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2026年山东省菏泽市单县第一中学等校高考数学二模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数的实部与虚部相等，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
4.在数列中，已知，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆与圆有且仅有三条公切线，则( )
A. B. C. D.
6.已知角的终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，关于的方程有且仅有个不同的实根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.椭圆的左、右焦点分别为、，上点位于第一象限内，为坐标原点，，线段与轴交于点且，若的面积等于，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则下列说法错误的有( )
A. 当时，
B. 若，则或
C. 当时，在方向上的投影向量为
D. 若和的夹角为钝角，则的取值范围为
10.满足：：：：，且，则( )
A. 三个内角，，满足关系
B. 的周长为
C. 若的角平分线与交于，则的长为
D. 若为外接圆上任意一点，则的最大值为
11.已知在棱长为的正方体中，为侧面内一点包含边界，则下列结论正确的是( )
A. 若平面，则的最大值为
B. 若点在线段上，则的最小值为
C. 存在点，使得点和点到平面的距离相等
D. 三棱锥外接球的体积的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
13.如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点．与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为 ．
14.已知实数，满足，若对任意实数，，记的最小值为，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
求的通项公式；
证明：．
16.本小题分
甲、乙两人进行排球发球练习，总共发个球分次发，每次发个球，若某次发球成功，则该次发球者得分，对方得分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得分，对方得分，对方发下一次球已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立．
在前两个球发完后，求甲共得分的概率；
设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若有极小值，且极小值小于，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，．
证明：平面；
已知，点满足，，平面．
求；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆：的长轴长为，直线与椭圆交于，两点点在第一象限当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．
求的标准方程；
若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为．
证明：为定值；
设，求的最小值．
参考答案
1.
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10.
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13.：
14.
15.解：已知，是公差为的等差数列，
所以，整理得，，
故当时，，，
得：，
故，
化简得：，，，，，
所以，
故，且首项符合通项，
所以的通项公式为：；
证明：由于，
所以，
所以．
16.解：设“第个球甲发球成功”，
“第个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得分”，
则，且与相互独立，
与相互独立，与互斥，
所以．
的可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
故．
17.当时，，
，，切点坐标为，所求切线的斜率，
曲线在点处的切线方程为，整理得．
，，
当时，，在上单调递增，此时无极值；
当时，令，得，
当时，，的减区间为，
当时，，的增区间为，
的极小值，即，
令，则，
在上单调递增，且，
不等式，等价于，，
的取值范围是．
18.解：证明：因为为菱形，所以，设，交于点，则，
又因为，所以，因为，，平面，所以平面．
取中点，则且，
由，知，
所以，即，，，四点共面，
因为平面，平面，平面平面，所以，
因此是平行四边形，故，即．
由可知，平面，因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，所以在平面内作垂直于，如图，
以为原点，建立空间直角坐标系，
由题意可知，，，，
因为，且，所以，，
因此，，，
，，
由此可知，
设平面的一个法向量，
则，即，
令，得，
同理可得设平面的一个法向量，
，所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：由题意有，．
设椭圆焦距为，易知椭圆过点，，
又，，
，即，解得，
，，故C的标准方程为．
证明：设，，，则，由题意有，
直线的斜率即的斜率为，直线的方程，
，又，在椭圆上，
，，
，
．
，
而，，
由知，
，又，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
，的最小值为．
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