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2026年广西玉林市高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合中的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知某班位同学的体重单位：分别为，，，，，，，，则这组数据的( )
A. 极差为 B. 平均数为 C. 第三四分位数是 D. 方差为
5.函数的最小值和最小正周期分别为( )
A. B. C. D.
6.已知圆：与直线：相交于，两点，为坐标原点，若，则( )
A. B. C. D.
7.如图，圆台的高为，是母线，，现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为( )
A. B.
C. D.
8.已知正实数，，满足，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，则下列结论正确的是( )
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，且为常数，则
10.已知函数，则( )
A. ，是增函数
B. ，是奇函数
C. 若有三个不同的零点，，，则
D. 过点且与曲线相切的直线恰有条，则
11.已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，，两点均在轴上方，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则双曲线的渐近线方程为
C. 若是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是
D. 若是钝角三角形，直线，的斜率分别是，，则的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
13.已知的展开式中二项式系数之和为，则其展开式中系数最小项的系数为 ．
14.现有一个半径为的球状容器不考虑容器厚度，在容器内放置个半径相同的实心小球，若这个小球的球心恰为某个正方体的个顶点，则小球半径的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，，求的值．
16.本小题分
如图，在矩形中，，，为的中点现将沿折起到的位置，使得．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
讨论函数的单调性．
18.本小题分
已知椭圆的焦距为，过点的直线与交于，两点，为的中点，为坐标原点设的斜率为，直线的斜率为，．
求椭圆的方程；
若为直角三角形，求的值；
直线交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，探究：是否为定值？
19.本小题分
甲、乙两人进行冬奥会知识竞猜游戏，每轮竞猜两人获胜的概率均为．
若进行轮竞猜，记事件“甲获胜轮”为，“甲第轮获胜”为，判断与是否相互独立．
记进行轮竞猜时甲获胜轮的概率为．
(ⅰ)求满足的的取值集合；
(ⅱ)若两人的竞猜游戏在满足以下任一条件时终止：甲获胜轮，竞猜总轮数达到，记结束游戏时竞猜的轮数为，证明：
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，
可得，
根据余弦定理，
可得，
因为，
所以；
由，
可得，
根据两角和差的余弦公式可得，
所以，或，
即或，
在锐角三角形中，，所以，
由正弦定理，
可得，
得，
代入，可得，
得，即．
16.解：证明：如图，连接在矩形中，有，所以，
又因为，，所以平面，
所以．
由题意知，所以，
则，故AE．
又因为，所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
以为坐标原点，以的方向分别为，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知可得，
所以．
设平面的法向量为，
则，则，即，
取，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：当时，函数，
因此导函数．
令，那么可得，
且当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，无极大值．
．
当时，，
因为，因此函数在上单调递减．
当时，，
根据导函数，
令，那么可得．
当，即时，，
所以在上单调递增．
当，即时，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
18.解：设，，
因为，两点均在椭圆上，
所以，
两式相减得，
即．
因为为的中点，
所以，
所以直线的斜率为，
此时，
所以，
即，
因为椭圆的焦距为，
所以，
又，
解得，，
则椭圆的方程为；
设直线的方程为，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
若，
此时，
所以，
可得，
即，
因为，
所以，
整理得，
解得，符合题意；
若，
此时，
即，
所以．
因为，
所以或舍去，
可得，
则，符合题意，
若，
此时，
即，
所以．
因为，
所以或舍去，
可得，
则，符合题意，
综上所述，或；
因为直线的方程，
所以，
因为点为点关于轴的对称点，
所以，
则直线的方程为，
令，
解得，
因为，，
所以，
则．
故为定值，定值为．
19.解：由题意得，，
因．
因为，所以与相互独立．
法一：构造函数，
则，令
求导得，显然该函数为上的增函数，
当时，，
则即在上是增函数，故，
即在上是增函数，从而．
法二：由题意知等价于，
当时，；当时，；
当时，；当时，．
下面证明：当时，．
当时，
．
综上，满足的的取值集合为．
(ⅱ)证明：由题意知，，，，，
．
记，则，
作差，得，
所以，所以．
所以．
由知．
所以
，
所以
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