分均伸直但无拉力,滑轮2的右侧竖直固定一刻度尺,调整刻度尺的高度,使其零刻度线恰与细线的N端点对齐。现缓慢竖直向下拉端点N,分别记录端点N移动的距离x及对应的力传感器的示数F。F-x关系如
图乙所示,图中F0、x0均为已知量,当地的重力加速度为g。
(1)由图乙可得弹簧的劲度系数k=　　　　,重物的质量m=　　　　。
(2)若拉动端点N时偏离了竖直方向,则弹簧劲度系数的测量值　　　　(选填“大于”“小于”或“等于”)其真实值。
6.(12分)某同学用如图所示的装置测量弹簧的劲度系数k。将弹簧竖直悬挂在铁架台上,指针固定在弹簧上P1处,将刻度尺竖直固定在弹簧一侧,在弹簧下端依次悬挂2个到7个钩码,当钩码处于静止状态时,测出弹簧受到的拉力Fn与指针所指的刻度尺示数Ln,实验记录如下:
钩码个数n 2 3 4 5 6 7
Fn/N 0.98 1.47 1.96 2.45 2.94 3.43
Ln/cm 17.65 19.82 21.98 24.15 26.32 28.45
弹簧伸长量xn=Ln+3-Ln/cm 6.50 ① 6.47 — — —
回答下列问题:
(1)由表可知所用刻度尺的分度值为　　　　;
(2)将表中数据补充完整:①=　　　　;
(3)根据逐差法计算出弹簧的劲度系数k=　　　　 N/cm(结果保留三位有效数字);
(4)若将固定在弹簧上P1处的指针改为固定在弹簧上P2处,重做上述实验,则测得的劲度系数k'　　　　(选填“大于”“等于”或“小于”)k。
答案：
1.(1)7.415　(2)184　17.6
解析 (1)根据螺旋测微器的读数规则有7 mm+41.5×0.01 mm=7.415 mm。
(2)当弹力为零时弹簧处于原长为17.6 mm,将题图丙中图线反向延长与纵坐标的交点为2.50 N,则根据胡克定律可知弹簧的劲度系数为k==184 N/m。
2.49.0　104
解析 由表格中的数据可知,当弹力的变化量ΔF=mg=0.05×9.8 N=0.49 N时,弹簧甲的伸长量为Δx1=×[(33.02-32.02)+(32.02-31.02)+(31.02-30.02)] cm=1.00 cm,
根据胡克定律知弹簧甲的劲度系数k1==49.0 N/m,
把弹簧甲和弹簧乙并联起来时弹簧的伸长量Δx2=×[(30.29-29.97)+(29.97-29.65)+(29.65-29.33)] cm=0.32 cm,
根据胡克定律知弹簧甲、乙并联后的劲度系数k==153 N/m,
根据k并=k甲+k乙,可计算出弹簧乙的劲度系数k乙=153 N/m-49 N/m=104 N/m。
3.(1)47.3　无　(2)50.0
解析 (1)根据胡克定律,可得弹簧劲度系数为k=≈47.3 N/m。弹簧受挤压时弹力大小是借助电子秤测出的,与笔的重力无关,所以笔的重力对实验无影响。
(2)由于有三根弹簧,则弹簧劲度系数满足k= N/m=50.0 N/m。
4.(1)50　(2)不变　(3)0.5
解析 (1)根据kx=mg,可知x=m,图像的斜率表示,故k=50 N/m。
(2)因图像的斜率表示,可知测量弹簧原长时没有考虑弹簧自身重力,使得到的图像不过坐标原点O,这样测得的劲度系数不变。
(3)由题图乙可知,当弹簧竖直悬挂时由于重力作用,弹簧比水平放置时原长多2 cm,即竖直悬挂且不挂物体时弹簧长度为L=8 cm+2 cm=10 cm,根据题图丙可知k(L1-L)=mg,由题图丁可知k(L2-L)=μmg,其中L1=16.00 cm,L2=13.00 cm,解得μ=0.5。
5.(1)　(2)大于
解析 (1)对重物受力分析可知F=mg-FT,则ΔF=-ΔFT,对弹簧由胡克定律有FT=kx,联立可得k==-。当x=0时,弹簧拉力为零,力传感器的示数等于重物的重力,则F0=mg,解得重物的质量m=。
(2)若拉动端点N时偏离了竖直方向,则测量的弹簧的伸长量偏小,弹簧劲度系数的测量值大于其真实值。
6.(1)1 mm　(2)6.50　(3)0.227　(4)大于
解析 (1)题表中Ln数据的最后一位是毫米的下一位,所以所用刻度尺的分度值为1 mm。
(2)根据公式xn=Ln+3-Ln代入数据得①=L6-L3=26.32 cm-19.82 cm=6.50 cm。
(3)根据ΔF=kΔx可知k2=,k3=,k4=,则弹簧的劲度系数k=,联立并代入数据得k=0.227 N/cm。
(4)若将固定在弹簧上P1处的指针改为固定在弹簧上P2处,P1P2间的弹簧的形变没有测量,即弹簧的形变量的测量值偏小,则测得的劲度系数偏大。
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第10讲探究弹簧弹力与形变量的关系
基础 自主落实
课前 自检自测·回归教材
一、实验目的
探究弹簧弹力与形变量的定量关系。
二、实验器材
铁架台、弹簧、毫米刻度尺、钩码若干、三角板、坐标纸、重垂线。
三、实验操作
1.安装:按照实验原理图安装实验仪器,让弹簧自然
下垂,用重垂线检查刻度尺是否竖直。
平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码所受的重力
大小相等
2.测原长l0:用刻度尺测出弹簧自然伸长时的长度l0,
即原长。
3.测总长l:在弹簧下端挂一个钩码,静止时,记下对应的弹簧的总长度l及钩码的质量m。
4.重复:逐一增加钩码的个数,重复上述第3个步骤。
四、数据处理
1.计算弹簧的伸长量x:x=l-l0。
2.数据处理方法
(1)图像法:以弹力F(大小等于所挂钩码所受的重力)为纵坐标,以弹簧的伸长量x为横坐标,用描点法作图。用平滑的曲线连接各点,得出弹力F随弹簧伸长量x变化的图线。
(2)函数法:以弹簧的伸长量为自变量,写出图线所代表的函数表达式。首先尝试一次函数,如果不行则考虑二次函数。得出弹力和弹簧形变量之间的定量关系,解释函数表达式中常数的物理意义。
五、误差分析
1.钩码标值不准确、弹簧长度测量不准确以及画图时描点连线不准确等都会引起实验误差。
2.悬挂钩码数量过多,导致弹簧的形变量超出了其弹性限度,不再符合胡克定律(F=kx),图像发生弯曲。
3.水平放置弹簧测量其原长,由于弹簧有自重,将其悬挂起来后会有一定的伸长量,使图像横轴截距不为零。
易错辨析
(1)弹簧被拉伸时,不能超出它的弹性限度。(　　)
(2)用悬挂钩码的方法给弹簧施加拉力,应保证弹簧位于竖直位置且处于平衡状态。(　　)
(3)用直尺测得弹簧的长度即弹簧的伸长量。(　　)
(4)用几个不同的弹簧分别测出几组拉力与伸长量,得出的拉力与伸长量之比相等。(　　)
(5)测量弹簧原长时应将弹簧平放于水平桌面上。(　　)
(6)弹簧竖直悬挂于铁架台的横梁上,刻度尺应竖直固定在弹簧附近。
(　　)
√
√
×
×
×
√
考点一　教材原型实验
能力 探究突破
课中 课堂互动·考教衔接
实验注意事项
1.竖直和靠近:安装实验装置时,要保持刻度尺竖直并靠近弹簧。
2.适量:实验中弹簧下端挂的钩码不要太多,以免伸长量超过弹簧的弹性限度。
3.多测:要使用轻质弹簧,且要尽量多测几组数据。
角度一　实验原理和实验操作
例1 如图甲所示,用铁架台、弹簧和多个已知质量且质量相等的钩码探究在弹性限度内弹簧弹力与形变量的关系。
(1)为完成实验,还需要的实验器材有　 。
(2)实验中需要测量的物理量有　　 　　　　　　　　　　　　　　 。
刻度尺
弹簧原长、弹簧所受外力与弹簧对应的长度
(3)图乙是弹簧弹力F与弹簧伸长量x的关系图线,由此可求出弹簧的劲度系数为　　　　 N/m。图线不过原点是由于　　　　　 　　　。
200
弹簧受到自身重力
(4)为完成该实验,设计的实验步骤如下:
A.以弹簧伸长量为横坐标,以弹力为纵坐标,描出各组(x,F)对应的点,并用平滑的曲线连接起来
B.记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度l0
C.将铁架台固定于桌子上,并将弹簧的上端固定于横杆上,在弹簧附近竖直固定一把刻度尺
D.依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、4个……钩码,分别记下钩码静止时弹簧下端所对应的刻度,并记录在表格内,然后取下钩码
E.以弹簧伸长量为自变量,写出弹力与伸长量的关系式,首先尝试写成一次函数,如果不行,则考虑二次函数
F.解释函数表达式中常数的物理意义
G.整理仪器
请将以上步骤按操作的先后顺序排列起来:　　　　　EFG。
CBDA
解析 (1)根据实验原理可知还需要刻度尺来测量弹簧的长度。
(2)根据实验原理,实验中需要测量的物理量有弹簧的原长、弹簧所受外力与弹簧对应的长度。
(3)取图像中(0.5,0)和(3.5,6)两个点,代入ΔF=kΔx可得k=200 N/m;由于弹簧受到自身的重力,使得弹簧不加外力时就有形变量。
(4)实验中要先组装器材,即C,然后进行实验,即BD,再进行数据处理,分析解释表达式,最后整理仪器,即AEFG。所以先后顺序为CBDA。
角度二　数据处理及误差分析
例2 (2026北京海淀测试)某同学做“探究弹簧弹力和弹簧形变量的关系”的实验。
(1)该同学在实验后,根据记录的数据进行处理,描绘出弹簧的伸长量Δx与弹力F相关的点如图乙所示,请你根据所学知识用线来拟合这些点。
(2)根据拟合的线,本实验中弹簧的劲度系数k=　　　　 N/m;图线中后半部分明显偏离直线,你认为造成这种现象的主要原因是
　　　　　　　　　　　　　。
(3)若实验中刻度尺的零刻度低于弹簧上端固定的点,则由实验数据得到的劲度系数将　　　 　(选填“偏大”“偏小”或“不受影响”);若实验中刻度尺没有完全竖直,而读数时视线保持水平,则由实验数据得到的劲度系数将
　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不受影响”)。
100
超过弹簧的弹性限度
不受影响
偏小
解析 (1)如图所示
(2)由F=kΔx可知,Δx-F图像直线部分的斜率的倒数
表示弹簧的劲度系数,则k= N/m=100 N/m。
线中后半部分明显偏离直线,即弹簧弹力与形变量
不成正比,造成这种现象的主要原因是实验时所挂
钩码太多,弹簧被过度拉伸,超过弹簧的弹性限度。
(3)测量的形变量与刻度尺的零刻度位置无关,若实验中刻度尺的零刻度低于弹簧上端固定的点,则由实验数据得到的劲度系数将不受影响;若实验中刻度尺没有完全竖直,而读数时视线保持水平,测得的弹簧伸长量偏大,则由实验数据得到的劲度系数将偏小。
考点二　实验的改进与创新
常见创新实验方案
1.将弹簧水平放置或穿过一根水平光滑的直杆,在水平方向做实验。消除了弹簧自重的影响。
2.利用计算机及传感器技术,将弹簧水平放置,且一端固定在传感器上,传感器与计算机相连,对弹簧施加变化的作用力(拉力或推力)时,在计算机上得到弹簧弹力和弹簧形变量的关系图像(如图所示),分析图像得出结论。
角度一　实验装置的改进
例3 某兴趣小组测量一缓冲装置中弹簧的劲度系数。
缓冲装置如图所示,固定在斜面上的透明有机玻璃管
与水平面夹角为30°,弹簧固定在有机玻璃管底端。
实验过程如下:先沿管轴线方向固定一毫米刻度尺,
再将单个质量为200 g的钢球(直径略小于玻璃管内径)逐个从管口滑进,每滑进一个钢球,待弹簧静止,记录管内钢球的个数n和弹簧上端对应的刻度尺示数Ln,数据如表所示。实验过程中弹簧始终处于弹性限度内。采用逐差法计算弹簧压缩量,进而计算其劲度系数。
n 1 2 3 4 5 6
Ln/cm 8.04 10.03 12.05 14.07 16.11 18.09
(1)利用ΔLi=Li+3-Li(i=1,2,3)计算弹簧的压缩量:ΔL1=6.03 cm,ΔL2=6.08 cm, ΔL3=　　　　 cm,压缩量的平均值=　　　　 cm。
(2)上述是管中增加　　　　个钢球时产生的弹簧平均压缩量。
(3)忽略摩擦,重力加速度g取9.80 m/s2,该弹簧的劲度系数为　　　　 N/m
(结果保留3位有效数字)。
6.04
6.05
3
48.6
解析 (1)根据题意ΔL3=L6-L3=6.04 cm;
压缩量的平均值=6.05 cm。
(2)根据题意,上述是管中增加3个钢球时产生的弹簧平均压缩量。
(3)根据胡克定律,弹簧的劲度系数k==48.6 N/m。
角度二　实验器材的创新
例4 (2025八省联考云南卷)某实验小组在完成“探究弹簧弹力与形变量的关系”实验后,为提高测量精度,重新设计实验方案来测量弹簧的劲度系数k。实验装置如图甲所示,实验步骤如下:
①用卡钳将游标卡尺的游标尺竖直固定在一定高度;
②弹簧的一端固定在游标卡尺尺身的外测量爪上,另一端钩住钢球上的挂绳;
③将钢球放在水平放置的电子天平上,实验中始终保持弹簧竖直且处于拉伸状态(在弹性限度内);
④初始时,调节游标卡尺使其读数为0.00,此时电子天平示数为m0;
⑤缓慢向下拉动尺身,改变电子天平的示数m,m每增加1.00 g,拧紧游标尺紧固螺钉,读出对应的游标卡尺读数L,在表格中记录实验数据。
完成下列填空:
(1)缓慢向下拉动尺身,弹簧伸长量将　　　　(选填“增大”或“减小”)。
(2)部分实验数据如下表,其中6号数据所对应的游标卡尺读数如图乙所示,其读数为　　　　 mm。
数据编号 1 2 3 4 5 6
游标卡尺 读数L/mm 0.00 4.00 8.10 12.08 16.00
电子天平 示数m/g 28.00 29.00 30.00 31.00 32.00 33.00
减小
19.92
(3)根据上表,用“×”在图丙坐标纸中至少描出5个数据点,并绘制m-L图像。
(4)写出m随L的变化关系式m=　　　　　　(用m0、L、k和重力加速度g表示)。
(5)根据m-L图像可得弹簧的劲度系数k=　　　　 N/m(g取9.80 m/s2,结果保留3位有效数字)。
m0+k
2.45
解析 (1)弹簧处于伸长状态,缓慢向下拉动尺身,弹簧总长度减小,故弹簧伸长量将减小。
(2)其中6号数据所对应的游标卡尺读数为
19 mm+46×0.02 mm=19.92 mm。
(3)m-L图像如图所示。
(4)设钢球的质量为m',初始状态弹簧的伸长量为x0,有m'g=m0g+kx0
m'g=mg+k(x0-L)
两式联立得m=m0+k。
(5)由m=m0+k
可知m-L图像的斜率为=0.25 kg/m
得k=9.80×0.25 N/m=2.45 N/m。
角度三　实验目的的创新
例5 (2025四川卷)某学习小组利用生活中常见物品开展“探究弹簧弹力与形变量的关系”实验。已知水的密度为1.0×103 kg/m3,当地重力加速度为9.8 m/s2。实验过程如下:
(1)将两根细绳分别系在弹簧两端,将其平放在较光滑的水平桌面上,让其中一个系绳点与刻度尺零刻度线对齐,另一个系绳点对应的刻度如图所示,可得弹簧原长为　　　　 cm。
13.15
(2)将弹簧一端细绳系到墙上挂钩,另一端细绳跨过固定在桌面边缘的光滑金属杆后,系一个空的小桶。使弹簧和桌面上方的细绳均与桌面平行,如图所示。
(3)用带有刻度的杯子量取50 mL水,缓慢加到小桶里,待弹簧稳定后,测量两系绳点之间的弹簧长度并记录数据。按此步骤操作6次。
(4)以小桶中水的体积V为横坐标,弹簧伸长量x为纵坐标,根据实验数据拟合成如图所示直线,其斜率为200 m-2。由此可得该弹簧的劲度系数为
　　　　 N/m(结果保留2位有效数字)。
丙
(5)图丙中直线的纵截距为0.005 6 m,可得所用小桶质量为　　 　　 kg
(结果保留2位有效数字)。
49
0.028
解析 本题考查探究弹簧弹力与形变量关系实验。
(1)刻度尺最小刻度为1 mm,往下估读一位,弹簧原长为13.15 cm。
(4)对桶和水受力分析,由胡克定律得kx=mg+ρVg
变形得x=V+
斜率=200 m-2,可得k=49 N/m。
(5)由x=V+可知,当V=0时,有0.005 6 m=
可得m=0.028 kg。

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