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2026年湖北省武汉市新新洲区第一中学高考数学第二轮试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，集合，则等于( )
A. B. C. D.
2.设为非零向量，则“对于任意”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知复数是方程的根，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径( )
A. B. C. 或 D.
5.在空间四边形中，，，分别是、上的点，且，则与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.人工智能领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出．是最常用的激活函数，下面关于表述错误的是( )
A. B.
C. D.
7.已知点在直线：上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 随机事件，相互独立的充要条件是
B. 设为随机变量，则
C. 若，则，
D. 若，记函数，，则的图象关于点对称
10.记等比数列的前项和为，已知，公比为，则( )
A. 是等比数列 B. 是等差数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
11.曲线：是优美的封闭曲线，其围成的面积记为，是与轴正半轴的交点，过原点的直线交于点，，则( )
A. B.
C. 当时，的最大值是 D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某公司利用随机数表对生产的支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按，，，进行编号，从中抽取个样本，若选定从第行第列的数开始向右读数，下面摘取了随机数表中的第行至第行，根据下图，读出的第个数的编号是 ．
13.函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
14.在母线与底面所成角为的圆锥内放入三个半径为的球，这三个球两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切，则圆锥的底面半径为 ；若再放入一个半径为的小球，使得它与三个小球均相切，且与圆锥的侧面相切，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，最小正周期的范围为．
求的取值范围；
若，函数的图象关于直线对称，求的值．
16.本小题分
甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试笔试共有道专业理论题与道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数考生能够正确作答的概率均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对道题才能进入面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立．
当时，求；
求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值．
17.本小题分
四棱柱的底面是菱形，且，，侧面是矩形，且是的中点．
求证：平面平面；
若平面与平面所成二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在上单调递减，求的取值范围；
证明：．
19.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的一条渐近线为．
求双曲线的标准方程；
为坐标原点，点、、是双曲线上不同三点，且、两点关于轴对称的外接圆经过点．
求证：直线与圆相切；
直线与渐近线交于，两点，求的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：，
因为最小正周期，由题设，即，解不等式可得，，故；
由得唯一正整数解，此时，令，，解得，则．
16.解：笔试共有道专业理论题与道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数考生能够正确作答的概率均为，
每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对道题才能进入面试，否则被淘汰出局，
甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立，
由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立，
甲笔试满分的概率为，则，
又，．
由题意，甲至少答对道题才能够进入面试，
甲能够进入面试的概率为：
，
，则，
则，
整理得，
，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为．
17.证明：取的中点，连接，，，则，，
所以，，，四点共面，
因为侧面是矩形，
所以，所以，
因为底面是菱形，且，
所以是等边三角形，
所以，
又，、平面，
所以平面，
而平面，
所以平面平面．
解：由知，，
所以就是平面与平面所成二面角，即，
因为平面平面，
故以为原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，，
所以，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，
而，
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：当时，，
则，所以切点坐标为；
求导得，则，所以切线斜率，
所以曲线在点处的切线方程：，即．
，
因为在上单调递减，
所以对于任意，都有，即，
因为，即对于任意恒成立，
令，
对于所有，不等式恒成立，只需，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，
所以，
所以的取值范围是．
证明：设，
对取自然对数，得：，
又，，，，，
于是，
构造函数，其中．
求导得，
当时，，所以在上单调递增，
则对于任意，有，
即，
而，
所以，
因此
，
由于，所以，
从而，
原不等式得证．
19.解：已知双曲线实轴长为，则，所以．
因为双曲线的一条渐近线为，即，所以，即，
所以双曲线的标准方程为；
证明：设，，则，均满足．
因为的外接圆经过点，所以可设的外接圆方程为，
所以，，
两式相减得，，故外接圆方程为，则，，
所以．
又，，
代入中整理得，
因为，所以．
设直线的方程为，联立双曲线方程整理，
当时，．
，，
则，
所以，即原点到直线的距离为，等于圆的半径，
故直线与圆相切．
因为点、、是双曲线上不同三点，所以．
直线与渐近线交于，与渐近线交于，
则．
直线与双曲线相交的弦长，
故．
由直线与双曲线相交可得，
即且，故．
当时，，即；
当时，，即
综上，的取值范围为
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