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成都市郊县联盟2025-2026北师版八下数学单元检测测试题(五)分式与分式方程
A卷（100分）
选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
1．下列各式中：，是分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2025·云南·中考真题）函数的自变量x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若把分式中的x和y都扩大2 倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小2倍 D. 缩小4倍
4．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x的方程=0有增根，则m的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．－1
6．用换元法解时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（　　）
A．y2－2y＋1＝0 B．y2＋2y＋1＝0 C．y2＋y＋2＝0 D．y2＋y－2＝0
7．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．0或2 D．或3
8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2025·广东深圳·中考真题）计算： ．
10．若分式的值为0，则x的值是　 　．
11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．按一定规律排列的一组数：（其中a，b为整数），则b-a的值为　　　　　　 　
13．若分式方程的解为正数，则的取值范围是 　 ．
三、解答下列各题（本题满分48分．14题10分，15题10分，16题8分，17题10分，18题10分。）
14．解方程
（1）（2025·山东威海·中考真题）
（2）（2025·江苏·中考真题）．
15．（1）（2025·四川眉山·中考真题）先化简，再求值：．其中x、y满足
（2）先化简，再从－1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
16．下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…等量关系：甲商品数量＝乙商品数量
解法二 设…等量关系：甲商品进价﹣乙商品进价＝20
任务：
（1）解法一所列方程中的x表示 　 　，解法二所列方程中的x表示 　 　；
A．甲种商品每件进价x元
B．乙种商品每件进价x元
C．甲种商品购进x件
（2）请你选择其中的一种解法，解方程解决题目中提出的问题．
17．问题探索.
（1）已知一个分数 ,如果分子、分母同时增加1,分数的值是增大还是减小 请说明你的理由.
（2）若正分数 中分子和分母同时增加2,3,…,k（整数k>0）,情况如何
（3）请你用上面的结论解释下面的问题:
建筑学规定:民用住宅窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好,问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了 请说明理由.
18．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,那么称这个分式为“和谐分式”.
如：,则是“和谐分式”.
（1）下列分式中,属于“和谐分式”的是　　　　(只填序号).
①；②；③；④.
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：=　　 　　.
（3）判断的结果是不是“和谐分式”,并说明理由.
B卷（20分）
一、填空题(本题2个小题，每题2分共10分）
19.（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是 　 　
20.（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ．
二、解答题（本大题共2个小题，22题6分23题8分，共14分。）
22．（2025·四川成都·中考真题）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．
参考答案
A卷（100分）
选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C A B A D C
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分）
9. a-1 ； 10. 2 ； 11.且 ； 12. 42 ；
13.a<4且a≠2
三、解答下列各题（本题满分48分．14题10分，15题10分，16题8分，17题10分，18题10分。）
14.(1)解：
去分母，得，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以原方程的解是．
(2)解：在方程两边同时乘，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
检验：把代入，得：，
∴是原方程的增根，
15.（１）解：
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴原式．
（2）解：原式＝[﹣]÷
＝[﹣]）÷
＝
＝x+2
∵x﹣2≠0，x﹣4≠0，
∴x≠2且x≠4，
∴当x＝﹣1时，
原式＝﹣1+2＝1．
16.解：（1）由甲商品数量＝乙商品数量，
可得：中的x表示甲种商品每件进价x元，
由甲商品进价﹣乙商品进价＝20，
可得：20中的x表示甲种商品购进x件；
故答案为：A，C；
（2）选择解法一：设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为（x﹣20）元，
由题意得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣20＝50﹣20＝30，
答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元．
选择解法二：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件，甲种商品每件进价为元，乙种商品每件进价为元，
由题意得：20，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴50，30，
答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元．
17. 解：分数 （m>n>0）中，若分子、分母同时增加1，分数的值增大.
理由如下：
- = = ，
∵m>n>0，
∴n-m<0，m（m+1）>0，即 <0，
∴ < ，
∴分数 （m>n>0）中,，若分子、分母同时增加1，分数的值增大
（2）解：若正分数 中分子和分母同时增加k（整数k＞0），分数值增大，
理由如下：
- = = ，
∵m>n>0，k＞0，
∴ ＜0，m（m+k）＞0，
∴ ＜0，
∴ < （m>n>0，k>0）；
（3）解：住宅的采光条件变好.
理由: 设原来的地板面积和窗户面积分别为x，y，增加面积为k，
则由（2）知 > ，所以住宅的采光条件变好了.
18.解　(1)∵,∴①是“和谐分式”;
∵分式中分子的次数低于分母的次数,
∴该分式不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,
∴②不是“和谐分式”;
∵,∴③是“和谐分式”;
∵=2x+1,
∴④不是“和谐分式”.
故答案为①③.
(2)
=.
故答案为x-1+.
(3)的结果是“和谐分式”.
理由:
=
=
=
=
=4+.
∴的结果是“和谐分式”.
B卷（20分）
填空题(本题3个小题，每题2分共6分）
　6　 20.　
二、解答题（本大题共2个小题22题6分23题8分共14分）
22．（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元．
根据题意，得，
解得，经检验是原方程的解，且符合题意，
答：每个A种挂件的价格为25元；
（2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，
由（1）得每个B种挂件的价格为（元），
根据题意，得，
解得，
由于y为正整数，
故该游客最多购买11个A种挂件．
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