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二次根式单元提升小练
一、单选题
1．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则m的值为（ ）
A．25 B．31 C．36 D．45
3．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，．则图中两块阴影部分的面积和为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则二次根式化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．将1，，，按下列规律排列，若规定表示第m排从左至右第n个数，例如，表示．那么，表示和的数的积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
10．如图1，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2，那么的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若实数满足，则的取值范围是 ．
12．与最简二次根式是同类二次根式，则__________．
13．比较大小：______（填，或）．
14．对于任意实数、，定义新运算“※”：．则的值为______．
15．已知，，求的值_____．
16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，提出了利用三角形三边长求面积的“秦九韶公式”，即：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知的三边长为2，3，，利用公式可求得的面积是________．
17．如图，长方体的所有棱长和为，长、宽、高的比为，若一只蚂蚁从顶点沿长方体表面爬行到顶点，最短的路程是_______ ．
18．如图，在边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，，则的长为_________．
19．如图，四边形是菱形，连接，交于点．G为边上的一动点（不与点A， D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为_____．
20．若b，c分别为直角三角形两条直角边，且b，c满足（其中b，c为有理数），则该直角三角形的斜边长为______．
三、解答题
21．计算：
(1)； (2)．
22．已知，，求下列各式的值：
(1)______；______；
(2)．
23．定义：若两个二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．
(1)若m与是关于的友好二次根式，求的值；
(2)若与是关于的友好二次根式，求的值．
24．如图，某居民小区有一块矩形菜地，菜地的长为，宽为．现要在该菜地中挖一口圆形水井（阴影部分），水井的半径为．（取）
(1)求该菜地的周长；（结果化为最简二次根式）
(2)若除去水井部分，其他区域（图中空白部分）全部种植白菜，求种植白菜部分的面积．
25．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；；
(1)填空： ， ．
(2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ．
【拓展提升】
(3)化简：（请写出化简过程）．
26．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：，
∵无论x取何实数，都有，
∴，即的最小值为1．
(1)【尝试应用】：请直接写出的最小值_____；
(2)【拓展应用】：试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义；
(3)【创新应用】：如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值．
试卷第6页，共7页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B C A C A B B
1．B
【详解】解：对选项A：，A错误．
对选项B：，，B正确．
对选项C：表示16的算术平方根，结果为非负数，，C错误．
对选项D：与不是同类二次根式，不能直接合并，且，D错误．
2．B
【详解】解∶∵二次根式有意义，
∴ ，即．
∵，
∴ ，可得 ．
将化简结果代入原方程得
，
整理得，
两边平方得，
解得．
经检验符合题意．
3．B
【详解】解：．
4．B
【详解】解：当时，（秒）；
当时，（秒）；
∴．
5．C
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
6．A
【详解】解：由长方形内两个正方形的面积分别为，可知：它们的边长分别为，，
∴阴影部分的面积为．
7．C
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴被开方数满足．
∵，
∴，因此可得，
．
∵，
∴，
∴．
8．A
【详解】解：由图可知：第一排： 1 个数，第二排 2 个数，第三排 3 个数，第四排 4 个数，第排有个数，从第一排到第排共有：个数，且每四个数一个循环，表示第排第5个数，
∵前4排共有个数，
∴为第个数，
，
∴表示的数是；
∵表示第10排第8个数即第53个数，
，
∴表示的数为，
∴表示和的数的积是；
9．B
【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，连接，
，，，
．
，
的最大值为．
10．B
【详解】解：∵直线从原点出发沿轴正方向平移，平移的距离，
∴平移后的直线为直线，
由图2可知，当时，直线经过点；当时，直线经过点；当时，直线经过点，
在时，保持不变，
此时直线同时与、相交，且轴．
直线在二四象限的角平分线上，
∴直线与轴所成角中的锐角为．
如图，过点D作于点H，则，
∴．
∵，
∴
∴，
∴．
设，则，
设，则，
．
设，则，
当时直线过，即，
，即，
，
∴．
在中，，
平行四边形的周长．
11．
【详解】解：根据二次根式的性质可得：
由题意得 ，
整理得 ，
根据绝对值的性质，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数为非正数，
因此：，
解得．
12．
【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
解得，
∴．
13．
【详解】解：
，，
，
，
，
，
．
14．/
【详解】解：∵，
∴
．
15．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴
．
16．/
【详解】解：的三边长为2，3，，三角形的面积为，
的面积
．
17．
【详解】∵所有棱长和为，一组长、宽、高的和为，
又∵长、宽、高的比为
∴长方体的长为，宽为，高为
蚂蚁有三种爬法：
如图1：蚂蚁爬行的路径
如图2：蚂蚁爬行的路径
如图3：蚂蚁爬行的路径
∵
∴蚂蚁从爬到最短的距离是．
18．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵正方形的边长为6，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在和中，
∴，
∴．
19．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
当时，的值最小，即的值最小，
由等面积得，
即的最小值为．
20．
【详解】解：
将上述结果代入原等式得：
整理得：
因为为有理数，为无理数，
因此等式两边对应系数相等，可得方程组：
化简第一个方程得，
将该式与相加得，
解得，
将代入，
解得，
因为是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理，斜边长为：
21．(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
22．(1)6；3
(2)33
【详解】（1）解：；
；
（2）解：．
23．(1)
(2)2
【详解】（1）解：根据题意，得．
（2）解：根据题意，得．
∴．
∴．
∴．
24．(1)
(2)
【详解】（1）解：矩形菜地的周长为．
（2）解：∵水井的半径为，
∴水井面积为，
∵菜地面积为，
∴种植白菜部分的面积为．
25．(1)，；
(2)
(3)
【详解】（1）解：，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵两个正数
∴
∴；
（3）解：，
同理可得，
∴，
，
，
．
26．(1)
(2)见解析
(3)8
【详解】（1）解：，
∵无论x取何实数，都有，
∴，即的最小值为．
（2）解：
，
∵无论x取何实数，都有，
∴，
∴，
即
∴无论x取何实数，二次根式都有意义．
（3）解：过点A作于点D．
∵，，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴在中，
，
在中，
，
∴，
即，
化简得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值．

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