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第21讲　圆周运动中的临界、极值问题
基础·满分练
命题角度一　相对滑动情境的临界、极值问题
1.(2025河北石家庄期末)如图所示,游乐场有一水上转台,可在水平面内匀速转动,沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩,他们与盘间的动摩擦因数相同,当圆盘转速缓慢加快到两小孩刚好要发生滑动时,两小孩突然松手,则两小孩的运动情况是(　　)
A.两小孩均沿半径方向滑出后落入水中
B.两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动,不会发生滑动而落入水中
C.甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动,乙发生滑动最终落入水中
D.不知道甲乙质量关系,所以运动情况无法确定
命题角度二　两物体分离情境的临界、极值问题
2.细绳一端系住一个质量为m的小球(可视为质点),另一端固定在光滑水平桌面上方h高度处,绳长l大于h,使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动,重力加速度为g。若要小球不离开桌面,其转速不得超过(　　)
A. B.2π
C. D.
命题角度三　脱离圆轨道做离心运动的临界、极值问题
3.如图,当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时,车对桥顶的压力为车重的;如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时,恰好不受桥面支持力作用,则汽车通过桥顶的速度应为(g取10 m/s2)(　　)
A.15 m/s B.20 m/s
C.25 m/s D.30 m/s
命题角度四　脱离圆轨道做近心运动的临界、极值问题
4.如图所示,一质量为m=0.5 kg的小球(可视为质点),用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动,g取10 m/s2,下列说法不正确的是(　　)
A.小球要做完整的圆周运动,在最高点的速度至少为2 m/s
B.当小球在最高点的速度为4 m/s时,轻绳拉力为15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为45 N,小球的最大速度不能超过4 m/s
D.若轻绳能承受的最大张力为45 N,小球的最大速度不能超过4 m/s
命题角度五　倾斜面内圆周运动的临界、极值问题分析方法
5. (2025辽宁鞍山模拟)如图所示,在倾角为α=30°的光滑斜面上,有一根长为L=0.8 m的细绳,一端固定在O点,另一端系一质量为m=0.2 kg的小球,沿斜面做圆周运动,g取10 m/s2,小球在A点最小速度为(　　)
A.4 m/s B.2 m/s
C.2 m/s D.2 m/s
能力·高分练
6.如图所示的路段是一段半径约为120 m的圆弧形弯道,路面水平,路面对轮胎的最大静摩擦力为正压力的,下雨时路面被雨水淋湿,路面对轮胎的最大静摩擦力变为正压力的。若汽车通过圆弧形弯道时做匀速圆周运动,汽车可视为质点,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
A.汽车以72 km/h的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为43.2 m/s2
B.汽车以72 km/h的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为0.6 rad/s
C.晴天时,汽车以100 km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
D.下雨时,汽车以60 km/h的速率通过此圆弧形弯道时将做离心运动
7.奥运会女子艺术体操的球操比赛中,运动员手持橡胶球翩翩起舞的过程中,有时会手持球在竖直平面内做圆周运动,这一过程可近似看作半径为L的匀速圆周运动,运动过程中球所受的空气阻力大小恒为Ff,且Ff小于球的重力,方向与运动方向相反,当地重力加速度为g,则下列分析正确的是(　　)
A.转到圆心正上方时的最小速度一定是
B.转动过程中经过最高点和最低点时,手对球的作用力大小相等
C.转动一周的过程中两次经过圆心等高点时,手对球的作用力大小相等
D.转动一周的过程中人对球做功为2πLFf
8.(10分)(2025江苏无锡测试)如图所示,倾角为θ=30°的斜面体固定放置在水平地面上,在斜面上固定放置一个半圆管轨道AEB,圆管的内壁光滑,半径为r,最低点A、最高点B的切线水平,AB是半圆管轨道的直径,现让质量为m的小球(视为质点)从A点以一定的水平速度滑进圆管,圆管的内径略大于小球的直径,重力加速度为g。
(1)若小球在A的加速度大小为4.4g,到达B时的加速度大小为2g,则A点对小球沿斜面向上弹力大小与B点对小球沿斜面向下的弹力大小之差为多少
(2)若小球到达B点时沿斜面上下侧受到的弹力刚好为0,则小球的落地点与B点间的距离为多少
(3)若小球到达B点受到的弹力大小为0.4mg,则在此弹力作用下的两种平抛运动的水平位移之差的绝对值为多少
素养·提升练
9.(13分)(2025陕西高考适应性检查卷)如图所示,离心液体分离器是一种利用离心现象将液体混合物中不同密度的成分进行分离的设备。某次运行检测,注入密度为ρ的某种液体,当其达到稳态时,可将其简化如下:密度为ρ的液体在中心转鼓的作用下以恒定角速度ω绕中心轴在一个竖直放置的圆柱形容器内匀速旋转;液体在旋转过程中形成一个稳定的旋转环,可将其近似看作围绕中心轴在水平方向做匀速圆周运动的薄层液体。设薄层液体距离中心轴的半径为r,水平厚度d (d远小于r)、竖直深度h在运动过程中均保持不变。(r、ρ、d、h、ω、Δt均为已知量)求:
(1)在(极短的时间)Δt内,该薄层液体通过任意截面的质量Δm。
(2)该薄层液体在(极短的时间)Δt时间内速度的变化量Δv的大小。
(3)该薄层液体对容器外侧壁产生的压强p。
答案：
1.C　解析 当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时,乙物体靠甲的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动,松手后,乙所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力,乙要发生相对滑动,离圆盘圆心越来越远,最终落入水中;但是甲所需要的向心力小于甲的最大静摩擦力,所以甲仍保持相对圆盘静止状态,一起做匀速圆周运动,与甲乙的质量关系无关。故选C。
2.D　解析 对小球受力分析,小球受三个力的作用,重力mg、水平桌面支持力FN、绳子拉力F。小球所受合力提供向心力,设绳子与竖直方向夹角为θ,由几何关系可知R=htan θ,受力分析可知Fcos θ+FN=mg,Fsin θ=m=mω2R=4mπ2n2R=4mπ2n2htan θ;当球即将离开水平桌面时,FN=0,转速n有最大值,此时nm=,故选D。
3.B　解析 汽车在拱桥的最高点时,向心力由重力和支持力的合力提供,当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时,根据牛顿第二定律有mg-mg=m,若支持力为0,根据牛顿第二定律有mg=m,解得v2=20 m/s,故选B。
4.D　解析 设小球通过最高点时的最小速度为v0,则根据牛顿第二定律有mg=m,解得v0=2 m/s,故A正确;当小球在最高点的速度为v1=4 m/s时,设轻绳拉力大小为FT,根据牛顿第二定律有FT+mg=m,解得FT=15 N,故B正确;小球在轨迹最低点处速度最大,此时轻绳的拉力最大,根据牛顿第二定律有FTm-mg=m,解得vm=4 m/s,故C正确,D错误。
5.B　解析 小球恰好过A点时的速度最小,即小球过A点时绳子上的拉力恰好为零时,此时小球做圆周运动的向心力完全由小球重力沿斜面向下的分力来提供,由牛顿第二定律有mgsin 30°=m,解得vmin=2 m/s。故选B。
6.C　解析 汽车通过此圆弧形弯道时做匀速圆周运动,轨道半径R=120 m,运动速率v=72 km/h=20 m/s,向心加速度为a= m/s2≈3.3 m/s2,角速度ω= rad/s= rad/s,A、B错误;以汽车为研究对象,当路面对轮胎的摩擦力指向内侧且达到径向最大静摩擦力时,此时汽车的速率为安全通过圆弧形弯道的最大速率vm。设汽车的质量为m,在水平方向上根据牛顿第二定律得Ffm=m,在竖直方向有FN=mg,最大静摩擦力为正压力的,即Ffm=kFN,联立得vm=,解得vm≈111.5 km/h,所以晴天时,汽车以100 km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道,C正确;下雨时,路面对轮胎的最大静摩擦力变为正压力的,有vm'=,解得vm=78.8 km/h>60 km/h,所以汽车可以安全通过此圆弧形弯道而不做离心运动,D错误。
7.D　解析 球在竖直平面内做匀速圆周运动时,速率恒定,因此各点速度大小相同。最高点的最小速度通常由重力提供向心力(即v=),但题目中球受手的力和空气阻力作用,向心力由手的作用力、空气阻力和重力的合力提供,故最高点速度不一定是,故A错误;球在竖直平面内做匀速圆周运动时,向心力大小保持不变,转动过程中经过最高点和最低点时,手对球的作用力切向分力平衡空气阻力,而法向分力和重力的合力提供向心力,最高点法向分力为F向-mg,最低点为F向+mg,根据力的合成可知在最高点和最低点手对球的作用力大小不等,故B错误;转动过程中两次经过圆心等高处(圆心左右两侧),手对球的作用力法向分力提供向心力,但切向分力需要平衡重力和空气阻力的合力,假设球做逆时针方向的匀速圆周运动,右侧切向分力为mg+Ff,左侧为mg-Ff,根据力的合成可知在圆心等高点手对球的作用力大小不等,故C错误;根据动能定理,转动一周动能不变,合外力做功为0,则人对球做功与空气阻力做功之和为0,有W+WFf=0,而空气阻力做功为WFf=-2πLFf,所以人对球做功为W=2πLFf,故D正确。
8.(1)3.4mg　(2)r　(3)r
解析 (1)小球在A的加速度大小为4.4g时,有F1-mgsin θ=m×4.4g
到达B时的加速度大小为2g时,有F2+mgsin θ=m×2g
解得F1-F2=3.4mg。
(2)小球到达B点时沿斜面上下侧受到的弹力刚好为0,则有mgsin θ=m
小球从B点飞出后有2rsin θ=,x0=v0t0
小球的落地点与B点间的距离为L=
解得L=r。
(3)小球到达B点受到的弹力大小为0.4mg,
当该弹力方向沿斜面向下时,有0.4mg+mgsin θ=m
当该弹力方向沿斜面向上时,有mgsin θ-0.4mg=m
由于平抛高度一定,此两种情况下小球飞出至落地时间与(2)中相同,则水平位移之差的绝对值为Δx=v1t0-v2t0
解得Δx=()r=r。
9.(1)ρωrΔtdh　(2)rω2Δt　(3)ρω2dr
解析 (1)Δt时间内,对应液体体积ΔV=ωrΔtdh
对应质量Δm=ρΔV,联立可知Δm=ρωrΔtdh。
(2)由加速度定义式a=,向心加速度a=rω2
联立可知Δv=rω2Δt。
(3)由压强定义式p=,S=hωrΔt,向心力F=Δmrω2
联立可知p=ρω2dr。
7(共19张PPT)
第21讲　圆周运动中的临界、极值问题
考点一　水平面内圆周运动的临界、极值问题
能力 高分练
课中 关键能力·可视思维
角度一　相对滑动情境的临界、极值问题
例1 (2025河南南阳测试)如图所示,两个质量均为m、可视为质点的物块A、B放在粗糙的水平转盘上,两物块之间用不可伸长的细线相连,细线过盘心, A距离盘心较近。现让圆盘从静止开始绕过盘心的竖直轴转动,缓慢增大角速度直到两物块开始滑动。已知两物块与转盘之间的动摩擦因数相同,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,下列说法正确的是(　　)
A.物块A先达到最大静摩擦力
B.物块A所受的摩擦力一直指向圆心
C.若绳突然断了,可能A相对圆盘滑动,B相对圆盘静止
D.物块B所受摩擦力先增大后不变
D
解析 转盘从静止转动,初始时由摩擦力提供向心力,由Ff=mω2r,且rA破题思维链
解题精要
1.分析圆周运动临界问题的方法
(1)让角速度或线速度从小逐渐增大,分析各量的变化,找出临界状态;
(2)确定了物体运动的临界状态和临界条件后,选择研究对象进行受力分析,利用牛顿第二定律列方程求解。
2.两物体恰好不发生相对滑动的临界条件是两物体之间恰好达到最大静摩擦力,即F=Ffm。
角度二　两物体分离情境的临界、极值问题
例2 (多选)如图所示的三角形为一光滑锥体的正视图,锥面与竖直方向的夹角为θ=37°。一根长为l=1 m的细线一端系在锥体顶端,另一端系着一可视为质点的小球,小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,不计空气阻力,则(　　)
A.小球受重力、支持力、拉力和向心力
B.小球可能只受拉力和重力
C.当ω= rad/s时,小球对锥体的压力刚好为零
D.当ω=2 rad/s时,小球受重力、支持力和拉力作用
BC
解析 转速较小时,小球紧贴圆锥面,则FTcos θ+FNsin θ=mg,FTsin θ-FNcos θ=mω2lsin θ,随着转速的增加,FT增大,FN减小,当转速达到ω0时支持力为零,有mgtan θ=mlsin θ,解得ω0= rad/s,A错误,B、C正确;当ω=2 rad/s时,小球已经离开斜面,只受重力、拉力的作用,D错误。
破题思维链
解题精要
物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零,即FN=0。
考点二　竖直面内圆周运动的临界、极值问题
角度一　脱离圆轨道做离心运动的临界、极值问题
例3 夏季游乐场的“飞舟冲浪”项目受到游客的欢迎,简化模型如图所示。一游客(可视为质点)以某一水平速度v0从A点出发沿光滑圆弧轨道运动,至B点时脱离轨道,最终落在水面上的C点,不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A.在A点时,游客对圆弧轨道的压力等于其所受重力
B.在B点时,游客的向心加速度为g
C.从B点到C点的过程,游客做匀变速运动
D.从B点到C点的过程,游客做变加速运动
C
解析 在A点水平初速度为v0,有mg-FN=m,解得FN=mg-m,由牛顿第三定律可知游客对圆弧轨道的压力小于其所受重力,选项A错误;在B点恰好脱离轨道,设该点切线与水平方向夹角为θ,有man=mgcos θ,得出an=gcos θ,选项B错误;从B点到C点过程,游客只受重力,做匀变速曲线运动,选项C正确,D错误。
破题思维链
解题精要
物体做离心运动的动力学分析
拱形桥中,物体下滑到某位置,恰好满足mgsin θ=m时,物体不再受到拱形桥的弹力。
角度二　脱离圆轨道做近心运动的临界、极值问题
例4 (多选)如图所示,竖直平面内有一半径为R=0.35 m且内壁光滑的圆形轨道,轨道底端与光滑水平面相切,一小球(可视为质点)以v0=3.5 m/s的初速度进入轨道,g取10 m/s2,则(　 　)
A.小球不会脱离圆轨道
B.小球会脱离圆轨道
C.小球脱离轨道时的速度大小为 m/s
D.小球脱离轨道的位置与圆心连线和水平方向间的夹角为30°
BCD
解析 若小球恰能到达最高点,由重力提供向心力,则有mg=m,解得v= m/s,若小球从最低点恰好能到最高点,根据机械能守恒定律得mv0'2=mg·2R+mv2,解得v0'= m/s>v0=3.5 m/s,故小球不可能运动到最高点,小球会脱离圆轨道,故A错误,B正确;
设当小球脱离轨道时,其位置与圆心连线和水平方向间的夹角为θ,小球此时只受重力作用,将重力分解如图所示,在脱离点,支持力等于0,由牛顿第二定律得mgsin θ=m,从最低点到脱离点,由机械能守恒定律得=mgR(1+sin θ)+,联立解得sin θ=,即θ=30°,则v1= m/s,故C、D正确。
破题思维链
解题精要
物体做近心运动的动力学分析
绳模型中,物体上升到某位置,恰好满足mgsin θ=m时,物体不再受到指向圆心的弹力。

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