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第11讲　探究两个互成角度的力的合成规律
基础 自主落实
课前 自检自测·回归教材
一、实验目的
验证力的平行四边形定则。
二、实验思路
1.等效法:一个力F'的作用效果和两个力F1、F2的作用效果都是让同一条一端固定的橡皮条伸长到同一点,所以一个力F'就是这两个力F1和F2的合力。
2.平行四边形定则:根据平行四边形定则作出力F1和F2的合力F的图示。
3.验证:通过比较F和F'的大小和方向,验证力的平行四边形定则。
三、实验器材
木板、白纸、图钉若干、橡皮条、细绳、弹簧测力计(2只)、三角板、刻度尺等。
四、实验操作
1.器材安装:
如图甲,用图钉在方木板上固定一张白纸,把橡皮条的一端固定在G点,另一端拴上两个细绳套。
2.测量与记录:
(1)两力拉:如图乙,用两个弹簧测力计分别钩住两个细绳套,互成角度地拉橡皮条,使橡皮条伸长,结点到达某一点O。描下O点位置、两个细绳套的方向,记录两个弹簧测力计的读数。
(2)一力拉:如图丙,只用一个弹簧测力计,通过细绳套仍把小圆环拉到O点,记下细绳套的方向和弹簧测力计的读数。
3.重复实验:改变两弹簧测力计拉力的大小和方向,重做几次实验。
五、数据处理
1.画平行四边形
(1)画F1、F2的图示:用铅笔和刻度尺从结点O画两分力的方向,按选定的标度作出F1、F2的图示。
(2)画平行四边形:以F1、F2为邻边作平行四边形,过O点的对角线代表的力为F。
2.画合力的图示:用刻度尺从O点按同样的标度沿记录的方向作出用一只弹簧测力计拉细绳套的读数F'的图示。
3.实验结论:比较F与F'在误差允许的范围内是否完全重合,从而总结出两个互成角度的力的合成规律:平行四边形定则。
六、误差分析
1.系统误差:弹簧测力计本身不够准确造成的误差,为此要选择比较准确的弹簧测力计。
2.偶然误差:弹簧测力计读数和作图造成偶然误差,需要多做几次实验,并且使两分力F1、F2的夹角适当大些。
易错辨析
(1)实验前,应在两弹簧测力计调零后水平互钩对拉,选择两读数相同的弹簧测力计。(　　)
(2)实验过程中,弹簧测力计外壳可以与木板有接触。(　　)
(3)在合力不超过弹簧测力计量程及橡皮条弹性限度的前提下,拉力的数值应尽量大些。(　　)
(4)本实验应作出力的示意图来探究合力与分力的关系。(　　)
(5)连接橡皮条与弹簧测力计的细线应尽量短。(　　)
(6)两弹簧测力计所拉细线的夹角必须是30°。(　　)
(7)本实验采用了等效替代的研究方法。(　　)
√
×
√
×
×
×
√
考点一　教材原型实验
能力 探究突破
课中 课堂互动·考教衔接
实验关键事项
1.等效:同一次实验中,两次把橡皮条拉长后的结点O位置必须保持不变
2.合适:两个弹簧测力计拉橡皮条时,两分力F1、F2的夹角不要太大或太小。在合力不超出弹簧测力计的量程及橡皮条不超出弹性限度的前提下形变应尽量大一些。
3.平行:沿弹簧测力计轴线方向拉细绳套,橡皮条、弹簧测力计和细绳套与纸面平行。
4.画线:不要直接沿细绳套的方向画直线,应在细绳套末端用铅笔画一个点,将所标点与O点连接,即可确定力的方向。
5.规范作图:恰当选定标度,使力的图示稍大一些。
角度一　实验原理和实验操作
例1 (2023全国乙卷)在“验证力的平行四边形定则”的实验中使用的器材有木板、白纸、两个标准弹簧测力计、橡皮条、轻质小圆环、刻度尺、铅笔、细线和图钉若干。完成下列实验步骤:
①用图钉将白纸固定在水平木板上。
②将橡皮条的一端固定在木板上,另一端系在轻质小圆环上。将两细线也系在小圆环上,它们的另一端均挂上测力计。用互成一定角度、方向平行于木板、大小适当的力拉动两个测力计,小圆环停止时由两个测力计的示数得到两拉力F1和F2的大小,并　　　　。(多选,填正确答案标号)
A.用刻度尺量出橡皮条的长度
B.用刻度尺量出两细线的长度
C.用铅笔在白纸上标记出小圆环的位置
D.用铅笔在白纸上标记出两细线的方向
CD
③撤掉一个测力计,用另一个测力计把小圆环拉到
　　　　　　　　　　　　　　　,由测力计的示数得到拉力F的大小,沿细线标记此时F的方向。
④选择合适标度,由步骤②的结果在白纸上根据力的平行四边形定则作F1和F2的合成图,得出合力F'的大小和方向;按同一标度在白纸上画出力F的图示。
⑤比较F'和F的　　　　　　　,从而判断本次实验是否验证了力的平行四边形定则。
③步骤②中标记的小圆环位置
大小和方向
解析 ②两拉力F1和F2共同作用,产生的效果是使橡皮条一端的小圆环到某一位置;用一个力F将小圆环拉到同一位置,说明两种方法达到的效果一样,所以要记录小圆环的位置,选项C正确,A错误。力是矢量,所以还需记录两拉力F1和F2的方向,以便步骤④绘制平行四边形。细线的方向即F1和F2的方向,选项D正确。F1和F2的大小、方向与细线的长度无关,选项B错误。
角度二　数据处理及误差分析
例2 某同学用图甲所示装置做“探究两个互成角度的力的合成规律”实验。其中A为固定橡皮筋的图钉,O为橡皮筋与细绳的结点,OB和OC为细绳。
(1)要减小实验误差,下列措施可行的是　 。
A.两个分力F1、F2的大小要适当大些
B.两个分力F1、F2间的夹角要尽量大些
C.拉橡皮筋的细绳要细些且要稍短一些
D.标记细绳方向的点要尽量离结点近些
A
(2)若实验中弹簧测力计的量程均为5 N,某次实验用两个弹簧测力计拉橡皮筋时,两个绳套间的夹角为60°,两弹簧测力计的示数恰好均如图乙所示,弹簧测力计的示数为　　　　 N,你认为这次操作　　　　　(选填“合适”或“不合适”),原因是
　。
4.00
不合适
两个分力的合力大于弹簧测力计的量程,当用一个
弹簧测力计拉橡皮筋时将无法操作
(3)绘制结果如图丙所示,F与F'两力中,其中　　　　(选填“F”或“F'”)为合力的实际值。
丙
(4)实验中,如果将细绳换成橡皮筋,O点沿OB、OC方向的拉力仍等于弹簧测力计的读数,所得实验结果　　　　(选填“会”或“不会”) 发生变化。
F
不会
解析 (1)为了减小读数误差,应让两个分力适当大些,A正确;两个分力F1、F2间的夹角不宜过大或过小,B错误;为了准确记下拉力的方向,故采用两点描线时两点应尽量距离大一些,细绳应长些,C、D错误。
(2)该弹簧测力计的分度值为0.1 N,根据图示,读数为4.00 N。这次操作不合适。因为当F1与F2大小都为4.00 N,且夹角为60°时,两个力的合力大小为F=2F1cos 30°=4 N>5 N,即F超过了弹簧测力计的量程,当用一个弹簧测力计拉橡皮筋时将无法操作。
(3)F与F'两力中F为合力的实际值,即用一个弹簧测力计拉橡皮条时的拉力的值,F'是利用平行四边形定则求得的两个力合力的理论值。
(4)在实验中,如果将细绳换成橡皮筋,不会影响分力的大小与方向,那么实验结果不会发生变化。
考点二　探索创新实验
常见创新实验方案
1.合力的改进:橡皮条伸长到同一位置→钩码(重物)所受的重力不变。
2.分力的改进:弹簧测力计示数
→
3.力的大小创新:弹簧测力计的示数→橡皮条长度的变化。
角度一　实验原理的改进
例3 某实验小组做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验。
(1)本实验采用的实验方法是　　　　。
A.控制变量法
B.等效替代法
C.理想模型法
(2)实验时,下列说法不正确的是　　　　。
A.实验前需对弹簧测力计校零
B.实验时两个拉力的大小能相等
C.实验时应保持细绳与长木板平行
D.进行多次重复实验时,每次都必须使结点拉到O点
B
D
(3)实验结果如图甲所示。
在F1、F2、F、F'四个力中,不是由
弹簧测力计直接测得的力为　　　　。
A.F1 B.F2
C.F D.F'
(4)若用如图乙所示的装置来做实验,
OB处于水平方向,与OA夹角为120°,
则　　　(选填“OA”“OB”或“OC”)的力最大。
C
OA
解析 (1)该实验中,合力与两个分力的作用效果是等效的,所以本实验采用的科学方法是等效替代法。故选B。
(2)实验前需对弹簧测力计校零,故A正确,不满足题意;实验时两个拉力的大小能相等,也可以不相等,故B正确,不满足题意;为了减小误差,实验时应保持细绳与长木板平行,故C正确,不满足题意;每次实验时,两个力拉和一个力拉都应使结点拉到O的位置,但是不同次实验,O的位置可以改变,故D错误,满足题意。故选D。
(3)F1、F2、F'都是弹簧测力计测量得到的,F是通过作图得到的。故选C。
(4)以O为研究对象,对O点受力分析,根据平行四边形定则可知OA为斜边,则OA的力最大。
角度二　探究目的的创新
例4 (2025黑吉辽蒙卷)某兴趣小组设计了一个可以测量质量的装置。如图所示,细绳1、2和橡皮筋相连于一点,细绳1上端固定在A点,细绳2下端与水杯相连,橡皮筋的另一端与绳套相连。
为确定杯中物体质量m与橡皮筋长度x的关系,该小组逐次加入等质量的水,拉动绳套,使细绳1每次与竖直方向夹角均为30°且橡皮筋与细绳1垂直,待装置稳定后测量对应的橡皮筋长度。根据测得数据作出x-m关系图线,如图所示。
回答下列问题:
(1)将一芒果放入此空水杯,按上述操作测得x=11.60 cm,由图可知,该芒果的质量m0=　　　　 g(结果保留到个位)。若杯中放入芒果后,细绳1与竖直方向夹角为30°,但与橡皮筋不垂直,由图像读出的芒果质量与m0相比
　　　　(选填“偏大”或“偏小”)。
(2)另一组同学利用同样方法得到的x-m图像在后半部分弯曲,下列原因可能的是　　　　。
A.水杯质量过小
B.绳套长度过大
C.橡皮筋伸长量过大,弹力与其伸长量不成正比
(3)写出一条可以使上述装置测量质量范围增大的措施　 。
106
偏大
C
减小细绳1与竖
直方向的夹角
解析 (1)操作测得x=11.60 cm,由图(b)的图像坐标可知,该芒果的质量为106 g;若杯中放入芒果后,细绳1与竖直方向夹角为30°,但与橡皮筋不垂直,对细绳与橡皮筋结点受力分析,如图所示,根据共点力平衡可知橡皮筋的拉力变大,导致橡皮筋的长度偏大,若仍然根据图像读出芒果的
质量与m0相比偏大。
(2)另一组同学利用同样方法得到的x-m图像在后半部分弯曲,
可能是所测物体的质量过大,导致橡皮筋所受的弹力过大超过
了其弹性限度,从而使橡皮筋弹力与其伸长量不成正比。故选C。
(3)根据共点力平衡条件可知,当减小细绳1与竖直方向的夹角时,相同的物体质量对应橡皮筋的拉力较小,故对于相同的橡皮筋,可减小细绳1与竖直方向的夹角来增大该装置测量质量的范围。
角度三　实验器材的创新
例5 (2025安徽黄山模拟)某小组在“验证力的平行四边形定则”的实验中,用到了如图所示的器材。
(1)用两个相同的弹簧测力计悬挂在铁架台上的等高位置,用一根细线两端分别连接在两个弹簧测力计的挂钩上,细线上系一个铁球,当铁球静止在图示位置时(左侧细线长度大于右侧细线长度),左侧细线拉力为F1,右侧细线拉力为F2,则F1　　　　(选填“>”“<”或“=”)F2。
<
(2)测出左右细线与竖直方向的夹角,以两个拉力为平行四边形的两个边用图示法求出合力F合,再用弹簧测力计测出铁球所受的重力G。若得到二者在误差范围内大小相等、方向相反,即可验证力的平行四边形定则。
(3)改变悬挂铁球的位置多次测量,在其中一次实验中,测得其中一个力为F1=20 N,另一个力为F2=15 N,测出F1与竖直方向的夹角为37°,则小球所受的重力大小为　　　　 N(已知cos 37°=0.8)。
(4)若另一小组同学把细线换成了橡皮筋,则　　　　(选填“仍能”或“不能”)验证“力的平行四边形定则”。
25
仍能
解析 (1)根据平行四边形定则与细线长度关系,画出受力分析图,由图可知F1(3)同理,根据(1)图分析可知cos 37°=,解得G=25 N。
(4)若把细线换成橡皮筋,不影响拉力的大小,故仍能完成实验。第11讲 探究两个互成角度的力的合成规律
1.(8分)(2024海南卷)为验证两个互成角度的力的合成规律,某组同学用两个弹簧测力计、橡皮条、轻质小圆环、木板、刻度尺、白纸、铅笔、细线和图钉等器材,按照如下实验步骤完成实验:
甲
乙
Ⅰ.用图钉将白纸固定在水平木板上。
Ⅱ.如图甲、乙所示,橡皮条的一端固定在木板上的G点,另一端连接轻质小圆环,将两细线系在小圆环上,细线另一端系在弹簧测力计上,用两个弹簧测力计共同拉动小圆环到某位置,并标记圆环的圆心位置为O点,拉力F1和F2的方向分别过P1和P2点,大小分别为F1=3.60 N、F2=2.90 N;改用一个弹簧测力计拉动小圆环,使其圆心到O点,在拉力F的方向上标记P3点,拉力的大小为F=5.60 N。请完成下列问题:
(1)在图乙中按照给定的标度画出F1、F2和F的图示,然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F'。
(2)比较F和F',写出可能产生误差的两点原因 　。
2.(10分)(2026浙江选考模拟)某研究小组做“探究两个互成角度的力的合成规律”实验。
(1)实验中,要求用一个弹簧测力计拉橡皮条与用两个弹簧测力计同时拉橡皮条的“作用效果相同”。为满足此要求,实验中应保证　　　　　　　　　　　　　　　　。
(2)关于实验操作的建议,其中正确的有　　　　。
A.两弹簧测力计的夹角越小,越有利于减小误差
B.重复实验再次进行验证时,结点O的位置可以与前一次不同
C.用两个弹簧测力计互成角度拉橡皮条时的拉力必须都小于只用一个弹簧测力计时的拉力
D.使用弹簧测力计时,施力方向应沿弹簧测力计轴线;读数时视线应正对弹簧测力计刻度
(3)当用两个弹簧测力计拉细绳套时,需要记录的是　　　　。
A.绳子的长度
B.弹簧测力计的读数
C.结点位置
D.分力的方向
(4)如图丁所示,实验中,白纸上留下的标注信息有结点位置O、力的标度、两个分力的大小及表示力作用线的点。根据图示信息,可得图丁中F1和F2的合力大小为　　　。
(保留2位有效数字)
3.(10分)某实验小组利用三根完全相同的弹簧来验证力的平行四边形定则。如图所示,将白纸固定在水平木板上,将三根细绳套系于同一结点,然后同时用三根弹簧分别拉住每根细绳套,以合适的角度向三个不同方向拉开,当结点处于静止状态时,在白纸上标记下结点的位置O,并记下细绳套的方向以及弹簧的长度。改变三根弹簧的夹角,重复实验。
(1)关于本实验,下列说法正确的是　　　　;
A.在进行多次实验时,每次都要将结点拉至同一位置
B.为减小实验误差,相邻弹簧之间的夹角必须为120°
C.为减小实验误差,实验过程中需要保持弹簧与木板平行
(2)由于无法测得弹簧的拉力,某同学想利用测得的弹簧长度来代替拉力大小进行实验验证,此实验操作　　　　(选填“合理”或“不合理”);
(3)已知弹簧的原长均为20 cm,实验中结点静止时,三根弹簧的长度可能是　　　　。
A.24.21 cm,22.79 cm,27.45 cm
B.23.10 cm,25.22 cm,26.38 cm
C.26.03 cm,22.25 cm,23.14 cm
4.(10分)(2026浙江杭州模拟)如图甲所示是“探究两个互成角度的力的合成规律”实验。
甲
(1)下列仪器中,该实验需要的有　　　　;
A.弹簧测力计
B.打点计时器
C.秒表
D.刻度尺
(2)关于该实验,下列说法正确的是　　　　;
A.同一次实验中结点位置允许变动
B.应控制两条细线夹角为90°
C.两根细线越短越好
D.一只弹簧测力计也可以完成实验
(3)改用如图乙所示方案,橡皮筋的上端固定于O点,下端挂一重物M。弹簧测力计通过系在橡皮筋上N处的细线,缓慢水平向左拉。由于橡皮筋弹性发生了变化,发现两次拉动相同水平距离时,N点的轨迹并不重合,如①、②所示。则N分别处于a、b点时弹簧测力计拉力与橡皮筋拉力的合力是否变化 　　　　(选填“是”或“否”)。
乙
5.(12分)(2025全国卷)某探究小组利用橡皮筋完成下面实验。
图(a)
图(b)
(1)将粘贴有坐标纸的木板竖直放置。橡皮筋的一端用图钉固定在木板上,另一端悬挂钩码。钩码质量分别为200 g、250 g、…、500 g,平衡时橡皮筋底端在坐标纸上对应的位置如图(a)中圆点所示(钩码的质量在图中用数字标出)。悬挂的钩码质量分别为200 g和300 g时,橡皮筋底端位置间的距离为　　　　 cm。
(2)根据图(a)中各点的位置可知,在所测范围内橡皮筋长度的增加量与所挂钩码的　　　　　　　　(选填“质量”或“质量的增加量”)成正比,由此可求出橡皮筋的劲度系数为　　　　 N/m(保留2位有效数字,重力加速度取9.8 m/s2)。
(3)悬挂的钩码质量为m时,在橡皮筋底端施以水平向右的力F,平衡时橡皮筋方向如图(b)中虚线所示,图(b)中测力计的示数给出了力F的大小,则F=　　　　 N,m=　　　　(选填“200”“300”或“400”) g。
答案：
1.(1)见解析　
(2)①没有做到弹簧测力计、细绳、橡皮条都与木板平行;②读数时没有正视弹簧测力计
解析 本题考查验证两个互成角度的力的合成规律实验。
(1)按照给定的标度画出F1、F2和F的图示,然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F',如图所示。
(2)F和F'不完全重合的误差可能是:①没有做到弹簧测力计、细绳、橡皮条都与木板平行;②读数时没有正视弹簧测力计。
2.(1)两次将结点O拉至同一位置　(2)BD　(3)BCD　(4)4.4(4.1~4.8均正确)
解析 (1)一个弹簧测力计拉橡皮条与用两个弹簧测力计同时拉橡皮条的作用效果相同,为满足此要求,实验中应保证两次将结点O拉至同一位置。
(2)弹簧测力计之间的夹角太小会导致确定力的夹角的时候相对误差太大,会造成误差增大,故A错误;重复实验再次进行验证时,结点O的位置可以与前一次不同,同一次实验中结点O的位置不变,不会产生较大误差,故B正确;用两个弹簧测力计互成角度拉橡皮条时,拉力不一定都小于只用一个弹簧测力计时的拉力,故C错误;使用弹簧测力计时,施力方向应沿着弹簧测力计的轴线,读数时视线正对弹簧测力计刻度,故D正确。
(3)当用两个弹簧测力计拉细绳套时,需要记录的是弹簧测力计的读数、结点位置、分力的方向。故选BCD。
(4)通过平行四边形定则画出F1和F2的合力,如右图所示:
因此,可得合力大小为4.4 N。
3.(1)C　(2)不合理　(3)B
解析 (1)在进行多次实验时,每次不需要将结点拉至同一位置,故A错误;为减小实验误差,相邻弹簧之间的夹角不能太大也不能太小,但不需要一定为120°,故B错误;为减小实验误差,实验过程中需要保持弹簧与木板平行,故C正确。
(2)由于无法测得弹簧的拉力,某同学想利用测得的弹簧长度来代替拉力大小进行实验验证,此实验操作不合理,因为弹簧弹力与弹簧的伸长量成正比,但与弹簧长度不成正比。
(3)根据胡克定律可知弹簧弹力与弹簧的伸长量成正比,则可以用弹簧的伸长量代替弹力大小,已知弹簧的原长均为20 cm,则三根弹簧对应的伸长量分别为x1=24.21 cm-20 cm=4.21 cm,x2=22.79 cm-20 cm=2.79 cm,x3=27.45 cm-20 cm=7.45 cm,由于x1+x2x8+x9,故C错误。
4.(1)AD　(2)D　(3)否
解析 (1)弹簧测力计拉细绳,记录力的大小和方向;刻度尺用来作平行四边形,故选AD。
(2)为保证效果相同,同一次实验中结点位置不允许变动,故A错误;本实验通过作图探究两个互成角度的力的合成规律,所以两细绳之间的夹角适当就好,不一定要取90°, 故B错误;为了减小记录拉力方向的误差,拉橡皮条的细绳要适当长一些,故C错误;如果只用一只弹簧测力计,可以先将一个细绳套用手拉住, 另一个细绳套用弹簧测力计拉住,使橡皮条结点O拉到某一个位置, 记下两个拉力的方向,读出弹簧测力计的示数,然后把弹簧测力计换到另一边,再次把橡皮条结点O拉到同一位置,两次实验中保证细绳套的方向不变,即两次分力方向相同,此时记录弹簧测力计的示数,即另一个分力大小, 从而完成实验,故D正确。
(3)由于缓慢拉到a、b点,所以在a、b点受力平衡,则弹簧测力计拉力与橡皮筋拉力的合力与M的重力等大反向,所以N分别处于a、b点时弹簧测力计拉力与橡皮筋拉力的合力不变化。
5.(1)1.90　(2)质量的增加量　52　(3)1.00　300
解析 (1)根据图(a)可知悬挂的钩码质量分别为200 g和300 g时,橡皮筋底端位置间的距离为1.90 cm;
(2)根据图像可知钩码每增加相同的质量,橡皮筋增加相同的长度,故在所测范围内橡皮筋长度的增加量与所挂钩码的质量的增加量成正比。设橡皮筋原长为L0,劲度系数为k,根据胡克定律F=kx;其中F=mg,x为橡皮筋长度的增加量。设悬挂质量为m1、m2的钩码时,橡皮筋长度的增加量分别为x1、x2,则m1g=kx1,m2g=kx2,两式相减得(m2-m1)g=k(x2-x1),取m1=200 g=0.2 kg,m2=300 g=0.3 kg,Δx=x2-x1=1.9 cm=1.9×10-2 m,根据(m2-m1)g=k(x2-x1),可得k= N/m≈52 N/m。
(3)根据图(b)可知F=1.00 N;设橡皮筋与竖直方向夹角为θ,对橡皮筋下端点进行受力分析有tan θ=;从图中可知tan θ≈,结合F=1.0 N,可得m≈0.31 kg,所以取m=300 g。
1

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